专题1.1 集合的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的定义、元素的确定性互异性无序性特性，元素与集合的属于关系及常用数集符号，集合的列举法描述法图示法表示，构建从概念到关系再到表示的递进学习支架。 该资料以9大题型（含例题与变式）系统设计，通过“成绩好的同学是否构成集合”等辨析题培养数学眼光的抽象能力，利用元素互异性求参数题型提升数学思维的推理能力，新定义集合运算问题发展创新意识。课中辅助教师分层教学，课后变式练习助力学生巩固知识，查漏补缺。

专题1.1 集合的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 2 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 3 【题型4 判断元素与集合的关系】 3 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 4 【题型6 集合中的元素个数问题】 4 【题型7 列举法表示集合】 5 【题型8 描述法表示集合】 6 【题型9 集合元素中的新定义问题】 7 考点1 集合的概念 知识点1 元素与集合的概念及表示 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 知识点2 元素的特性 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式1-2】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【变式1-3】（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-3】（2026高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为__________． 【变式3-3】（2026高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是__________． 考点2 元素与集合的关系 知识点3 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 【注】符号“∈”和“”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·天津西青·阶段检测）下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【变式5-1】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式5-3】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（2026·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【变式6-3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 考点3 集合的表示法 知识点4 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·广西河池·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【变式8-2】（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）定义集合运算，若，，则所有元素之和为（ ） A．48 B．54 C．42 D．36 【变式9-3】（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 3 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 5 【题型4 判断元素与集合的关系】 6 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 8 【题型6 集合中的元素个数问题】 9 【题型7 列举法表示集合】 12 【题型8 描述法表示集合】 14 【题型9 集合元素中的新定义问题】 16 考点1 集合的概念 知识点1 元素与集合的概念及表示 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 知识点2 元素的特性 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解题思路】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解题思路】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【解答过程】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【解题思路】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【解答过程】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【解题思路】根据集合的意义，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【解答过程】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【变式2-1】（2026高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】据集合的定义及表示方法求解即可. 【解答过程】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解题思路】根据集合定义逐一判断即可. 【解答过程】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C. 【变式2-3】（2026高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【解答过程】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B. 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的互异性对进行分类讨论即可. 【解答过程】当时，，违反集合互异性； 当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【解题思路】利用集合元素的互异性讨论即可. 【解答过程】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】利用集合元素的互异性可求解. 【解答过程】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是__________． 【答案】且且 【解题思路】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【解答过程】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且. 考点2 元素与集合的关系 知识点3 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 【注】符号“∈”和“”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【解答过程】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，若，则，可得，所以，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·天津西青·阶段检测）下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】根据数的分类及常见的数集即可逐个判断． 【解答过程】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：0不是正整数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故选：A． 【变式4-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确； 对于②：是整数，是整数集，所以，②正确； 对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确； 对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误. 故选：C. 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【解题思路】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【解答过程】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B. 【变式5-1】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合的关系列出不等式组求解即得. 【解答过程】由且，得 解得， 故选：A． 【变式5-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解题思路】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【解答过程】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【解答过程】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（2026·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解答过程】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】讨论的值，从而得到的值即可求解. 【解答过程】因为集合，所以，， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件； 当时，，满足条件； 综上：共有3个元素； 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 【变式6-3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【解答过程】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 考点3 集合的表示法 知识点4 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·广西河池·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先把的范围表示出来，再结合列举出元素即可. 【解答过程】易知，所以列举法可以表示为． 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，结合得的值即可求解. 【解答过程】由得，，即， 又，∴， 故 . 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【解答过程】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 【解答过程】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以； （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】用集合的描述法来表示即可. 【解答过程】（1）被7除余1的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是. 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】利用集合的描述法来表示集合. 【解答过程】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是. 【变式8-2】（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据表述集合用列举法即可表示； （2）根据表述集合用描述法即可表示； （3）根据表述集合用描述法即可表示. 【解答过程】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：. 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【解题思路】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【解答过程】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【解答过程】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【解答过程】， 由题意得. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）定义集合运算，若，，则所有元素之和为（ ） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【解题思路】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【解答过程】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 则的所有元素之和： 故选：D. 【变式9-3】（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或． (3)9 【解题思路】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算； （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【解答过程】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 因为中除0外还有6个元素，所以中除0外至少还有4个元素． 因为中除0外有3个负数，3个正数，所以中除0外的4个数是1负3正或1正3负． ①若中除0外的4个数是1负3正，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． ②若中除0外的4个数是1正3负，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． 综上所述，或． （3）因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素．综上所述，中至少有9个元素． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $