第08讲 一元二次方程的概念（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第08讲 一元二次方程的概念 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元二次方程的定义 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型4 判断是否是一元二次方程的解 题型5 一元二次方程的解求参数 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 整式方程、一元二次方程、一般形式 、二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数、方程的根、参数求解 1.理解整式方程与一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的三个判定条件，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练将方程化为一般式，准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，注意各项的符号。 3.能根据一元二次方程的定义求解含字母参数的问题，明确二次项系数不为0的隐含条件。4.理解一元二次方程的根的含义，掌握判断一个数是否为方程根的方法，能利用方程的根求解参数的值 学习重点：1.一元二次方程的定义、三个成立条件，方程类型的判断。 2.一元二次方程的一般形式，各项与对应系数的识别。 3.利用一元二次方程的根求解参数的值。 学习难点：1.含字母系数的一元二次方程定义类问题，对二次项系数的分类讨论。 2.一元二次方程一般式化简过程中的符号处理与项的辨别。 3.结合定义与根的性质，解决综合类参数求解问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 整式方程 一块长方形绿地的面积为，且已知长比宽多。问：长和宽各为多少？ 分析 设这块长方形绿地的宽为，它的长就是。因为绿地面积为，所以 .去括号，得 概念： 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫作整式方程。如我们以前学过的一元一次方程和我们将要学习的一元二次方程都是整式方程。 知识点02 一元二次方程的概念 1．概念：一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程。一元二次方程的一般形式是，其中叫作二次项，是二次项系数；bx叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 如 等都是一元二次方程。 2．一元二次方程同时满足的三个条件：（1）方程两边都是关于未知数的整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2 。 例如，，，都是一元二次方程，必要时可以通过移项及化简把它们化成一般形式。 （1）概念中＂等号两边都是整式＂是对原方程而言，不是整理合并后的方程。 （2）概念中＂只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 ＂是整理合并后的方程。 （3）我们特别要注意的是＂形似一元二次方程＂的方程，当二次项系数不能判定一定不为零时，它就不一定是一个一元二次方程。 下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 判断一个方程是不是一元二次方程的步骤：先观察其是否属于整式方程，再看其移项、合并同类项后是否同时符合＂只含有一个未知数＂＂未知数的最高次数是 2 ＂这两个条件。 知识点03 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 为已知数，且 ，其中 叫作二次项， 是二次项系数；b x 叫作一次项， 是一次项系数； 叫作常数项。 （1） 是一元二次方程一般式的一个重要条件，因为方程 ，只有当 时才叫作一元二次方程，反之，如果明确指出方程 是一元二次方程，那就隐含了 这个条件，因此当方程中出现含有字母系数的 项，且出现＂关于 的方程＂这样的语句时，就要对方程中的字母进行讨论，这一点很重要，它是重要的考点之一。 （2）要确定一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数必须把一元二次方程化成一般式。需要注意的是，一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数都包含前面的符号。 （3）注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数。 一元二次方程分为完全的一元二次方程 和不完全的一元二次方程，不完全的分为 三类。 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项与各项的系数： (1) ； (2) 。 解 (1)去括号，得移项并合并同类项，得 因此，方程中的二次项是，即（1通常省略不写），所以二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是。 (2)去括号，得移项，得 因此，方程中的二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是。 一元二次方程化为一般形式的步骤 第 1 步：去分母；第 2 步：去括号；第 3 步：移项；第 4 步：合并同类项。 知识点04 一元二次方程的根 1．一元二次方程的根 满足方程 的实数 叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根。 2．关于一元二次方程的根的三个重要结论 （1） 一元二次方程 有一个根是 。 （2） 一元二次方程 有一个根是 。 （3） 一元二次方程 有一个根是 。 判断一个数是不是一元二次方程的根的妙招 将这个数作为未知数的值分别代入方程的左右两边，分别计算结果，再比较左右两边的值是否相等。如果左右两边的值相等，那么这个数是原方程的根，否则就不是原方程的根。因为一元一次方程并不像一元一次方程一样只有一个根，所以对于给定的数都要检验。 若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 题型1 一元二次方程的定义 【例1】下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 【变式1-2】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 【变式1-3】下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次，这样的方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，方程为一元一次方程，无法保证一定是一元二次方程，因此A不符合题意； B、是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，因此B符合题意； C、整理后为，未知数的最高次数为，是一元三次方程，因此C不符合题意； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，因此D不符合题意． 故选：B． 【变式1-4】下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2， 选项A中，的未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项B中，原方程整理得，满足一元二次方程的全部条件，符合要求； 选项C中，展开整理原方程：左边展开得，右边为，移项合并得：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项D中，未说明，当时，未知数最高次数不是2，不满足定义，不符合要求． 题型2 化成一元二次方程的一般式 【例2】写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式下，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，将一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先将一元二次方程化为一般形式，进而完成解答． 【详解】解：把方程化为一般形式为， 所以二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【例3】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 确定一元二次方程的各项及各项的系数，三点注意莫忽视 （1）先把方程化为一般形式，如果二次项系数小于 0 ，一般把方程两边同乘 -1 ，将其二次项系数转化为大于 0的数. （2）在确定一元二次方程各项及各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉. （3）特殊形式：若没有出现一次项bx ，则 ；若没有出现常数项，则. 【变式2-1】一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 【变式2-2】将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 【变式2-3】方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 题型3 由一元二次方程的定义求参数 【例4】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 【变式3-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 即． 确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤 (1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2，二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组； (2)解：解方程或不等式组； (3)定：确定字母的值（或取值范围）。 【变式3-2】若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 【变式3-3】若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，据此求解即可． 【详解】解：由方程 是一元二次方程， 得二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 【变式3-4】若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 题型4 判断是否是一元二次方程的解 【例5】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 【例6】若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【变式4-2】若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 【变式4-3】对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 【变式4-4】请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为：______________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型5 一元二次方程的解求参数 【例7】关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 【例8】若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值。 【变式5-1】已知关于的方程的一个根为2，则______． 【答案】1 【分析】本题考查由一元二次方程的解求参数，即把根代入方程可使等式成立，进而求解未知系数． 【详解】解：∵关于的方程的一个根为2， ∴将代入方程，得， 解得； 故答案为：． 【变式5-2】已知是方程的一个根，则______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 【变式5-3】如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键；由题意易得，然后可代入进行求解． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为1． 1．方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①方程含两个未知数，不符合“只含一个未知数”，不是一元二次方程； ②方程展开为，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ③方程含分式，不是整式方程，不符合定义，不是一元二次方程； ④方程中，当时，方程变为，不是一元二次方程，故该方程不一定是一元二次方程 ⑤方程满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ⑥方程，展开移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 综上，是一元二次方程的有②⑤，共2个. 故选：B． 2．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 3．如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 4．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 5．写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是_____ 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，由题意二次项系数 ，常数项 ，且一个根为．把代入方程，可求出一次项系数 ，从而得到方程． 【详解】解：由题意，设所求一元二次方程为； 将代入方程得：， 解得：． 则方程为：； 故答案为：． 6．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 7．若是方程的一个解，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用方程解的定义，将代入方程得到，然后变形代入计算解答即可． 【详解】解：因为是方程 的一个解， 所以 ，即 ， 则代数式， 故答案为：． 8．已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 利用方程的根的定义得到含的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，根据方程的根的定义可得： ， 移项得． 将代入，得． 9．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知，从而可得：． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 由可得：， 由可得：， ． 10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 11．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 试卷第1页，共3页 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次方程的概念 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元二次方程的定义 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型4 判断是否是一元二次方程的解 题型5 一元二次方程的解求参数 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 整式方程、一元二次方程、一般形式 、二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数、方程的根、参数求解 1.理解整式方程与一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的三个判定条件，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练将方程化为一般式，准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，注意各项的符号。 3.能根据一元二次方程的定义求解含字母参数的问题，明确二次项系数不为0的隐含条件。4.理解一元二次方程的根的含义，掌握判断一个数是否为方程根的方法，能利用方程的根求解参数的值 学习重点：1.一元二次方程的定义、三个成立条件，方程类型的判断。 2.一元二次方程的一般形式，各项与对应系数的识别。 3.利用一元二次方程的根求解参数的值。 学习难点：1.含字母系数的一元二次方程定义类问题，对二次项系数的分类讨论。 2.一元二次方程一般式化简过程中的符号处理与项的辨别。 3.结合定义与根的性质，解决综合类参数求解问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 整式方程 一块长方形绿地的面积为，且已知长比宽多。问：长和宽各为多少？ 分析 设这块长方形绿地的宽为，它的长就是。因为绿地面积为，所以 .去括号，得 概念： 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫作_________。如我们以前学过的一元一次方程和我们将要学习的一元二次方程都是整式方程。 知识点02 一元二次方程的概念 1．概念：一般地，只含有____个未知数，且未知数的最高次数是____的整式方程叫作一元二次方程。一元二次方程的一般形式是________________________，其中叫作________，是________；bx叫作________，是________；叫作________。 如 等都是一元二次方程。 2．一元二次方程同时满足的三个条件： （1）方程两边都是关于未知数的整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2 。 例如，，，都是一元二次方程，必要时可以通过移项及化简把它们化成一般形式。 （1）概念中＂等号两边都是整式＂是对原方程而言，不是整理合并后的方程。 （2）概念中＂只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 ＂是整理合并后的方程。 （3）我们特别要注意的是＂形似一元二次方程＂的方程，当二次项系数不能判定一定不为零时，它就不一定是一个一元二次方程。 下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 判断一个方程是不是一元二次方程的步骤：先观察其是否属于整式方程，再看其移项、合并同类项后是否同时符合＂只含有一个未知数＂＂未知数的最高次数是 2 ＂这两个条件。 知识点03 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 为已知数，且 ，其中 叫作二次项， 是二次项系数；b x 叫作一次项， 是一次项系数； 叫作常数项。 （1） 是一元二次方程一般式的一个重要条件，因为方程 ，只有当 时才叫作一元二次方程，反之，如果明确指出方程 是一元二次方程，那就隐含了 这个条件，因此当方程中出现含有字母系数的 项，且出现＂关于 的方程＂这样的语句时，就要对方程中的字母进行讨论，这一点很重要，它是重要的考点之一。 （2）要确定一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数必须把一元二次方程化成一般式。需要注意的是，一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数都包含前面的符号。 （3）注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数。 一元二次方程分为完全的一元二次方程 和不完全的一元二次方程，不完全的分为 三类。 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项与各项的系数： (1) ； (2) 一元二次方程化为一般形式的步骤 第 1 步：去分母；第 2 步：去括号；第 3 步：移项；第 4 步：合并同类项。 知识点04 一元二次方程的根 1．一元二次方程的根 满足方程 的实数 叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根。 2．关于一元二次方程的根的三个重要结论 （1） 一元二次方程 有一个根是 ________ 。 （2） 一元二次方程 有一个根是 ________ 。 （3） 一元二次方程 有一个根是 ________ 。 判断一个数是不是一元二次方程的根的妙招 将这个数作为未知数的值分别代入方程的左右两边，分别计算结果，再比较左右两边的值是否相等。如果左右两边的值相等，那么这个数是原方程的根，否则就不是原方程的根。因为一元一次方程并不像一元一次方程一样只有一个根，所以对于给定的数都要检验。 若，则一元二次方程的一个根为 _____． 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 题型1 一元二次方程的定义 【例1】下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 题型2 化成一元二次方程的一般式 【例2】写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【例3】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 确定一元二次方程的各项及各项的系数，三点注意莫忽视 （1）先把方程化为一般形式，如果二次项系数小于 0 ，一般把方程两边同乘 -1 ，将其二次项系数转化为大于 0的数. （2）在确定一元二次方程各项及各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉. （3）特殊形式：若没有出现一次项bx ，则 ；若没有出现常数项，则. 【变式2-1】一元二次方程的一次项系数_______． 【变式2-2】将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型3 由一元二次方程的定义求参数 【例4】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式3-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤 (1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2，二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组； (2)解：解方程或不等式组； (3)定：确定字母的值（或取值范围）。 【变式3-2】若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【变式3-3】若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 【变式3-4】若关于的方程是一元二次方程，则___________． 题型4 判断是否是一元二次方程的解 【例5】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【例6】若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【变式4-1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【变式4-4】请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为：______________（写出一个即可） 题型5 一元二次方程的解求参数 【例7】关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【例8】若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值。 【变式5-1】已知关于的方程的一个根为2，则______． 【变式5-2】已知是方程的一个根，则______． 【变式5-3】如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 1．方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 3．如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 4．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是_____ 6．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 7．若是方程的一个解，则代数式的值为______． 8．已知是方程的一个根，则的值为______． 9．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 11．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 试卷第1页，共3页 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $