4.2 方差 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月5日 4.2 方差 第 4 章 数据分析 湘教版八年级下册4.2方差练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 下列关于方差的说法，正确的是（ ） A. 方差越大，数据的波动越小 B. 方差越小，数据的波动越小 C. 方差是刻画数据平均水平的量 D. 一组数据的方差一定是正数 2. 已知一组数据：2、4、6、8、10，这组数据的方差是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 甲、乙两组数据的平均数相同，甲组数据的方差为1.2，乙组数据的方差为0.8，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据更稳定 B. 乙组数据更稳定 C. 两组数据稳定性相同 D. 无法判断稳定性 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 一组数据1、2、3、4、5的平均数是________，方差是________。 2. 已知一组数据：3、3、3、3、3，这组数据的方差是________。 3. 若一组数据x₁、x₂、x₃的平均数是5，方差是2，则数据x₁+1、x₂+1、x₃+1的方差是________。 三、解答题（每题20分，共40分） 1. 已知一组数据：5、7、9、11、13，求这组数据的方差（要求写出完整解题步骤）。 2. 某射击运动员在两次训练中各射击10次，成绩（单位：环）如下： 第一次：8、9、7、8、10、8、9、8、7、9 第二次：7、8、9、9、8、10、10、7、8、8 分别计算两次训练成绩的方差，并判断该运动员哪次训练的成绩更稳定。 参考答案 一、选择题：1.B 2.C 3.B 二、填空题：1.3，2 2.0 3.2 三、解答题 1. 解：第一步，计算平均数：（5+7+9+11+13）÷5 = 45÷5 = 9； 第二步，计算每个数据与平均数的差的平方： （5-9）²=16，（7-9）²=4，（9-9）²=0，（11-9）²=4，（13-9）²=16； 第三步，计算方差：（16+4+0+4+16）÷5 = 40÷5 = 8。 答：这组数据的方差是8。 2. 解：第一次训练成绩平均数：（8+9+7+8+10+8+9+8+7+9）÷10 = 84÷10 = 8.4； 第一次方差：[（8-8.4）²×4 +（9-8.4）²×3 +（7-8.4）²×2 +（10-8.4）²]÷10 = 0.84； 第二次训练成绩平均数：（7+8+9+9+8+10+10+7+8+8）÷10 = 84÷10 = 8.4； 第二次方差：[（7-8.4）²×2 +（8-8.4）²×4 +（9-8.4）²×2 +（10-8.4）²×2]÷10 = 1.04； 因为0.84＜1.04，方差越小成绩越稳定，所以该运动员第一次训练的成绩更稳定。 答：第一次训练成绩的方差是0.84，第二次是1.04，第一次训练成绩更稳定。 说明：本题围绕方差的定义、计算公式及实际意义设计，贴合湘教版课本例题及考点，题目难度由浅入深，涵盖定义辨析、基础计算、方差应用，帮助巩固方差的求法及判断数据稳定性的方法，总字数控制在800字左右，适合课后巩固练习。 复习导入 我们前面学习了哪些能反映一组数据集中趋势的统计量呢？ 众数 想一想：还有能反映一组数据其他情况的统计量吗？ 平均数（算术平均数）： x = (x1+ x2 + x3+… + xn) n 1 x1w1 + x2w2 +…+ xnwn 加权平均数： 中位数 新课导入 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. （1）两人的平均成绩分别是多少？ 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. （2）如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度？ 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近. 李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 那么如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 各个数据与其平均数的偏差之和为(x1－)+ (x2－)+ ···+ (xn－)=0.出现了正负偏差抵消的情况，无法刻画这组数据的离散程度. 可以用各个数据与的差的绝对值之和. 利用各个数据与的差的平方和. 有两组数据：（1）4，5，6，7，8；（2）3，6，6，6，9. 对于（1）， =6，则这组数据与的差的绝对值之和： | 4－6 |+| 5－6 |+| 6－6 |+| 7－6 |+| 8－6 |=6 这组数据与的差的平方和： (4－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(7－6)2+(8－6)2=10 对于（2）， =6，则这组数据与的差的绝对值之和： | 3－6 |+| 6－6 |+| 6－6 |+| 6－6 |+| 9－6 |=6 这组数据与的差的平方和： (3－6)2+(6－6)2+(6－6)2+(6－6)2+(9－6)2=18 可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2， 归纳总结 离差平方和 S² 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2， 离差平方和 S² 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 如何刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度呢？ 方差 s² 刻画了一组数据与其平均数 的平均离散程度. 观察这两个式子，离差平方和 S2 与方差 s2 有什么数量关系？ 离差平方和： 方差： 方差越小，则数据的离散程度越小，数据也就越稳定 只适用于比较相同个数的数据的离散程度 分别计算刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定. 例1 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定. 解： 计算结果表明， 因此，甲队队员的身高比较整齐. 例2 两个女声小合唱队各由5名队员组成，她们的身高（单位：cm）为： 甲队：160，162，159，160，159； 乙队：169，165，157，150，164. 试判断哪队队员身高比较整齐. 解：甲队队员的平均身高是 甲队队员身高的离差平方和是 于是方差 . 乙队队员的平均身高是 乙队队员身高的离差平方和是 于是方差 . 针对训练 1.已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为_________. 10 2.投壶是中国古代的传统礼仪和宴饮游戏. 春节期间，小宇体验传统民俗，投壶 5 次，每次用八支箭进行投壶，投进去的箭的支数分别为3，4，6，6，6，这组数据的方差是_______. 1.6 在计算一组数据为 x1， x2，…， xn的离差平方和 S2时，除了可利用 外，还可以利用下述公式： 知识拓展 可以自己尝试推导此公式，试一试. 当一组数据个数很多时，求离差平方和与方差的运算量很大，我们可以借助计算器来求. 不同型号的计算器其操作步骤可能不同，请先阅读计算器的说明书. 通常先按统计键，使计算器进入统计运算模式，然后依次输入数据，最后按求方差的功能键，即可求出该组数据的方差. 1. 求下列各组数据的离差平方和与方差： （1）24，24，31，31，47，47，62，84，95，95； （2）10.1，9.8，9.7，10.2，10.3，9.9，10.0. 巩固练习 解 （1）离差平方和：7282 方差：728.2 （2）离差平方和：0.28 方差：0.04 【选自教材P142 练习 第1题】 2.李明的班上要派一名选手参加学校田径运动会的 100 m 赛跑， 李明和张亮都希望自己能参加比赛，他们在训练中 10 次的测试成绩（单位：s）为： 李明：14.5，14.9，14.2，15.0，14.7，14.1，14.4，13.9，15.5，14.8； 张亮：14.8，14.4，15.5，14.1，14.3，14.6，14.1，14.8，15.1，14.3. 根据两人的成绩，应该派谁去参加比赛？ 解：李明：平均数：14.6；离差平方和：2.06；方差：0.206 张亮：平均数：14.6；离差平方和：1.86；方差：0.186 应该派张亮去参加比赛. 【选自教材P142 练习 第2题】 3.中考体育测试有一个项目是足球颠球，九年级学生赵明和何亮为了训练足球颠球，他们各进行了五次足球颠球训练，下面是他们每次训练的颠球个数： 赵明：25，23，27，29，21；何亮：24，25，23，26，27. 试求出赵明和何亮在训练中足球颠球个数的离差平方和与方差，并判断谁的足球颠球更稳定？ 解：赵明：平均数：25；离差平方和：40；方差：8 何亮：平均数：25；离差平方和：10；方差：2 何亮的足球颠球更稳定. 1.种子是我国粮食安全的关键. 某玉米研究所对两种玉米种子进行改良后，决定在条件（肥力、日照、通风······）不同的 6 块试验田中同时播种并核定亩产，其结果（单位：kg）统计在下表中： 哪个品种的产量较稳定，适合推广？ 【选自教材P143 习题4.2 第1题】 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 甲 750 760 750 725 755 760 乙 745 780 775 725 730 745 随堂练习 因为甲的方差比乙的方差小，所以甲品种的产量较稳定，适合推广. 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 甲 750 760 750 725 755 760 乙 745 780 775 725 730 745 解： 随堂练习 2.甲、乙两地各月的平均气温（单位：℃）如下表所示： 试求甲、乙两地月平均气温的离差平方和与方差，并对两地气温变化情况作出比较. 【选自教材P143 习题4.2 第2题】 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲 -8 -6 -2 8 13 18 21 19 14 7 -2 -4 乙 11 13 17 20 23 25 28 27 25 20 17 14 随堂练习 解： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲 -8 -6 -2 8 13 18 21 19 14 7 -2 -4 乙 11 13 17 20 23 25 28 27 25 20 17 14 甲地月平均气温的平均数低于乙地月平均气温的平均数.甲地月平均气温的离差平方和与方差均比乙地月平均气温大，甲地气温变化较大. 随堂练习 3.某公司准备盖大楼，有两块土地可供征用，但两块土地都崎岖不平，需要平整. 现对每块土地确定房基基准高度，然后在两块土地上分别适当地另取 10 点，用水平仪测得各点对基准的相对标高（单位：cm）如下表所示： 问：哪一块土地比较容易平整？ 【选自教材P143 习题4.2 第3题】 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 甲 -45 76 47 -26 135 84 -61 -38 76 92 乙 74 120 100 -70 -44 95 63 -50 57 -25 随堂练习 ，所以甲块土地比较容易平整. 因为 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 甲 -45 76 47 -26 135 84 -61 -38 76 92 乙 74 120 100 -70 -44 95 63 -50 57 -25 解： 随堂练习 C 返回 1． A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 中考考法 26 返回 B 2． [泸州中考]某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差(单位：个2)如下表所示：   根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁   甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 中考考法 27 A 返回 3． 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为s甲2和s乙2，则s甲2和s乙2的大小关系是(　　) A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定 中考考法 28 4． 返回 C 已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　　) A．平均数　 B．离差平方和　 C．众数　 D．方差 中考考法 29 5． 返回 30 已知一个样本－1，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的离差平方和是__________，方差是__________． 【点拨】 根据题意得(－1＋0＋2＋x＋3)÷5＝2，所以x＝6.所以离差平方和是(－1－2)2＋(0－2)2＋(2－2)2＋(6－2)2＋(3－2)2＝30，所以方差是30÷5＝6. 6 中考考法 30 课堂小结 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2. 方差 s² 刻画了一组数据与其平均数 的平均离散程度. 一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定. [烟台中考]求一组数据方差的算式为：s2＝×[(6－)2＋(8－)2＋(8－)2＋(6－)2＋(7－)2]．由算式提供的信息，下列说法错误的是(　　) $