精品解析：2026年湖南娄底市初中毕业学业考试提分 数学

2026年初中毕业学业考试提分卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 2．必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 一、选择题： 1. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 2. 如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， 解得． 3. 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 4. 如图，在中， ，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由 ，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴ ， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵ ，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作 轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作 轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 6. 如图1，连接菱形的对角线，动点P由点B出发以每秒1个单位的速度沿匀速运动至点A，速度不变再沿匀速移动至点D，点P的运动时间为x（秒），运动过程中点P到的距离为y（单位），x与y的函数图像如图2所示，观察函数图像信息可知菱形的面积为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据图象得，再根据勾股定理求出对角线，最后根据菱形是面积公式求解． 【详解】解：连接，交于点，则， 由图象得：， ， ， ∴菱形的面积为：， 故选：C． 7. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于 ，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时， ，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 ，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于 ，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当 时， ，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 ，原说法正确，不符合题意； 故选：C 8. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为 ； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为 ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 二、填空题 9. 若有意义，则应满足______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 11. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 12. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为 ，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于 ，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于 ，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________ ． 【答案】97 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 14. A，B两地相距 ，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键；  设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 15. 如图，点是 内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点 、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到 ，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是 内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴ ， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 16. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ③ ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 【详解】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴ ， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开立方，再算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】原式 ． 18. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 19. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】（1）每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； 【小问2详解】 解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 20. 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． （1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． （2）图 是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点 ．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于点 ，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长； （2）延长 ，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点 ，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得 ， ， 即圆心 到的距离为． 【小问2详解】 解：如图，延长 ，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 21. 如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点 ，连接 ，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，的面积为2，求的面积． 【答案】（1）证明：∵为的直径，点在上， ∴ ， ∴ ， ∵， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）证明：连接，过点 作交于，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； （3）72 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得 ，根据同弧所对的圆周角相等可推得，根据等角的余角相等可推得 ，即可证明； （2）连接，过点 作交于，根据角平分线的性质可得，根据等角对等边可推得是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得三点共线，即可证明； （3）根据正切的定义可得，设，则，根据勾股定理推得 ，结合（2）中结论可推得，，根据相似三角形的判定和性质可得，推得，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． （1）①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． （2）如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若， ，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 【答案】（1）（1）①；②见解析 （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，进一步可得 ，所以，结论得证． ②延长 交于点，证明，得到，再由直角三角形斜边中线的性质即可求证； （2）①连接，作于，，则可， 在中，由勾股定理建立方程；②作于，可得，则，而，那么，当最小时，四边形面积最小，此时点与点重合，；最大时，四边形面积最大，此时点与点重合，即可求解． 【小问1详解】 （1）①解：，如图： ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴ ， ∴， ∴ ， 在和中， ∵ ， ， ∴， ∴． ②证明：延长 交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接，作于． ∵正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，设，则， ∴ ，， 垂直平分，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在中， ， ， ， ，； ②如图，作于． 垂直平分， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，四边形面积最小，此时点与点重合，； 最大时，四边形面积最大，此时点与点重合，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大． 23. 已知二次函数的图像与x轴交于点 ， 两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）直线经过定点 【解析】 【分析】（1）将点A和点B坐标代入二次函数解析式即可得解； （2）分两种情形：当点P在线段上时，连接，交于R，设，根据 求得t的值，可推出四边形 是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在的延长线上时，同样方法得出结果； （3）设，，则可求出直线解析为，再求出直线和解析式可得和，再根据可得，再代入解析式即可得解． 【小问1详解】 解：将点 ， 代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 当点P在线段上时，连接，交于R， ∵点B和点Q关于对称， ∴ ， 设， 由得，， ∴，（舍去）， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∵，， ∴； 如图， 当点P在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：设，， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 直线解析式为， 令，得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入直线解析式为， 当时，， ∴直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业学业考试提分卷 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 2．必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 一、选择题： 1. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中， ，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，连接菱形的对角线，动点P由点B出发以每秒1个单位的速度沿匀速运动至点A，速度不变再沿匀速移动至点D，点P的运动时间为x（秒），运动过程中点P到的距离为y（单位），x与y的函数图像如图2所示，观察函数图像信息可知菱形的面积为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 7. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于 ，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 8. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为 ； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题 9. 若有意义，则应满足______． 10. 因式分解：=______． 11. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 12. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为 ，则落在地面上的投影_____． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________ ． 14. A，B两地相距 ，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 15. 如图，点是 内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点 、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 16. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 19. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 20. 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． （1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． （2）图 是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点 ．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 21. 如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点 ，连接 ，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，的面积为2，求的面积． 22. 已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． （1）①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． （2）如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若， ，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 23. 已知二次函数的图像与x轴交于点 ， 两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $