2025-2026学年高一数学下学期期末自编模拟卷（1）人教A版【强化版】

**基本信息** 立足人教A版必修二全册，以统计、向量、立体几何等核心知识为载体，通过无人机配送、社区抽奖等现实情境及离散曲率新定义问题，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|统计（第1题百分位数）、向量（第3题数量积）、立体几何（第4题位置关系）|基础巩固与多选区分度，如第9题复数综合考查模与向量| |填空题|3题15分|概率（12题组合数）、立体几何（13题圆台质量）|知识综合应用，如14题向量与三角形面积结合| |解答题|5题77分|统计综合（15题频率分布直方图）、立体几何翻折（16题线面角）、概率应用（17题抽奖模型）、新定义（19题离散曲率）|现实情境与创新探究，如17题结合商场抽奖考查独立事件，19题引入新定义体现数学思维与表达|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（1） 人教A版·强化版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9， 由可知第30百分位数是第2个数据，即为. 2．已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】由题意， 则. 3．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C．19 D．9 【答案】A 【分析】应用向量数量积的定义及其运算律求数量积即可. 【详解】由题设 . 4．已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然 ，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然 ，故B不正确； 对于选项C，，，则，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确. 5．已知事件和事件独立，若，则（   ） A．0.56 B．0.76 C．0.80 D．0.96 【答案】B 【分析】根据独立事件的乘法公式，及互斥事件的概率加法公式求解即可． 【详解】由，则， 又事件和事件独立，则事件和事件也独立， 则， 所以． 6．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接，      因为，分别为棱，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线，所成角； 作，垂足为F，则，则， 故，则； 由平面，平面，则， 结合，平面，则平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在中，，则, 即异面直线，所成角的余弦值为. 7．某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设无人机主动飞行对应的向量为，根据题意可得，列方程求解即可. 【详解】设无人机主动飞行对应的向量为，则飞行路程为， 因为，由题意可得：， 则，可得，即， 由可得， 则，且，解得，， 所以无人机主动飞行对应的向量为. 8．设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用外心对应的向量数量积结论将题干中的向量等式转化为三角形三边的关系，再结合正弦定理实现边角互化得到边长的比例关系，最后代入余弦定理计算的值. 【详解】设的内角所对的边分别为， 对于的外心，有性质，. ∵ ， ∴ ， 同理可得，. 将上述结果代入， 得 ， 化简得 . ∵ ，由正弦定理，得 ，即. 将代入，得 ，即，故. 由余弦定理，，代入，， 得 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．复数的共轭复数的模 B．若复数是纯虚数，则得或 C．若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于x的方程的一个根，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的基本概念、运算、几何意义及实系数一元二次方程的虚根性质，结合对应知识点逐一判断选项即可. 【详解】选项A：，故，A正确， 选项B：纯虚数要求实部为且虚部不为，令实部，解得或， 当时虚部，复数为实数，不符合要求，仅成立，B错误； 选项C：向量，对应的复数为，C正确； 选项D：实系数一元二次方程的虚根共轭成对，另一根为， 由韦达定理，两根和得，两根积， 故，D正确. 10．有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则， 所以与的中位数都为，故A正确； 当时，余下8个数据的极差为，故B错误； 由 ，故C正确； 又， 由，所以， 所以，即余下8个数据的平均数为， 所以， 所以，故D正确. 11．如图1，已知矩形中，，，为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为线段中点时，平面 B． C．若翻折后平面平面，则三棱锥的外接球半径为 D．当为线段中点时，过点的截面交于点，则 【答案】AD 【分析】证明平面与平面平行，再结合面面平行的性质即可判断A；利用反证法说明B错误；根据面面垂直得到线面垂直，计算长度，找到三棱锥的外接球球心，进而得到半径判断C；首先得分别为的中点，进一步根据几何形状判断即可判断D. 【详解】对于A，取中点，连接，因为为线段中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 在矩形中，，，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，假设存在某个位置，使，取中点，连接， 显然，而平面，∴平面， 平面，∴，则，但，不可能相等， 所以不可能有，B错误； 对于C，因为，为中点，根据勾股定理，， 又，即，因为平面平面， 平面平面，平面，则平面， 又，所以，根据勾股定理，即为直角三角形， 取中点，连接，可得， 所以点即三棱锥的外接球球心，半径为，C错误； 对于D，由题意得，平面，由平面，得平面， 延长交于点，连接，则平面平面， 所以，故，由，得分别为的中点， 若为的中点，则，所以，即，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 【答案】/ 【分析】根据古典型的概率求解法求解即可. 【详解】要使随机取出的3个数的和大于剩下两个数的积， 则取出的3个数分别为：5，4，3；5，4，2；5，4，1；5，3，2；5，3，1；4，3，2；共6种情况； 而总的抽取情况除了上述的6种外，还有：5，2，1；4，3，1；4，2，1；3，2，1，共4种情况， 故从5个数中任取3个数共10种情况； 所以所求概率为 13．已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 【答案】60 【详解】由圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm， 则圆台的上、下底面的面积分别为，， 而圆台的高为6cm，则圆台的体积为， 又圆台的密度为， 所以该圆台的质量为. 14．在△ABC中，已知M、N分别是AC、BC的中点，且，则______；若△ABC的面积为3，则AB的最小值为______. 【答案】 【分析】设，角A，B，C的对边分别为a，b，c，通过已知条件得，再通过正弦定理即可求出的值；过A作AH垂直于BC与，通过△ABC的面积为3得到，再把代入即可求出. 【详解】设，角A，B，C的对边分别为a，b，c 因为M、N分别是AC、BC的中点，所以，又； 所以，化简得：，即（C为锐角） 由正弦定理可得：，又， 所以，所以，即； 如图，过A作AH垂直于BC于H. 因为，所以，则； 又△ABC的面积为3，所以； 所以，即，所以AB的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 16．(15分)如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由已知，在梯形中，，，所以， 又，所以， 取的中点，连接，易知四边形为正方形， 因为，可知， 所以，所以， 又因为翻折前，所以翻折后， 又因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，且平面，所以直线平面. （2）法一：设点到平面的距离为， 由（1）可知直线平面，所以点到平面的距离为， 因为翻折后，所以， 因为直线平面，所以，所以， 由（1）可知平面，所以，所以， 由，解得， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 法二设点到平面的距离为， 在中过作，垂足为，下证平面． 由（1）可知平面，面，所以， 又，，平面 由（1）可知直线平面，所以， 在中，，， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17．（15分）某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：，两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中箱中有2个白球和个黑球，箱中有1个白球和个黑球．顾客每轮抽奖，需从，两个箱子中分别取一个球，按先后的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用） (1)顾客甲参与一轮取球，求甲在箱中取出白球的概率；（用表示） (2)已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为． （ⅰ）求，； （ⅱ）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率． 【详解】（1）甲在箱中取一个球的试验的样本空间包含个样本点， 事件A：箱取出白球包含个样本点，故甲在箱中取出白球的概率为； （2）（ⅰ）一轮取球的试验的样本空间包含个样本点， 事件：“获得5元代金券”包含个样本点，事件：“只获得一张代金券且为2元代金券”包含个样本点， 所以，解得； （ⅱ）乙可足额支付停车费的概率，即乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率， 乙两轮抽奖试验的样本空间包含个样本点，获得的代金券面值叠加后大于等于8元的有：（白，白，白，白），（白，白，黑，白），（黑，白，白，白）， 共3个随机事件，均包含4个样本点，所以发生的概率为， 所以乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率为， 即乙可足额支付停车费的概率为． 18．（17分）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 19．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． (1)求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； (2)若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 【详解】（1）由离散曲率的定义以及直四棱柱的性质可得 ． （2）（i）如图所示: ， 可得． 又，所以． 又直四棱柱的所有棱长都相等， 所以直四棱柱为正方体． 如图所示:正六边形为平面截直四棱柱所得截面， 其中6个顶点分别为所在棱的中点，正六边形的边长为， 其面积为． （ii）如图所示，作点关于平面的对称点，则． 过作平面，垂足为，所以， 即的最小值为点到平面的距离，即垂线段的长． 由可得， 所以， 所以的最小值为． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（1） 人教A版·强化版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 3．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C．19 D．9 4．已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．已知事件和事件独立，若，则（   ） A．0.56 B．0.76 C．0.80 D．0.96 6．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（    ） A． B． C． D． 8．设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．复数的共轭复数的模 B．若复数是纯虚数，则得或 C．若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于x的方程的一个根，则 10．有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 11．如图1，已知矩形中，，，为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为线段中点时，平面 B． C．若翻折后平面平面，则三棱锥的外接球半径为 D．当为线段中点时，过点的截面交于点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 13．已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 14．在△ABC中，已知M、N分别是AC、BC的中点，且，则______；若△ABC的面积为3，则AB的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 16．(15分)如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：，两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中箱中有2个白球和个黑球，箱中有1个白球和个黑球．顾客每轮抽奖，需从，两个箱子中分别取一个球，按先后的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用） (1)顾客甲参与一轮取球，求甲在箱中取出白球的概率；（用表示） (2)已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为． （ⅰ）求，； （ⅱ）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率． 18．（17分）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 19．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． (1)求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； (2)若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $