第二章 直线和圆的方程综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线和圆的方程综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B. 2．（5分）（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【解答过程】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 3．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【解答过程】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【解答过程】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B. 5．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【解答过程】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 6．（5分）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解答过程】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），画出图形，得到特殊位置的斜率，得到答案. 【解答过程】，两边平方得，即， 故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点）， 如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为， 其中，故， 设切线为，即， 圆心到直线的距离为1， 即，即， 解得或，由图形可知，切线斜率大于1， 故舍去， 所以直线的斜率范围为. 故选：C. 8．（5分）（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【解题思路】对于A，将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程再联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；对于B，利用弦长公式即可判断；对于C，根据切线的定义进行判断；对于D，根据结合线段长度求解出结果并判断. 【解答过程】由圆，得， 则圆心，半径， 线段的中点坐标为，且， 则圆，即. 对于选项A：联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对于选项B：圆心到直线的距离为， 则，故B正确； 对于选项C：因为在以为直径的圆上，则， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 所以四边形的面积为，故D错误． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【解题思路】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【解答过程】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【解题思路】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【解答过程】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【解答过程】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【解题思路】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【解答过程】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【解题思路】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【解答过程】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·河南商丘·期中）过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 【解题思路】作图，根据圆的切线的性质，设，则，根据点在圆上求出的范围，进而得到的范围，最终得到的取值范围. 【解答过程】 圆的圆心为，半径为1， 将圆化为， ，半径为2，， 点在圆上， ， 设与交于点，，，则， 在中，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 16．（15分）（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【解题思路】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【解答过程】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 17．（15分）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 18．（17分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【解题思路】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解答过程】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 19．（17分）（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 【解题思路】（1）根据弦长和圆心到直线的距离可求得半径，利用半径可求的值. （2）利用几何特征可得，问题转化为求的最小值，利用点到直线的距离可得结果. 【解答过程】（1） 如图，设圆与轴交于两点，则， 过点作于点，连接，则， ∴，即圆半径为， ∴圆标准方程为，化为一般方程为， ∴. （2） 如图，连接. 由题意得，，与全等， ∴， 当取最小值时，四边形的面积有最小值， 的最小值为点到直线的距离，即， ∴四边形的面积的最小值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程综合检测卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 10．（6分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 11．（6分）（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 13．（5分）（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 14．（5分）（24-25高二上·河南商丘·期中）过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 16．（15分）（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 17．（15分）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 18．（17分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分）（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆被轴截得的弦长为，点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和． (1)求的值； (2)求四边形面积的最小值． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$