第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间中点、直线和平面的向量表示 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题. 【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【解答过程】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【解答过程】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即， 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【解答过程】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 模块三 空间中直线、平面的平行 【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（25-26高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可得，设，列方程求. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【解答过程】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【解答过程】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（25-26高二上·重庆铜梁·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【解答过程】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【解答过程】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【解答过程】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式3-3】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【解答过程】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【解答过程】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】B 【解题思路】由空间向量平行的坐标表示得结论． 【解答过程】因为，所以，所以，解得， 故选：B． 【变式4-2】（25-26高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【解答过程】以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【变式4-3】（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 模块四 空间中直线、平面的垂直 【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解题思路】利用向量的数量积得到，故，从而得到结论. 【解答过程】，， ， 是直线的方向向量， 的位置关系是垂直. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为0的性质逐项求解即可. 【解答过程】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直， 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. 【解答过程】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）由（1）易得， 因，故. 【变式5-3】（25-26高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合，即可证得； （2）由（1）知，结合向量模的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为四棱锥的底面为直角梯形， ，，且底面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且为的中点， 可得，则， 所以， 又因为， 所以，即. （2）由（1）知：，可得， 所以的长为. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据线面垂直得到与平行，设，得到方程组，求出. 【解答过程】因为直线与平面垂直，故与平行； 设且，即，解得. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，，根据空间向量的数量积运算可得，进而可得平面. 【解答过程】设，，， 则 为空间所有向量的一个基底，且，，， 因为，， 所以，， ，， ，又，平面， 平面. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·海南·阶段检测）如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，.    (1)求的长度； (2)求证：平面. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【解答过程】（1）设，，， 由于四边形为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 因为，计算： ， 所以， 又因为，、平面． 所以平面. 【变式6-3】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行； 【解答过程】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】由可得：，再根据数量积的运算公式进行求解即可. 【解答过程】由于，可得：，即， 解得：. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面的位置关系可得法向量关系，根据坐标运算可求结果. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【解答过程】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴， ∴平面平面. 【变式7-3】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【题型8 空间中线、面位置关系的探索性问题】 【例8】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【解题思路】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【解答过程】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 【变式8-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 【变式8-2】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【解题思路】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 【变式8-3】（25-26高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点Q为点B 【解题思路】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【解答过程】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【解答过程】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D. 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【解答过程】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A. 3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【解答过程】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 4．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． 或 D．与斜交 【答案】C 【解题思路】根据向量与的数量积为零，判断，再根据线面平行的判定定理可得，或者. 【解答过程】根据和得：； 因为，可得，所以； 为平面的法向量，所以或者. 故选：C. 5．（25-26高二上·山西·阶段检测）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据，得，利用数量积坐标运算列式计算求解. 【解答过程】因为平面，所以，则，解得. 故选：B. 6．（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【解答过程】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 7．（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【解答过程】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0, ,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C. 8．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．与夹角为 B．与平面垂直 C．与垂直 D．与平面平行 【答案】A 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【解答过程】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，，, ， 即，，夹角为， 所以与夹角为，A错误 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 则，所以，故C正确； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以 平面，故D正确. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【解答过程】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 10．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A． 平面 B． 平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出所需的点坐标，选项A，利用平行即可得出；选项B，求出平面的法向量，利用法向量与向量数量积为0即可判断；选项C，利用即可验证；选项D，利用即可说明. 【解答过程】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，分别以所在直线 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 选项A，因为， 所以，所以 ， 由平面，平面， 所以 平面，故A正确； 选项B，， 设平面的一个法向量为， 由 由，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由， 所以，直线不在平面内， 故 平面，故B正确； 选项C，由， 因为， 所以， 又因为，所以平面，故C正确； 选项D：由， 则，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故D错误， 故选：ABC. 11．（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【解题思路】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】求出，由，求解即可． 【解答过程】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为：. 13．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且 ，则____________. 【答案】2 【解题思路】由线面平行得到，再由向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】由题可得， 所以. 故答案为：2. 14．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【解题思路】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【解答过程】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【解题思路】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【解答过程】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 17．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线 平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【解答过程】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线 平面. 18．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【解答过程】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 19．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【解答过程】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间中点、直线和平面的向量表示 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题. 【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 模块三 空间中直线、平面的平行 【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（25-26高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式2-2】（25-26高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（25-26高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（25-26高二上·重庆铜梁·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【变式3-1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【变式3-3】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【变式4-2】（25-26高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【变式4-3】（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 模块四 空间中直线、平面的垂直 【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【变式5-1】（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【变式5-3】（25-26高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求的长. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·海南·阶段检测）如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，.    (1)求的长度； (2)求证：平面. 【变式6-3】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式7-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【变式7-3】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【题型8 空间中线、面位置关系的探索性问题】 【例8】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【变式8-2】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（25-26高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． 或 D．与斜交 5．（25-26高二上·山西·阶段检测）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 6．（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．与夹角为 B．与平面垂直 C．与垂直 D．与平面平行 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A． 平面 B． 平面 C．平面 D．平面 11．（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 三、填空题 12．（25-26高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 13．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且 ，则____________. 14．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 16．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 17．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线 平面． 18．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 19．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $