2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（二十）（人教B版必修第四册）

**基本信息** 聚焦人教B版必修四核心内容，以解三角形、复数、立体几何为模块，通过多样化题型整合知识逻辑，渗透数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|4题（如1、5、7、9）|结合正弦/余弦定理、面积公式，考查边角关系与形状判断|从三角形基本量关系到定理应用，构建“已知量→定理选择→结论推导”逻辑链| |复数|4题（如2、6、8、10）|围绕概念、运算及几何意义，涉及纯虚数、共轭复数等|从复数定义到四则运算，形成“概念辨析→运算推理→几何表征”认知路径| |立体几何|3题（如3、4、11）|考查面面垂直性质、线面角及点面距离|以空间垂直关系为基础，建立“位置关系判定→空间角计算→距离求解”思维脉络|

2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（二十） （考试时间：40分钟 分值：78分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第四册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 3.已知平面平面，直线，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图，在正方体中，直线与平面所成角的余弦值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论正确的是(    ) A. 中，若，则为锐角三角形 B. 锐角中， C. 中，若，则 D. 中，若，则为锐角三角形 6.已知为虚数单位，则下面命题正确的是(    ) A. 若复数，，则的共轭复数为 B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则 C. 若复数，满足，则 D. 复数的虚部是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在中，角，，的对边分别为，，，，若，，且，则的面积为            ． 8.已知复数是纯虚数为虚数单位，则实数的值为          ． 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，有， 求角的大小； 若，求的面积． 10.本小题分 已知复数，，其中为虚数单位． 若是纯虚数，求实数的值 若，设，，求的值． 11.本小题分 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． 求证：平面 求点到平面的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（二十） （考试时间：40分钟 分值：78分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第四册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 3.已知平面平面，直线，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图，在正方体中，直线与平面所成角的余弦值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论正确的是(    ) A. 中，若，则为锐角三角形 B. 锐角中， C. 中，若，则 D. 中，若，则为锐角三角形 6.已知为虚数单位，则下面命题正确的是(    ) A. 若复数，，则的共轭复数为 B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则 C. 若复数，满足，则 D. 复数的虚部是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在中，角，，的对边分别为，，，，若，，且，则的面积为            ． 8.已知复数是纯虚数为虚数单位，则实数的值为          ． 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，有， 求角的大小； 若，求的面积． 10.本小题分 已知复数，，其中为虚数单位． 若是纯虚数，求实数的值 若，设，，求的值． 11.本小题分 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． 求证：平面 求点到平面的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（二十） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由公式，可得， 所以． 故选：． 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， 则． 故选：． 3.已知平面平面，直线，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查充分必要条件的判定、空间中直线与平面的位置关系，属于基础题． 由时，则一定有，当时，“”不一定成立，即可得出结论． 【解答】 解：平面平面，直线， 当时，则一定有； 反之，当时，“”不一定成立， 则“”是“”的充分而不必要条件． 故选：． 4.如图，在正方体中，直线与平面所成角的余弦值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了线面角的计算，考查计算能力，属于基础题． 连接，则为直线与平面所成的角，在中求出即可． 【解答】 解：连接， 平面， 为直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，， ． 故选D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论正确的是(    ) A. 中，若，则为锐角三角形 B. 锐角中， C. 中，若，则 D. 中，若，则为锐角三角形 【答案】BCD  【解析】解：对于，，又， 所以，化简得，所以、中有一个为钝角，所以A错误； 对于，因为为锐角三角形，所以，即， 且，，所以，即，所以正确； 对于，由正弦定理，又，所以，所以C正确； 对于，由，可得，易得，均为锐角，所以， 化简得，即，所以也为锐角，所以D正确． 故选：． 6.已知为虚数单位，则下面命题正确的是(    ) A. 若复数，，则的共轭复数为 B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则 C. 若复数，满足，则 D. 复数的虚部是 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查复数的有关概念、复数的代数表示及其几何意义以及复数的运算，属于基础题． 通过对各个选项逐一判断即可． 【解答】 解：对于：复数，，则的共轭复数为，故错误； 对于：，在复平面内对应的点为，得， 即，故正确； 对于：复数，满足， 设，则，则，故正确； 对于：，虚部是，故错误． 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在中，角，，的对边分别为，，，，若，，且，则的面积为            ． 【答案】  【解析】解：因为，，且， 所以，即， 因为，由余弦定理得：， 因此，解得， 所以的面积为． 故答案为：． 8.已知复数是纯虚数为虚数单位，则实数的值为          ． 【答案】  【解析】解：由复数， 因为复数是纯虚数，所以， 解得，经检验符合题意． 故答案为：． 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，有， 求角的大小； 若，求的面积． 【答案】解：由题意可得，，故 由三角形的面积公式可得． 因此，的面积为． 【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式，属于基础题． 利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 利用三角形的面积公式可得出的面积． 10.本小题分 已知复数，，其中为虚数单位． 若是纯虚数，求实数的值 若，设，，求的值． 【答案】解：是纯虚数 解得 ，，， ， ，， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11.本小题分 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． 求证：平面 求点到平面的距离． 【答案】解：证明：取的中点，连接，， 因为、分别为、的中点，所以，， 又，，则，， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，则平面； 因为平面，，平面，所以，， 因为，，所以， 又，，平面，则平面， 因为，所以点到平面的距离等于到平面的距离， 过作交于，又平面，平面， ， 又，，平面， 平面，即为所求点到面的距离， 又且，， 即点到平面的距离为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $