第二章 直线和圆的方程（思维导图+知识清单+七大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以思维导图+知识清单+易错点总结构建直线和圆的方程专项体系，通过概念生成-原理推导-应用拓展逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线方程|5种形式+判定|方程形式选择（如截距式需验截距非零）|倾斜角→斜率→方程形式→适用条件递进| |位置关系|平行/垂直判定|几何法（斜率关系）与代数法（方程组解）|斜率关系→方程联立→位置关系判定| |距离与对称|3类距离+2类对称|点线距公式、对称点坐标公式|距离公式推导→对称性质应用| |圆的方程|2种形式+位置关系|标准方程（圆心半径）与一般方程（D²+E²-4F>0）|圆的定义→方程形式→点/线/圆位置关系| |易错点|7个典例+跟踪训练|倾斜角范围、截距为0等分类讨论|错误类型→原理分析→规避策略|

第二章 直线和圆的方程（思维导图+知识清单+七大易错点总结） 【人教A版】 2.1 直线的倾斜角与斜率 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识点2 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式 【知识点1 直线的点斜式方程】 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 【知识点2 直线的斜截式方程】 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【知识点3 直线的两点式方程】 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 【知识点4 直线的截距式方程】 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【知识点5 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【知识点6 方向向量与直线的参数方程】 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即()=t(m,n)，所以①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 2.3 直线的方程（二） 【知识点1 直线方程的求法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【知识点3 直线方程的实际应用】 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 2.4 直线的交点坐标与距离公式 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 2.5 点、线间的对称关系 【知识点1 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【知识点2 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 2.6 圆的方程 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 2.7 直线与圆的位置关系 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 2.8 圆与圆的位置关系 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. 2．圆与圆的位置关系的判定方法 (1)利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 (2)代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【易错点1 忽略直线倾斜角的取值范围】 易错点分析：错误的认为直线的倾斜角的取值范围为0°≤α≤90°；要明确直线的倾斜角的取值范围为0°≤α<180°. 【典例1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【易错点2 判断两条直线的位置关系：忽略斜率不存在或者两条直线重合的情况】 易错点分析：①判断两条直线是否平行(不重合)时，要分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑； ②判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 【典例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【跟踪训练2.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·福建·期中）设为实数，已知直线，，若，则（    ） A．6 B．-2 C．4 D．-6 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【易错点3 忽略了截距为0的情况】 易错点分析：题目中出现截距问题时，忽略了直线的截距为0的情况，而直接使用了直线截距式方程求解，从而产生错误. 关键点：出现截距问题时，首先要考虑截距为0的情况，贯彻分类讨论的思想，做到不遗不漏. 【注】：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【典例3】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 【易错点4 两平行线间的距离公式使用不当】 易错点分析：两条直线平行求两平行线间的距离时，使用两平行线间的距离公式时忽略了将两直线一般式方程中的系数A和B化为一致这一关键点，从而导致计算错误. 【注】：设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 【典例4】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·广西崇左·期末）已知平行直线与之间的距离为，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【易错点5 忽略了二元二次方程表示圆的条件】 易错点分析：二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 【注】：二元二次方程表示圆的条件是. 【典例5】（25-26高二上·天津·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【跟踪训练5.2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.3】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.4】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错点6 圆的曲线方程变形不等价】 易错点分析：对于直线与部分圆的相交问题，在对曲线方程进行变形时，忽略了变量x，y的取值范围，从而导致变形不等价. 【典例6】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.2】（25-26高二上·山东泰安·期中）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.4】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【易错点7 错误判断两圆公切线的条数】 易错点分析：对于两圆的公切线条数问题，没有弄懂两圆的位置关系对两圆的公切线条数的影响，导致结果错误. 【注】：两圆的公切线条数有5种情况： ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 【典例7】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练7.1】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【跟踪训练7.2】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练7.3】（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【跟踪训练7.4】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程（思维导图+知识清单+七大易错点总结） 【人教A版】 2.1 直线的倾斜角与斜率 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识点2 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式 【知识点1 直线的点斜式方程】 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 【知识点2 直线的斜截式方程】 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【知识点3 直线的两点式方程】 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 【知识点4 直线的截距式方程】 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【知识点5 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【知识点6 方向向量与直线的参数方程】 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即()=t(m,n)，所以①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 2.3 直线的方程（二） 【知识点1 直线方程的求法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【知识点3 直线方程的实际应用】 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 2.4 直线的交点坐标与距离公式 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 2.5 点、线间的对称关系 【知识点1 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【知识点2 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 2.6 圆的方程 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 2.7 直线与圆的位置关系 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 2.8 圆与圆的位置关系 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. 2．圆与圆的位置关系的判定方法 (1)利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 (2)代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【易错点1 忽略直线倾斜角的取值范围】 易错点分析：错误的认为直线的倾斜角的取值范围为0°≤α≤90°；要明确直线的倾斜角的取值范围为0°≤α<180°. 【典例1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分和两种情况，表示出斜率并求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【解答过程】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，则， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：D. 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解答过程】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D. 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【解答过程】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【解答过程】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解答过程】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 【易错点2 判断两条直线的位置关系：忽略斜率不存在或者两条直线重合的情况】 易错点分析：①判断两条直线是否平行(不重合)时，要分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑； ②判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 【典例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【解答过程】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上，. 故选：B. 【跟踪训练2.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，解得或， 当时，方程不为直线，舍去，则. 故选：D. 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·福建·期中）设为实数，已知直线，，若，则（    ） A．6 B．-2 C．4 D．-6 【答案】A 【解题思路】利用两直线平行，斜率相等且截距不相等，来进行求解即可. 【解答过程】因为直线，，且， 所以， 解得或， 当时，，，两直线重合，故舍去， 故选：A. 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】B 【解题思路】根据两条直线平行系数关系列式计算求解参数. 【解答过程】直线，直线， 由，得，即，即，解得或. 当时，两直线重合，舍去. 当时，满足平行且不重合. 故选:B. 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【解答过程】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 【易错点3 忽略了截距为0的情况】 易错点分析：题目中出现截距问题时，忽略了直线的截距为0的情况，而直接使用了直线截距式方程求解，从而产生错误. 关键点：出现截距问题时，首先要考虑截距为0的情况，贯彻分类讨论的思想，做到不遗不漏. 【注】：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【典例3】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【解答过程】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据已知，讨论截距是否为0，分别设直线为、，结合所过的点求参数，即可得直线方程. 【解答过程】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D. 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【解答过程】因为直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为， 代入得，此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，此时直线的方程为； 综上所述：所求直线的方程为或. 故选：D. 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【解答过程】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）两条直线垂直，在两条直线都有斜率的情况下，利用求出所求直线的斜率，利用直线的点斜式求出所求直线方程； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，利用已知两点的斜率公式求出所求直线的斜率为，利用直线的点斜式求出所求直线方程；当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，设所求直线方程为截距式，代入点，计算出，将代入截距式整理得解. 【解答过程】（1）设所求直线的斜率为，已知直线的斜率为， 所求直线和已知直线垂直，，，， 又所求直线过点，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 整理得即为所求； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 又所求直线过点， 则所求直线的斜率为，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 即； 当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 设所求直线方程为，又所求直线过点， 将点代入，得到，解得， 将代入得到，整理得即为所求； 综上可知，所求直线方程为或. 【易错点4 两平行线间的距离公式使用不当】 易错点分析：两条直线平行求两平行线间的距离时，使用两平行线间的距离公式时忽略了将两直线一般式方程中的系数A和B化为一致这一关键点，从而导致计算错误. 【注】：设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 【典例4】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【解答过程】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【解答过程】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·广西崇左·期末）已知平行直线与之间的距离为，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】先根据两直线平行求出参数，然后由平行线之间的距离公式求出参数，最后求出即可. 【解答过程】因为与平行，所以，得， 则， 所以，计算得或， 所以或. 故选：A. 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【解题思路】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【解答过程】对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A. 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线平行求出参数的值，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故选：D. 【易错点5 忽略了二元二次方程表示圆的条件】 易错点分析：二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 【注】：二元二次方程表示圆的条件是. 【典例5】（25-26高二上·天津·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将已知化为圆的标准方程进行求解即可. 【解答过程】将方程化简得， 要使得该方程表示圆，则，解得. 故选：C. 【跟踪训练5.1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【解答过程】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 【跟踪训练5.2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【解答过程】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【跟踪训练5.3】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【解答过程】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 【跟踪训练5.4】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据得到不等式，求出答案. 【解答过程】由题意可得，即，解得或. 故选：A. 【易错点6 圆的曲线方程变形不等价】 易错点分析：对于直线与部分圆的相交问题，在对曲线方程进行变形时，忽略了变量x，y的取值范围，从而导致变形不等价. 【典例6】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【解答过程】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 【跟踪训练6.1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到直线过定点，曲线表示位于轴上方的半圆，画出图形，结合图形，利用斜率公式和点到直线的距离公式并结合图象求解取值范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为，可得直线过定点， 将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所示，    当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时，直线与曲线只有一个交点， 由，解得，即， 曲线与直线有两个交点，结合图形，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【跟踪训练6.2】（25-26高二上·山东泰安·期中）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题可得曲线为圆的右半圆，数形结合，再利用切线性质计算即可得解. 【解答过程】由，可得，且， 故曲线为圆的右半圆， 作出直线与曲线的图象如下图所示：    当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，， 且有，解得， 当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时； 当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时， 结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点. 故选：A. 【跟踪训练6.3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解． 【解答过程】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），    当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离，且， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 可得，则 结合图形可得实数的取值范围是． 故选：A． 【跟踪训练6.4】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 【易错点7 错误判断两圆公切线的条数】 易错点分析：对于两圆的公切线条数问题，没有弄懂两圆的位置关系对两圆的公切线条数的影响，导致结果错误. 【注】：两圆的公切线条数有5种情况： ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 【典例7】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】求出两圆的位置关系，再根据位置关系判断即可． 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 又，故， 得两圆外切，所以两圆的公切线条数为3． 故选：B． 【跟踪训练7.1】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【解题思路】几何法判断两圆的位置关系，进而得到公切线的条数. 【解答过程】圆，可知圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 计算，因为， 所以，可知两圆相交， 则圆与圆公切线条数有2条. 故选：C. 【跟踪训练7.2】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知两圆相外切或相离，求出两圆的圆心和半径，可得，由此可求出的取值范围. 【解答过程】当圆和圆至少有3条公切线， 所以两圆相外切或相离， 圆的圆心， 圆的圆心， ，， 当两圆相外切时可得，则， 当两圆相离时可得：，则， 则，解得：，又因为，可得. 故选：C. 【跟踪训练7.3】（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【解题思路】根据两圆的方程求出圆心和半径，判断两圆的位置关系，即得公切线条数. 【解答过程】由可得，则其圆心为，半径为； 由可得其圆心为，半径为， 因，由可知两圆外离， 故圆与圆的公切线有4条. 故选：A. 【跟踪训练7.4】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. 【解答过程】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则， 因此，即，解得， 故选：C. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $