专题01 数列的概念与性质-2025-2026学年高二下学期数学期末专项训练（广东专用）

专题01 数列的概念与性质 一、题型一数列的周期性和规律性 1．（25-26高二上·广东·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，若，则下列数不是中的项的是（    ） A．-1 B．-2 C．3 D． 3．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知数列中，，，则数列前2025项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2025 D．4048 4．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 5．（22-23高二上·广东清远·期末）已知数列满足，其前n项和为，则（    ） A． B． C． D．0 6．（22-23高二上·广东·期末）在数列中，，则（    ） A．260 B．860 C．1011 D．2022 7．（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·广东·期末）设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的值有3种情况 C．若数列满足，则 D．若为奇数，则（） 12．（24-25高二上·广东惠州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______． 13．（24-25高二上·广东汕头·期末）在数列中，，，对所有的正整数n都有，则______． 14．（24-25高二上·广东阳江·期末）已知数列满足，其前项和为，则__________. 二、题型二数列的增减性和最值 15．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 16．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·广东·期末）记的前项和为，且数列的通项公式为，则当取得最小值时（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 20．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知为数列的前项和，，则（   ） A．为定值 B．数列是递增数列 C． D．数列是递增数列 21．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 三、题型三写出数列的项或通项公式 24．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 25．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 26．（22-23高二上·广东江门·期末）已知数列满足，，则该数列的第5项为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项依次为，则下列可以作为数列通项公式的有（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和（），则_________． 四、题型四观察法求通项公式 29．（24-25高二上·广东·期末）若数列的前5项为，则它的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·广东·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·广东深圳·期末）数列，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二下·广东广州·期末）数列，则是这个数列的（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 33．（22-23高二上·广东汕尾·期末）数列、、、、的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高二上·广东清远·期末）已知数列，…，则该数列的第200项为（    ） A．10 B．10 C．10 D．10 35．（21-22高二上·广东揭阳·期末）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C．数列，，，，…的一个通项公式是 D．数列，，…，是递减数列 五、题型五累加累乘法求通项公式 36．（22-23高二上·广东·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 37．（22-23高二上·广东广州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C． D．，，总存在，，使得成立 38．（24-25高二上·广东梅州·期末）将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 39．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，则数列通项公式______． 40．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 41．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则_______. 42．（22-23高二上·广东广州·期末）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______. 六、题型六 an与Sn关系求通项公式 43．（24-25高二下·广东·期末）已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 45．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则______． 46．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，，，则__________． 47．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，且，令数列的前项和为，则______. 48．（22-23高二上·广东·期末）对任意正整数，数列满足：，则__________. 49．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 50．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 51．（23-24高三上·广东东莞·期末）数列的前n项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和． 52．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 七、题型七根据递推关系式求项 53．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则（   ） A．3 B．5 C．8 D．13 54．（25-26高二上·广东河源·期末）已知在数列中，，，则的值为（   ） A．13 B．15 C．18 D．21 55．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 56．（25-26高二上·广东梅州·期末）分形几何学是数学家伯努瓦・曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.图②的分形规律如图①的树形图，记图②中第行白圈的个数为，黑圈的个数为，若，则（    ） A．123 B．144 C．178 D．199 57．（24-25高二下·广东深圳·期末）若数列满足，，则的个位数字为（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，已知，则（    ） A．4 B． C．1 D．2 59．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列满足，（），则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 60．（23-24高二上·广东广州·期末）数列满足，前12项和为158，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 61．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 62．（22-23高二上·广东河源·期末）在数列中，，，则的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 63．（25-26高二上·广东佛山·期末）数列满足，，，则______. 64．（25-26高二上·广东·期末）数列满足，，则__________. 65．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，则_______． 66．（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则_____________. 67．（23-24高二下·广东广州·期末）若数列满足，，则_____________. 68．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，且，则________． 69．（22-23高二上·广东清远·期末）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第格可能有种情况，若，的前项和为，则=______，=______． 70．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意的、都有，且，设数列满足． (1)写出，的值； (2)求数列的通项公式； (3)用表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 八、题型八递推数列求数列性质 71．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，且，，则m等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 72．（23-24高二上·广东广州·期末）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 73．（23-24高二上·广东广州·阶段检测）已知数列满足，则 （    ） A．1 B．2 C． D． 74．（22-23高二上·广东深圳·期末）著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，又称兔子数列，记该数列为，则，，且．已知斐波那契数列有诸多特殊的性质，例如：（1）；（2）斐波那契数列中各项的个位数是以为周期变化的，则由上述性质可知的个位数为（    ） A． B． C． D． 75．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，则（    ） A．是递增数列 B． C． D． 76．（22-23高二上·广东广州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 77．（24-25高二下·广东肇庆·期末）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 78．（24-25高二上·广东清远·期末）类比于数学史上著名的“冰雹猜想”，任取一个正整数，若是奇数，就将该数加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步禁后，必得到数字1.如取，则的值依次为，共需5个步骤变成1，则称该运算为5步运算，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的值依次为 B．当时，该运算为7步运算 C．当运算为7步运算时，的值可能有13个 D．当运算为7步运算时，的最大值与最小值之和为137 79．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 80．（22-23高三上·广东·期末）已知数列，，…，，…满足，（），数列A的前n项和记为． (1)写出的最大值和最小值； (2)是否存在数列A，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念与性质 一、题型一数列的周期性和规律性 1．（25-26高二上·广东·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用代入法求出数列前几项，进而能判断出函数的周期，再利用周期进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， ， ， 因此该数列的周期为， 于是. 故选：C 2．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，若，则下列数不是中的项的是（    ） A．-1 B．-2 C．3 D． 【答案】A 【分析】推出为周期数列，且周期为4，得到答案. 【详解】由题意得， 所以为周期数列，且周期为4. 故选：A. 3．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知数列中，，，则数列前2025项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2025 D．4048 【答案】C 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是周期为的周期数列，利用周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，，，，，…， 所以数列是周期为的周期数列，且， 所以. 故选：C. 4．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据已知的递推关系式求出数列的前4项，即可发现循环，求出数列的周期，进而求得结果即可． 【详解】解：因为数列满足，， 所以，解得， 由，解得， 由，解得，， 故可得数列是周期为3的数列，且前三项为：3，，， 因为，所以. 故选：D 5．（22-23高二上·广东清远·期末）已知数列满足，其前n项和为，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】求出数列的周期，从而利用周期进行求和. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以是周期为4的周期数列，且，所以． 故选：D 6．（22-23高二上·广东·期末）在数列中，，则（    ） A．260 B．860 C．1011 D．2022 【答案】C 【分析】由变形得出其周期为6，即可结合周期及对数运算性质化简求值. 【详解】由，得，两式相除可得，所以数列是以6为周期的周期数列， 又， 所以. 故选：C. 7．（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【详解】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通过给定的递推公式求出数列的前几项，进而找出数列的周期规律，计算即可. 【详解】因为，，即， 所以，，，， 所以数列的周期为4，所以的项的有. 故选： AD. 9．（24-25高二上·广东·期末）设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用递推公式逐项计算可判断A选项；根据数列的前项的值可判断数列的周期性，可判断B选项；利用数列的周期性计算可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为数列满足，，则， ，，，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列是以3为周期的周期数列， 即对任意，，B对； 对于C选项，因为，且， 则，C对； 对于D选项，因为， 则，D错. 故选：ABC. 10．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递推公式计算出数列的前项，可判断AB选项；利用数列的周期性可判断C选项；利用数列的周期性求出的值，可判断D选项. 【详解】因为，，所以，，，，故A正确，B错误； 所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 11．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的值有3种情况 C．若数列满足，则 D．若为奇数，则（） 【答案】BD 【分析】根据给定条件，求出前几项探讨周期性计算判断A；按的奇偶性求出的值判断B；由的奇偶性，结合周期求出判断C；借助反证法的思想推理判断D. 【详解】对于A，，则该数列为， 则，，而，因此，A错误； 对于B，，若为偶数，则，于是或； 若为奇数，则，于是，因此的值会出现3种情况，B正确； 对于C，由数列满足，得数列是周期为2的数列，有 当为偶数时，，则，解得，或，无正数解； 当为奇数时，，则，解得，因此或都满足，C错误； 对于D，若为奇数，则为偶数，与为奇数矛盾，因此为偶数， 即，则，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：由数列递推公式探求数列的相关性质的问题，关键是正确理解给出的关系式，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 12．（24-25高二上·广东惠州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______． 【答案】 25 【分析】根据正方形数的前4项特征，即可求解第5项；根据五边形数的特征，列式递推公式，利用累加法，即可求通项公式. 【详解】正方形数所构成数列的第5项是， 五边形数所构成数列满足，，，，， 所以，， 累加可得，当时成立， 所以. 故答案为：25； 13．（24-25高二上·广东汕头·期末）在数列中，，，对所有的正整数n都有，则______． 【答案】24 【分析】根据给定条件，求出数列周期，进而求出. 【详解】数列中，由，得，则， 因此，数列是周期数列，周期为6， 所以. 故答案为：24 14．（24-25高二上·广东阳江·期末）已知数列满足，其前项和为，则__________. 【答案】/ 【分析】利用三角函数的周期性来判断数列的周期性，从而利用周期性来求数列的和. 【详解】根据三角型函数的性质可知周期为， 所以可知数列是周期为4的周期数列， 且，所以. 故答案为：. 二、题型二数列的增减性和最值 15．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】B 【分析】由直接判断其单调性即可得. 【详解】由，显然随的增加，逐渐变小并趋向于，所以为递减数列. 故选：B 16．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 17．（24-25高二上·广东·期末）记的前项和为，且数列的通项公式为，则当取得最小值时（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据得到的单调性，再结合的正负可得数列的增减性，即可得到时最小. 【详解】由题意可得，则， 所以当时，；当时，， 又因为， 所以当时，； 当时，； 当时，． 因此当时，数列单调递减；当时，单调递增，所以， 故． 故选：C． 18．（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解. 【详解】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，. 故选：B 19．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；分析数列的单调性，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，，则，故数列不单调，A错； 对于B选项，， 当且时，且数列单调递减， 当且时，且数列单调递减， 故当且仅当时，取得最小值，B对； 对于C选项，由可得或， 故当时，，故数列单调递增，C错； 对于D选项，由可得， 故当时，；当时，， 所以，当且仅当时，取得最小值，D对. 故选：BD. 20．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知为数列的前项和，，则（   ） A．为定值 B．数列是递增数列 C． D．数列是递增数列 【答案】ACD 【分析】计算出的值，可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；解不等式可判断C选项；利用数列的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，当且时， ，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，故数列不单调，B错； 对于C选项，令，可得， 因为，当时，，当时，， 当时，. 故，C对； 对于D选项，当时，， 所以，当时，，即， 故数列是递增数列，D对. 故选：ACD. 21．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数列单调性的定义运算求解即可. 【详解】因为， 若数列是递增数列，则， 则，即. 故选：D. 22．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为递增数列，则，可得的范围． 【详解】若为递增数列，则， 则有，对于恒成立． ，对于恒成立，． 故选：A． 23．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 【答案】 【分析】根据题设求出前5项，即可得到答案. 【详解】由，得， 则数列的前5项中的最大值是. 故答案为：. 三、题型三写出数列的项或通项公式 24．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】将代入计算即可得结果. 【详解】因为数列的通项公式，所以. 故选：B 25．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可. 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故选：C 26．（22-23高二上·广东江门·期末）已知数列满足，，则该数列的第5项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式计算可得答案. 【详解】因为，， 所以，，，， 故选：B 27．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项依次为，则下列可以作为数列通项公式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据通项公式逐一判断即可. 【详解】对于A：，符合； 对于B：，不符合； 对于C：，符合； 对于D：，不符合； 故选：AC. 28．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和（），则_________． 【答案】 【分析】根据来求得数列的通项公式即可求解. 【详解】当时，， 当时，. 当时上式也符合， 所以. 所以. 故答案为：. 四、题型四观察法求通项公式 29．（24-25高二上·广东·期末）若数列的前5项为，则它的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的每一项与项数之间的关系即可推出数列的通项，再代值检验排除其他选项即得. 【详解】因， 故数列的一个通项公式为， 将代入A，C都不符合，把代入D，不符合. 故选：B. 30．（23-24高二上·广东·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】排除法，代入求值即可判断. 【详解】对于A：时，，舍去； 对于B：时，，舍去； 对于D：时，，舍去； 经检验数列的一个通项公式为， 故选：C. 31．（23-24高二上·广东深圳·期末）数列，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合选项逐一验证即可. 【详解】对于A，当n为奇数时，，与数列不符； 对于B，当时，，与数列不符； 对于C，当时，，与数列不符； 对于B，当n为奇数时，，当n为偶数时，，与数列相符； 故选：D. 32．（22-23高二下·广东广州·期末）数列，则是这个数列的（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【分析】通过裂项的知识求得正确答案. 【详解】， 而，所以是这个数列的第7项. 故选：C 33．（22-23高二上·广东汕尾·期末）数列、、、、的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用逐项检验法可得出原数列的一个通项公式. 【详解】对于A选项，若，则数列为：、、、、，A不满足； 对于B选项，若，则数列为：、、、、，B不满足； 对于C选项，若，则数列为：、、、、，C不满足； 对于D选项，若，则数列为：、、、、，D满足. 故选：D. 34．（22-23高二上·广东清远·期末）已知数列，…，则该数列的第200项为（    ） A．10 B．10 C．10 D．10 【答案】B 【分析】根据所给数列归纳通项公式为，从而得解. 【详解】由题可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：B. 35．（21-22高二上·广东揭阳·期末）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C．数列，，，，…的一个通项公式是 D．数列，，…，是递减数列 【答案】ACD 【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可． 【详解】对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确； 对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误； 对于C，观察法可得数列，，，，…的一个通项公式为时，故选项C正确； 对于D，因为，所以数列，，是递减数列，故选项D正确． 故选：ACD. 五、题型五累加累乘法求通项公式 36．（22-23高二上·广东·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法可求得的值. 【详解】由已知， ，，，， 上述等式全加可得，. 故选：D. 37．（22-23高二上·广东广州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C． D．，，总存在，，使得成立 【答案】BCD 【分析】利用累加法，分别求出，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】依题意，数列中，，，， 于是得，满足上式， 数列中，，，， 于是得，满足上式， 因此， 对于A，，则，A不正确； 对于B，∵，则，又，则，B正确； 对于C，， 则，C正确； 对于D，，，取，则， ∴，，总存在，，使得成立，D正确， 故选：BCD. 38．（24-25高二上·广东梅州·期末）将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 【答案】1275 【分析】根据“拐弯数”找出规律，设数列，，，，……，可推出得数列的递推公式，利用叠加法求解即可. 【详解】设数列，，，，……，故， 利用叠加法：， ， 故. 故答案为：1275. 39．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，则数列通项公式______． 【答案】 【分析】先将的表达式化简，再依次写出，，，的式子，将这些式子累加，消去中间项，从而得到与的关系，进而求出. 【详解】化简的表达式： 所以. 利用累加法求 当时，； 当时，； . 将以上个式子累加得： 已知，则： . 故答案为：. 40．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 41．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则_______. 【答案】 【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果. 【详解】由可得， 由累乘可得. 故答案为： 42．（22-23高二上·广东广州·期末）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______. 【答案】66 【分析】根据题意，得到，，进而利用累加法求得，由此得解. 【详解】依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列，则，， 所以， 上式相加得， 所以， 则第11个三角形数是. 故答案为：66. 六、题型六 an与Sn关系求通项公式 43．（24-25高二下·广东·期末）已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与之间的关系建立等式即可求解. 【详解】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 44．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 【答案】ACD 【分析】由通项公式通过赋值，作差逐个判断即可； 【详解】，可得：， ， 所以数列是递增数列， 又，， 所以恒成立， 所以ACD正确，B错误， 故选：ACD 45．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则______． 【答案】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 46．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，，，则__________． 【答案】 【分析】由，取，，由此求出，，再求即可. 【详解】因为，， 取可得，，所以， 取可得，，所以， 所以， 故答案为：. 47．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，且，令数列的前项和为，则______. 【答案】 【分析】利用给定的前项和求出通项，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】依题意，当时，，而满足上式， 因此，， 则， 所以. 故答案为： 48．（22-23高二上·广东·期末）对任意正整数，数列满足：，则__________. 【答案】 【分析】类比与的求法，条件式前n项和减去前项和. 【详解】根据题意有：当，得：2； 当时，，即，即， 又不满足上式，所以的通项公式为. 故答案为：. 49．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】（1）解法1：利用与的关系，得到与之间的关系，再结合求出，再逐项，，的值. 解法2：根据的意义，利用及，依次逐项求得，，，的值. （2）解法1：由（1），得，相减得到，进而分别为奇数和偶数时的的通项. 解法2：根据（1）中得到的，，，，的值，猜想的通项公式，再进行证明. 【详解】（1）（解法1）（1）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴， ∴，，． （解法2）：∵，，， ∴，解得， 又∵，∴，解得， 同理，解得， ，解得， 故，，． （2）（解法1）由（1）（解法一）知，，， 则，故时，有，① ∴，② 由①，②得，，即， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，． 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法2）由（1）（解法一）知，，，则， 故时，有， 当n为奇数时，由，，，…，， 由以上各式可得，，…，， 可得，故． 当n为偶数时，由，，，…，， 以上各式两两相减，可得，，…，， 可得， 又∵，∴， 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法3）由（1）知，，且，，，，， 归纳上述结果，猜想． 当时，，猜想成立， 假设当时，， 那么， 即时，猜想成立． 综上所述，对任意，上述猜想都成立， 即． （解法4）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴，即，符合， ∴时，有． ∴，，，…，， 又由（1）知，，， 故当n为奇数时，；当n为偶数时，． 故数列的通项公式为（或，）． 50．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）解：且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以. （2）由（1）知，， 所以 . 51．（23-24高三上·广东东莞·期末）数列的前n项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系分析求解； （2）由（1）可得，结合分组求和法运算求解. 【详解】（1）因为， 若，则； 若，则； 且符合， 综上所述：数列的通项公式. （2）由（1）可知：， 可得 ， 所以. 52．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【详解】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 七、题型七根据递推关系式求项 53．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则（   ） A．3 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【分析】根据已知的递推式依次求解即可. 【详解】因为，， 所以，，. 故选：C 54．（25-26高二上·广东河源·期末）已知在数列中，，，则的值为（   ） A．13 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】由数列的递推关系进行求解即可． 【详解】由，， 得， ， ， 故选：B 55．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式逐一计算即可. 【详解】因为，，所以， ，，. 故选：B 56．（25-26高二上·广东梅州·期末）分形几何学是数学家伯努瓦・曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.图②的分形规律如图①的树形图，记图②中第行白圈的个数为，黑圈的个数为，若，则（    ） A．123 B．144 C．178 D．199 【答案】B 【分析】根据题意，，再根据递推式计算即可． 【详解】根据题意，， 则， ． 故选：B． 57．（24-25高二下·广东深圳·期末）若数列满足，，则的个位数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令得是公差为2的等差数列，赋值计算可得，得，运用累加法可得，计算求解即可. 【详解】令得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以， 取，得：，取，得：， 取，得：，取，得：， 所以，解得：，因此， 所以， 累加得， 故，所以个位数为5. 故选：D. 58．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，已知，则（    ） A．4 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据数列的递推公式，依次求出即可. 【详解】在数列中，已知，则. 故选：A 59．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列满足，（），则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】直接根据递推公式计算即可. 【详解】因为，（）， 所以. 故选：B. 60．（23-24高二上·广东广州·期末）数列满足，前12项和为158，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由，推出和，再利用前项和为求解. 【详解】因为， 所以，，， ， 又，， ， . 故选：B 61．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】直接把和代入递推关系式求解即可． 【详解】解：数列满足，， ， ， 故选：C． 62．（22-23高二上·广东河源·期末）在数列中，，，则的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求. 【详解】，， ， ， ， 数列是以3为周期的数列， ， 故选：C． 63．（25-26高二上·广东佛山·期末）数列满足，，，则______. 【答案】2 【分析】根据递推公式依次赋值即可得出答案. 【详解】令，则， 令，则， 令，则， 三个式子联立可得，即，解得. 故答案为：2 64．（25-26高二上·广东·期末）数列满足，，则__________. 【答案】20 【分析】通过，结合递推公式逐一求解即可. 【详解】因为，， 所以，则， 所以， 故答案为：20. 65．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，则_______． 【答案】1 【分析】由递推公式求出具体的项，根据规律即可求解. 【详解】由，则，可得， ，可得， ，可得， ，可得， ，可得， ，可得， ，可得， 由以上规律可得，出现1的项的周期为4， ，所以. ，可得， ，可得， ，可得， 故答案为：1. 【点睛】方法点睛：数列的周期性：一般采用代值求周期法.先根据递推公式求出具体的项，找出变化规律，得到周期，再求解即可. 66．（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则_____________. 【答案】/ 【分析】由递推式，结合依次求出、即可. 【详解】由，，可得， 又，可得. 故答案为：. 67．（23-24高二下·广东广州·期末）若数列满足，，则_____________. 【答案】 【分析】当时，，当时，由与的关系可得，即可求解. 【详解】当时，， 当时，①， ②， ①②得，即， 所以. 68．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，且，则________． 【答案】 【分析】根据递推公式求出、的值，进而可求得的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，可得，，因此，. 故答案为：. 69．（22-23高二上·广东清远·期末）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第格可能有种情况，若，的前项和为，则=______，=______． 【答案】 34 231 【分析】由题意得出递推公式，逐个代入依次求解出至，即可得出，. 【详解】根据题意，跳到第格有两种可能，一种是从第格跳过来，有种方式， 另一种是从第格跳过来，有种方式，所以．因为 所以. 故答案为：34；231 70．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意的、都有，且，设数列满足． (1)写出，的值； (2)求数列的通项公式； (3)用表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）对取特殊值，由公式求得的值； （2）对等式两边同除得到等式，构造函数，证明得到，从而化简得到，从而得到的通项公式； （3）由作差法得到，通过化简得到，利用累加法求得，代入即可得到结论. 【详解】（1）在中， 令，得，即， 令，得，即，故， 令，得， ∴即，. （2）当时，， 令，则， ∴， ∴， 令有， ∵，∴，. （3）当时，由，可得， 即，则， ∴，，， ∴， ∵，∴， ∴. 故存在关于的整式，使等式对于一切小于的自然数恒成立. 【点睛】方法点睛：构造，利用累加法即可得到，从而得出结论. 八、题型八递推数列求数列性质 71．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，且，，则m等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用递推式化简得，化简后利用裂项相消法计算求解得出，最后计算范围即可求解. 【详解】因为数列满足，，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为，所以， ， 所以，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，由题设条件得到，从而得解. 72．（23-24高二上·广东广州·期末）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，当时，，从而利用此性质，结合作差法对选项一一进行判断，得到答案. 【详解】由题意得，当时，， A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，， 故，D错误. 故选：B 73．（23-24高二上·广东广州·阶段检测）已知数列满足，则 （    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系得到数列周期，利用周期性求项. 【详解】由题设，，，……， 所以是周期为3的数列， 又可得,则. 故选：B 74．（22-23高二上·广东深圳·期末）著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，又称兔子数列，记该数列为，则，，且．已知斐波那契数列有诸多特殊的性质，例如：（1）；（2）斐波那契数列中各项的个位数是以为周期变化的，则由上述性质可知的个位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个性质可得出，计算出的个位数，即可求出的个位数，即可得解. 【详解】由性质（1）可知，，，，， 上述等式全部相加可得， ，所以，， 由性质（2）可知与的个位数相同，与的个位数相同，且不难知道，，， 所以，的个位数为，则的个位数也为， 因此，的个位数为. 故选：D. 75．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，则（    ） A．是递增数列 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定的递推公式，结合数列的单调性、累加法、累乘法、放缩法、裂项相消法，逐项分析判断即可. 【详解】数列中，，显然，否则， 对于A，，即，因此数列是递增数列，A正确； 对于B，，则，又，则当时， ，而成立，因此，B正确； 对于C，由，得，则当时，， ，则，C错误； 对于D，由，得，即， 因此，D正确. 故选：ABD 76．（22-23高二上·广东广州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对AB，直接求出对应项及求和； 对CD，由得，∴即可化简； 即可化简. 【详解】对A，，A对； 对B，，，B对； 对C，由得，∴，C错； 对D，，D对. 故选：ABD 77．（24-25高二下·广东肇庆·期末）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】由题意（）从而可得，即，，可求得即可对A判断；由，依次两两结合相加可得可对B判断；由，，依次两两结合相加可得可对C判断；由题意可得，再将的各项依次展开，即可对D判断. 【详解】A：， ， ，A错误. B：，B正确. C： ，C正确. D：，， 即 ，，，D正确. 故选：BCD. 78．（24-25高二上·广东清远·期末）类比于数学史上著名的“冰雹猜想”，任取一个正整数，若是奇数，就将该数加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步禁后，必得到数字1.如取，则的值依次为，共需5个步骤变成1，则称该运算为5步运算，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的值依次为 B．当时，该运算为7步运算 C．当运算为7步运算时，的值可能有13个 D．当运算为7步运算时，的最大值与最小值之和为137 【答案】ACD 【分析】由题意得到进而逐个判断即可； 【详解】由题知，对于A，，则的值依次为，故A正确； 对于B，，所以该运算为6步运算，故B错误； 对于C，当运算为7步运算时，，逆推可得如下结果，    据此可得的值可能有13个，故C正确； 对于D，由选项C知，的最大值为128，最小值为9，所以的最大值与最小值之和为137，故D正确， 故选：ACD. 79．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 80．（22-23高三上·广东·期末）已知数列，，…，，…满足，（），数列A的前n项和记为． (1)写出的最大值和最小值； (2)是否存在数列A，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)的最大值为3，最小值为-1 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用与递推公式求出的可能值，从而求出的可能值，得到最大值与最小值； （2）两边平方后，根据推出，从而求出，结合为整数，方程无解，故不存在数列A，使得. 【详解】（1）因为，（）， 所以，解得或-1， 取，则，解得或-2， 取，则，解得：， 所以或或 故最大值为3，最小值为； （2）因为，（）， 所以为整数，两边平方得：， 故 ， 所以， 若存在数列A，使得，则， 又为整数，所以方程无解， 故不存在数列A，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $