第12讲 圆的方程（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第12讲 圆的方程（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 圆的方程 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆的方程为：，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（25-26高二上·广东广州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 模块三 二元二次方程与圆的方程 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式5-2】（25-26高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-3】（25-26高二上·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为____________． 模块四 点与圆的位置关系 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 模块五 轨迹方程 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 圆有关的轨迹问题】 【例7】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 模块六 与圆有关的对称问题 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式8-2】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 模块七 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 11．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 三、填空题 12．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 13．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为_________． 14．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为_________. 四、解答题 15．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 16．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 17．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 18．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆的方程（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 圆的方程 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【解答过程】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意求出圆心坐标和半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【解答过程】因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得圆心坐标与半径，据此可得答案. 【解答过程】由题可得圆心坐标为，圆直径为：，则圆半径为. 从而圆方程为：. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【解答过程】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D. 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【解答过程】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【解答过程】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【解答过程】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【解答过程】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【解答过程】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆的方程为：，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的一般方程与标准方程互化可得圆心坐标. 【解答过程】易知圆方程可化为， 因此圆心坐标为. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据圆的标准方程的性质得出圆心和半径． 【解答过程】圆的标准方程为， 圆心为，半径的平方，故半径，故C正确． 故选：C． 【变式3-3】（25-26高二上·广东广州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【解答过程】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 模块三 二元二次方程与圆的方程 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【解答过程】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程转化成圆的标准方程结构即可求解. 【解答过程】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【解答过程】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【变式4-3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【解答过程】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式5-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【解题思路】将代入圆的方程进行求解． 【解答过程】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故， 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【解答过程】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高二上·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为____________． 【答案】或 【解题思路】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解答过程】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 模块四 点与圆的位置关系 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解题思路】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【解答过程】， 在圆外， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【解答过程】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【解答过程】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【解答过程】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 模块五 轨迹方程 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 圆有关的轨迹问题】 【例7】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，应用中点坐标公式写出点坐标，代入已知圆的方程即可得轨迹. 【解答过程】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【解答过程】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 模块六 与圆有关的对称问题 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程. 【解答过程】圆的圆心坐标为，关于直线对称点的坐标为， 所以圆的方程是. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【解答过程】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对称后圆心关于直线对称，半径不变可求出圆的方程。 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆半径为，设圆圆心为， 则两圆圆心连线的中点在直线上 ，且两圆心所在直线与直线垂直， 故，解得 ，所以圆圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得. 【解答过程】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 模块七 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【解答过程】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 故圆的半径为2. 故选：B. 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 3．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【解答过程】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 4．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【解答过程】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆的半径，进而得圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可求解. 【解答过程】由圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，， 所以圆心坐标为，圆的直径为， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为：，即， 故选：B. 7．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【解答过程】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 8．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，求出圆的一般方程，求其半径长即可. 【解答过程】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【解答过程】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB. 10．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BCD 【解题思路】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【解答过程】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【解题思路】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【解答过程】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 【答案】 【解题思路】将圆的方程转化为标准方程，即可求出答案. 【解答过程】将圆的方程转化为标准方程为， 所以圆的半径. 故答案为：. 13．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解题思路】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【解答过程】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为_________. 【答案】 【解题思路】设圆的一般方程，用待定系数法可得圆的方程. 【解答过程】设圆的方程为，由圆经过点，得； 由圆经过，得，即①； 再由圆经过，得，即②； 联立①②解得，所以圆的方程为， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【解答过程】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 16．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【解答过程】（1）由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； （2）由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 17．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为. 【解题思路】（1）应用点线距离公式求距离； （2）将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径. 【解答过程】（1）由题设，点到直线的距离为； （2）由题设，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为. 18．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；（2）根据点关于直线的对称关系求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得. 【解答过程】（1）依题意，因为圆心在轴上，所以设圆的方程为， 因为圆经过两点，所以，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为； 设关于直线对称的点为， 则的中点为，直线的斜率为； 因为点关于直线对称，所以， 即，解得，所以， 所以与圆关于直线对称的圆的方程为. 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【解答过程】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $