第二章 直线和圆的方程单元综合测试-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 4．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 6．圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 11．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 13．已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 14．在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 16．（15分） 已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程； (2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 17．（15分） 已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 19．（17分） 已知曲线. (1)在答题卡中画出C的大致图形，并说明理由. (2)若是C上的动点，，，证明：为定值. (3)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围. 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 2．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 3．若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 【答案】A 【解析】依题意，直线的斜率，解得． 故选：A 4．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 反之，当时，直线与圆相切， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C 5．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题意有，即. 故选：B. 6．圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 7．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 8．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【解析】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【解析】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 11．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【解析】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 13．已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】， ，故， 即， 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为动点到两点的距离的平方和为10，所以， 化简上述等式得到动点的轨迹方程为，故点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆． 因为，其中可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【解析】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 16．（15分） 已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程； (2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 【解析】（1）由题意，圆心为，过点， 则半径， 所以圆C的标准方程为； （2）设，则由题意可得， 化简可得 17．（15分） 已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【解析】（1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【解析】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 19．（17分） 已知曲线. (1)在答题卡中画出C的大致图形，并说明理由. (2)若是C上的动点，，，证明：为定值. (3)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围. 【解析】（1）由，得或， 所以C由两条直线与圆组成. 故C的图形如图所示. （2）因为，所以点P在圆上， 所以，所以为定值. （3）将代入，得，将代入，得，则. 因为，所以l不经过点，（，依题意可得，l与圆的所有交点的纵坐标之和大于. 当时，l与C的所有交点的纵坐标之和为，所以不符合题意. 当时，联立消去x，得. 因为l过定点，且该点在圆的内部，所以l与圆总有两个交点. 设l与圆的交点为，，则，解得， 故m的取值范围为. 第2页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$