暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（培优篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（培优篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（5分）（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．20 B．13 C．16 D．34 3．（5分）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 5．（5分）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 8．（5分）（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 10．（6分）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于点、（其中），与的准线交于点，下列结论正确的是（  ） A． B． C．为线段中点 D．的面积为 11．（6分）（24-25高二上·云南文山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为面的中心，E、F分别为到的中点，则（   ） A．平面 B．平面与平面相交 C．点到直线的距离为 D．点O到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·天津和平·阶段练习）直线过点，且在 轴上的截距是在 轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是 . 13．（5分）（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 14．（5分）（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 17．（15分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 18．（17分）（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 19．（17分）（24-25高二上·天津·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（培优篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【解答过程】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令 ，显然无解，故不是共面向量. 故选：D. 2．（5分）（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．20 B．13 C．16 D．34 【解题思路】由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程，结合题意作图，可得答案. 【解答过程】由抛物线，则其焦点，准线， 分别过作，垂足分别为，如下图： 由图可得. 故选：B. 3．（5分）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案． 【解答过程】点， 直线的斜率，直线的斜率， 直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或， 即或，所以直线l的斜率的取值范围为. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【解题思路】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；分析可得且，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【解答过程】因为向量，， 对于A选项，若，则，解得，A错； 对于B选项，若，则，解得，B错； 对于C选项，若为钝角，则且， 解得且，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为， 即，则，解得，D对. 故选：D. 5．（5分）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得以、为邻边的平行四边形为菱形，即可得到，再由双曲线的定义求出、，最后利用余弦定理求出、的关系，即可求出离心率. 【解答过程】因为， 所以以、为邻边的平行四边形的以点为起点的对角线对应的向量与共线， 又，为的角平分线， 以、为邻边的平行四边形为菱形，， 由双曲线定义知：，，， 在中， 由余弦定理， 即，即， 双曲线的离心率. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【解答过程】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 7．（5分）（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】作出辅助线，由三线合一得到，为的中位线，，设，由椭圆定义得到，根据得到方程，求出，由余弦定理得到，进而得到其正弦值，利用三角形面积公式得到答案. 【解答过程】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故选：C. 8．（5分）（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【解题思路】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D. 【解答过程】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 10．（6分）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于点、（其中），与的准线交于点，下列结论正确的是（  ） A． B． C．为线段中点 D．的面积为 【解题思路】求出直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出，，推出，可判断A项；解方程得出点、的坐标，根据抛物线的定义求出的值，可判断B项；求出点，得出线段中点的坐标，即可判断C项；根据B可得出，进而求出点到直线的距离，即可得出面积，判断D项. 【解答过程】 由已知可得，，准线，直线的方程为. 联立直线的方程与抛物线的方程，可得，. 由韦达定理可得，，. 又，，所以， 又，所以，故A项错误； 对于B项，结合图象，解可得，，. 过点作，垂足为，则. 根据抛物线的定义可得，，同理可得，故B项正确； 对于C项，因为，所以，则点. 将代入直线的方程为可得，，即. 所以，线段中点坐标为，恰好为点，故C项正确； 对于D项，. 点到直线，即的距离为， 所以，的面积，故D项错误. 故选：BC. 11．（6分）（24-25高二上·云南文山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为面的中心，E、F分别为到的中点，则（   ） A．平面 B．平面与平面相交 C．点到直线的距离为 D．点O到平面的距离为 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法处理线、面关系以及空间距离问题. 【解答过程】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有：， ， 设平面的法向量为， 由，则， 令，则，则， 设平面的法向量为， 由，则， 令，则，则， 对A，∵，则，即与不共线， ∴与平面不垂直，A错误； 对B，∵，则与不共线， ∴平面与平面相交，故B正确； 对C：， 则点到直线的距离为，故C正确； 对D：，点O到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·天津和平·阶段练习）直线过点，且在 轴上的截距是在 轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是 或 . 【解题思路】分析直线过原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解. 【解答过程】若直线过坐标原点，则，此时横纵截距都等于0,满足题意; 若直线不过坐标原点，设直线的方程为, 因为直线过点, 所以,解得, 所以直线方程为,此时. 故直线的斜率为或. 故答案为：或. 13．（5分）（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 【解题思路】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【解答过程】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 14．（5分）（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 【解题思路】建立为空间直角坐标系设，，根据异面直线与，与所成角求出，，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可. 【解答过程】如图建立以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系， ，且设， 则，，， ，， 则，，. 因为异面直线与所成角为， 所以， 因为异面直线与所成角为， 所以， 所以可得，，所以，， 设平面法向量为，则， 令，则 因为，， 则点到平面的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【解题思路】（1）由焦距、离心率得、，结合椭圆参数关系即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用求参数范围. 【解答过程】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 17．（15分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【解题思路】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【解答过程】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 18．（17分）（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【解题思路】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可； （2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 19．（17分）（24-25高二上·天津·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解题思路】（1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. 【解答过程】（1）连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; （2）根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$