暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（基础篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【解答过程】在平行六面体中，==. 故选：C. 2．（5分）（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D. 3．（5分）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B．5 C． D．10 【解题思路】根据题意，化简抛物线的方程为，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得，则，可得， 所以物线的焦点到准线的距离是. 故选：B. 4．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【解题思路】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【解答过程】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 5．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【解答过程】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 6．（5分）（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【解答过程】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【解答过程】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得 ，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【解答过程】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【解题思路】根据空间向量的定义直接判断. 【解答过程】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 10．（6分）（24-25高二下·山西·阶段练习）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【解题思路】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【解答过程】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 11．（5分）（2025·四川·一模）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（    ） A． B． C．当不共线时，的周长为 D．设点到直线的距离为，则 【解题思路】根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义可知ABC正误；设，结合两点间距离公式和点在椭圆上可化简求得D正确. 【解答过程】 对于A，由题意知：，，，，A错误； 对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确； 对于C，， 的周长为，C正确； 对于D，作垂直于直线，垂足为， 设，则， ， ， ，，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 ． 【解题思路】根据点到直线距离公式计算即可. 【解答过程】点到直线的距离为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【解题思路】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【解答过程】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以 . 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【解题思路】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【解答过程】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山西太原·阶段练习）求适合下列条件的曲线的方程． (1)顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； (2)焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 【解题思路】（1）根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. （2）根据焦点坐标，可得c值及焦点在y轴，根据双曲线定义，可得值，根据c的关系，可得，即可得答案. 【解答过程】（1）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （2）因为焦点为，，所以，且焦点在轴， 因为双曲线经过点， 根据双曲线定义可得， 解得， 又， 所以双曲线方程为：. 16．（15分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【解题思路】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【解答过程】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 17．（15分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 【解题思路】（1）根据直线平行得斜率相等，再根据点斜式方程即可求解； （2）根据题意可知所求直线与AC平行或者过A，C中点，分类求解即可. 【解答过程】（1），∴直线BC的斜率为：. ∴过点A且平行于BC的直线的方程为：，即. （2）由题知可知：的中点坐标为：，直线的方程为：. 当直线与AC平行时，直线的一般方程为：； 当直线经过A，C中点时，，此时直线的方程为：，即. 综上所述：过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程为：或. 18．（17分）（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值. 【解题思路】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为：． （2）联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 则，，， 所以. 19．（17分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，，点E是PD的中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面PAD所成角的正弦值． 【解题思路】（1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角余弦值，进而求其正弦值. 【解答过程】（1）连接，交于，连接，底面ABCD是菱形，故为的中点， 由点E是PD的中点，则，面，面， 所以平面； （2）由侧面底面ABCD，，即， 侧面底面ABCD，侧面，则底面ABCD， 底面ABCD是菱形，，如图作，则可构建空间直角坐标系， 则， 所以， 令分别为平面与，平面PAD的一个法向量， ，取，则， ，取，则， 所以平面与平面PAD所成角的余弦值为，故其正弦值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（基础篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B．5 C． D．10 4．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 5．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得 ，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．（6分）（24-25高二下·山西·阶段练习）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 11．（5分）（2025·四川·一模）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（    ） A． B． C．当不共线时，的周长为 D．设点到直线的距离为，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 ． 13．（5分）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 14．（5分）（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山西太原·阶段练习）求适合下列条件的曲线的方程． (1)顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； (2)焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 16．（15分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 17．（15分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 18．（17分）（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值. 19．（17分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，，点E是PD的中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面PAD所成角的正弦值． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$