第1章 直线与方程（思维导图+知识清单+四大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 以思维导图与知识清单构建直线与方程完整知识体系，通过四大易错点专项突破，融合直接法、待定系数法等解题方法，培养逻辑推理与直观想象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5个知识点（含表格对比）|直线方程五种形式选择、平行垂直判定法则、对称问题步骤|倾斜角斜率→方程形式→位置关系→距离对称递进| |易错突破|4个典例+16道跟踪训练|截距分类讨论、斜率存在性判断、距离公式应用|聚焦高频易错点，强化概念辨析与解题严谨性|

第1章 直线与方程（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【苏教版】 1.1 直线的斜率与倾斜角 【知识点1 直线的斜率】 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】：(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【知识点2 直线的倾斜角】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 1.2 直线的方程 【知识点1 直线的点斜式方程】 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 【知识点2 直线的斜截式方程】 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【知识点3 直线的两点式方程】 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 【知识点4 直线的截距式方程】 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【知识点5 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 1.3 两条直线的平行与垂直 【知识点1 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 1.4 两条直线的交点 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【知识点2 直线系方程】 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 1.5 平面上的距离 【知识点1 两点间的距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【知识点2 点到直线的距离】 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【知识点3 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【知识点4 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【易错点1 忽略直线倾斜角的取值范围】 易错点分析：错误的认为直线的倾斜角的取值范围为0°≤α≤90°；要明确直线的倾斜角的取值范围为0°≤α<180°. 【典例1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【易错点2 忽略了截距为0的情况】 易错点分析：题目中出现截距问题时，忽略了直线的截距为0的情况，而直接使用了直线截距式方程求解，从而产生错误. 关键点：出现截距问题时，首先要考虑截距为0的情况，贯彻分类讨论的思想，做到不遗不漏. 【注】：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【典例2】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2.1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 【易错点3 判断两条直线的位置关系：忽略斜率不存在或者两条直线重合的情况】 易错点分析：①判断两条直线是否平行(不重合)时，要分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑； ②判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 【典例3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·福建·期中）设为实数，已知直线，，若，则（    ） A．6 B．-2 C．4 D．-6 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【易错点4 两平行线间的距离公式使用不当】 易错点分析：两条直线平行求两平行线间的距离时，使用两平行线间的距离公式时忽略了将两直线一般式方程中的系数A和B化为一致这一关键点，从而导致计算错误. 【注】：设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 【典例4】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·广西崇左·期末）已知平行直线与之间的距离为，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【苏教版】 1.1 直线的斜率与倾斜角 【知识点1 直线的斜率】 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】：(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【知识点2 直线的倾斜角】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 1.2 直线的方程 【知识点1 直线的点斜式方程】 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 【知识点2 直线的斜截式方程】 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【知识点3 直线的两点式方程】 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 【知识点4 直线的截距式方程】 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【知识点5 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 1.3 两条直线的平行与垂直 【知识点1 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 1.4 两条直线的交点 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【知识点2 直线系方程】 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 1.5 平面上的距离 【知识点1 两点间的距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【知识点2 点到直线的距离】 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【知识点3 关于点的对称】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【知识点4 关于直线对称】 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【易错点1 忽略直线倾斜角的取值范围】 易错点分析：错误的认为直线的倾斜角的取值范围为0°≤α≤90°；要明确直线的倾斜角的取值范围为0°≤α<180°. 【典例1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分和两种情况，表示出斜率并求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【解答过程】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，则， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：D. 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解答过程】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D. 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【解答过程】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【解答过程】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解答过程】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 【易错点2 忽略了截距为0的情况】 易错点分析：题目中出现截距问题时，忽略了直线的截距为0的情况，而直接使用了直线截距式方程求解，从而产生错误. 关键点：出现截距问题时，首先要考虑截距为0的情况，贯彻分类讨论的思想，做到不遗不漏. 【注】：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【典例2】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【解答过程】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 【跟踪训练2.1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据已知，讨论截距是否为0，分别设直线为、，结合所过的点求参数，即可得直线方程. 【解答过程】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D. 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【解答过程】因为直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为， 代入得，此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，此时直线的方程为； 综上所述：所求直线的方程为或. 故选：D. 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【解答过程】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）两条直线垂直，在两条直线都有斜率的情况下，利用求出所求直线的斜率，利用直线的点斜式求出所求直线方程； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，利用已知两点的斜率公式求出所求直线的斜率为，利用直线的点斜式求出所求直线方程；当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，设所求直线方程为截距式，代入点，计算出，将代入截距式整理得解. 【解答过程】（1）设所求直线的斜率为，已知直线的斜率为， 所求直线和已知直线垂直，，，， 又所求直线过点，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 整理得即为所求； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 又所求直线过点， 则所求直线的斜率为，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 即； 当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 设所求直线方程为，又所求直线过点， 将点代入，得到，解得， 将代入得到，整理得即为所求； 综上可知，所求直线方程为或. 【易错点3 判断两条直线的位置关系：忽略斜率不存在或者两条直线重合的情况】 易错点分析：①判断两条直线是否平行(不重合)时，要分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑； ②判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 【典例3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【解答过程】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上，. 故选：B. 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，解得或， 当时，方程不为直线，舍去，则. 故选：D. 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·福建·期中）设为实数，已知直线，，若，则（    ） A．6 B．-2 C．4 D．-6 【答案】A 【解题思路】利用两直线平行，斜率相等且截距不相等，来进行求解即可. 【解答过程】因为直线，，且， 所以， 解得或， 当时，，，两直线重合，故舍去， 故选：A. 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】B 【解题思路】根据两条直线平行系数关系列式计算求解参数. 【解答过程】直线，直线， 由，得，即，即，解得或. 当时，两直线重合，舍去. 当时，满足平行且不重合. 故选:B. 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【解答过程】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 【易错点4 两平行线间的距离公式使用不当】 易错点分析：两条直线平行求两平行线间的距离时，使用两平行线间的距离公式时忽略了将两直线一般式方程中的系数A和B化为一致这一关键点，从而导致计算错误. 【注】：设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 【典例4】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【解答过程】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【解答过程】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·广西崇左·期末）已知平行直线与之间的距离为，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】先根据两直线平行求出参数，然后由平行线之间的距离公式求出参数，最后求出即可. 【解答过程】因为与平行，所以，得， 则， 所以，计算得或， 所以或. 故选：A. 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【解题思路】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【解答过程】对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A. 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线平行求出参数的值，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故选：D. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $