期末综合测试题.2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本试卷以甲骨文平移、《九章算术》方程等文化素材和手机补贴、马拉松志愿者等现实情境为载体，通过基础计算（如立方根）、几何推理（如平行线判定）、统计应用（如直方图分析）的梯度设计，考查抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平移、普查、对顶角、坐标系、不等式组|第1题以甲骨文考平移，渗透文化传承；第3题辨析对顶角等命题，强化推理意识| |填空题|6/18|平方根、非负性、三角形中点、数轴|第15题结合有理数与无理数等式，考查抽象能力| |解答题|8/72|坐标平移、统计估计、方程组应用、动点问题|第21题用数码产品补贴政策考方程组，体现模型意识；第24题动点问题融合几何与代数，提升创新应用能力|

2025-2026学年七年级下学期数学期末综合测试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．甲骨文是殷商时期刻在龟甲、兽骨上的文字，距今已有三千多年历史，是中国迄今为止发现最早的成熟汉字体系．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（     ） A．非 B．比 C．立     D．鼎 【答案】B 【详解】解：平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， 观察四个选项，只有B选项中的图形是经过平移得到． 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（     ） A．调查全国年轻人喜欢的盲盒品类 B．调查上海市民对迪士尼烟花的燃放效果的满意情况 C．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 D．调查我校新购置桌椅调节器的使用寿命 【答案】C 【分析】根据普查的适用条件判断即可． 【详解】解：A、调查对象为全国年轻人，范围过大，适合抽样调查； B、调查对象为全体上海市民，范围较大，适合抽样调查； C、火箭各零件的合格情况事关发射安全，必须保证每个零件都合格，要求结果完全准确，适合全面调查； D、调查调节器使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，适合抽样调查． 3．下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角概念，平行线的性质，平方的性质等初中知识点，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但同位角不是对顶角，∴A是假命题； 对于B选项，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在符合要求的平行线，∴B是假命题； 对于C选项，若，则或，例如满足但，∴C是假命题； 对于D选项，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题． 4．如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平角的定义求出，再由角平分线的定义求出，则 ． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，，若三角形的面积为12，则的值为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】和都在轴上，可将作为三角形的底，点到轴的距离作为高，利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：点，点都在轴上， 的长度为． 点坐标为， 点到轴的距离即的高为． 根据三角形面积公式得： ， 化简得， 或， 解得或． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 7．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，逐一判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，，故此选项错误； B、由数轴可知，，∴，故此选项正确； C、由数轴可知，，∴，，，故此选项错误； D、由数轴可知，，∴，，∴，故此选项错误． 8．如图，下列条件中，①；②；③；④．能判定的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：①由，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定； ②由，可以根据内错角相等，两直线平行判定，不能判定； ③由，可以根据内错角相等，两直线平行判定； ④由，不能判定； ∴能判定的有①③，共2个． 9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为： ， ∵解集中有且仅有3个整数， ∴满足条件的3个整数为， 由此可得的取值范围是：． 10．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程变形，用表示，再根据均为正整数的条件，列举所有符合条件的解，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵ 方程为，且为正整数， ∴ 变形得， ∵是正整数， ∴， 解得， 又∵是正整数， ∴的取值为，对应得到： 当时，； 当时，； 当时，，均满足条件， 因此方程共有个正整数解． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如果，那么____． 【答案】或/或 【分析】此题考查了平方根的应用，根据平方根的定义两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，解题的关键是能根据定义得出两个一元一次方程． 【详解】两边同时除以，, 两边开方得：， ∴或 ， 解得：或， 故答案为：或． 12．的平方根是，的立方根是2，则_______． 【答案】13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 13．已知，，满足，且，则__________． 【答案】 【分析】此题考查三元一次方程组的解法，设，则整理得出，，，，代入求得t，进一步代入求得x的值． 【详解】解：设， 则，，， 代入得： 解得：， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为__________． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题． 【详解】解：作于点， 于E， ， ， 点D为边的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 15．设、是有理数，且满足等式则______． 【答案】1或 【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键．对等式整理得，结合、是有理数得出，，解出的值即可解答． 【详解】解：， ， 、是有理数， ，， 解得：或，， 当时，， 当时，， 综上所述，或 故答案为：1或． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，连接、交于点E，则三角形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积和差的关系，连接，设，由和的面积列出、的方程组求得、，再由和的面积差求得的面积便可．关键是求点的坐标． 【详解】解：连接，如图， ，，，， ，，，， 设， ， ； ， ； 解方程组得，， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 18．如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)求证： (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，推得，根据平行线的判定定理即可证明； （2）先求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 19．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18 【分析】（1）根据平移的规律先确定，，，进而作出即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小， ∴点P的坐标是； （3）解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为． 20．某中学开展航天知识竞答活动，随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： (1)学校抽取的八年级学生的人数是 ； (2) ，请把频数分布直方图补充完整； (3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 【答案】(1)40 (2)20， (3)估计达到优秀等级的人数为80人 【分析】（1）根据数据来源判断即可，在频数分布直方图可得B组有12人，扇形图中可知组占，据此可计算总人数； （2）根据（1）中总人数可得D组有8人，据此计算占比得到m的值，补充频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，B组有12人， 占， ∴(名)， 答：学校抽取的八年级学生的人数为40． （2）解：D组有(人)， 占总人数的 ， ∴； 补全的频数分布直方图略． （3）解：知D组占总人数的， ∴估计达到优秀等级的人数为(人)． 21．某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台． (1)按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴______元，1台乙款手机可获得补贴______元； (2)该店当天这两款商品各卖出多少台？ 【答案】(1)300，500 (2)该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台 【分析】（1）根据补贴规则，列式计算即可； （2）根据当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：1台甲款平板可获得补贴元， ∵， ∴1台乙款手机可获得补贴500元． （2）解：依题意，得 ， 解得． 答：该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台． 22．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 23．已知关于的方程组的解也是方程的解． (1)求的值及方程组的解． (2)在（1）的条件下，方程组的解恰是平面直角坐标系中点的坐标，请直接写出点的坐标，并指出点所在的象限． 【答案】(1)；方程组的解为 (2)，在第四象限 【分析】（1）先联立不含的两个方程，求解出的值，由此可解的值． （2）根据方程组的解可得点的坐标，由此可知所在的象限． 【详解】（1）解：∵方程组的解也是方程的解． ∴联立， 由可得， 将代入可得，解得， 将代入可得， 将，代入中，可得，解得， ∴的值为3，方程组的解为． （2）解：由（1）知，点的坐标为， 横坐标，纵坐标，点在第四象限． 24．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动，设点运动的时间为； (1)点的坐标为_________；当点运动5秒时，点的坐标为___________； (2)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)为秒或秒 (3)存在，点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而得，，再根据长方形的性质得，，即可得点B的坐标，当点运动5秒时，，即此时点P与点B重合，； （2）分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，；分别求出对应的时间即可； （3）设点P的运动时间为t，三角形的面积是10，分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，，则；分别根据面积求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵、满足， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴点的坐标为； 当点运动5秒时，， 即此时点P与点B重合，则； （2）解：如图， 分两种情况： 当点P在上时，， （秒）； 当点P在上时，，则， ∴， （秒）． 综上，当点到轴的距离为4个单位长度时，点运动的时间为秒或秒； （3）解：设点P的运动时间为t，三角形的面积是10， 分以下两种情况： 当点P在上时，， ∴， ∴， 解得； 当点P在上时，，则， ∴， ∴， 解得； 综上，当点P的运动时间为秒或秒时，三角形的面积是10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学期末综合测试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．甲骨文是殷商时期刻在龟甲、兽骨上的文字，距今已有三千多年历史，是中国迄今为止发现最早的成熟汉字体系．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（     ） A．非 B．比 C．立     D．鼎 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（     ） A．调查全国年轻人喜欢的盲盒品类 B．调查上海市民对迪士尼烟花的燃放效果的满意情况 C．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 D．调查我校新购置桌椅调节器的使用寿命 3．下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 4．如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，，若三角形的面积为12，则的值为(   ) A． B． C．或 D．或 6．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 7．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，下列条件中，①；②；③；④．能判定的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如果，那么____． 12．的平方根是，的立方根是2，则_______． 13．已知，，满足，且，则__________． 14．如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为__________． 15．设、是有理数，且满足等式则______． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，连接、交于点E，则三角形的面积为________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 18．如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)求证： (2)若是的角平分线，，求的度数． 19．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 20．某中学开展航天知识竞答活动，随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： (1)学校抽取的八年级学生的人数是 ； (2) ，请把频数分布直方图补充完整； (3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 21．某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台． (1)按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴______元，1台乙款手机可获得补贴______元； (2)该店当天这两款商品各卖出多少台？ 22．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 23．已知关于的方程组的解也是方程的解． (1)求的值及方程组的解． (2)在（1）的条件下，方程组的解恰是平面直角坐标系中点的坐标，请直接写出点的坐标，并指出点所在的象限． 24．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动，设点运动的时间为； (1)点的坐标为_________；当点运动5秒时，点的坐标为___________； (2)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 分两种情况： 学科网（北京）股份有限公司 $