19.2.1 方差课件2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件围绕“方差”展开，通过葫芦七兄弟分组、天津与新加坡气温对比等生活化情境导入，从平均数过渡到数据波动问题，经离差平方和自然引出方差概念，构建知识递进的学习支架。 其亮点在于以情境化问题链引导学生用数学眼光观察现实（如身高整齐度、气温稳定性），通过推理（从离差平方和到方差）培养数学思维，用方差解决实际问题体现数学语言。实例丰富，助力学生提升数据分析能力，也为教师提供高效教学资源。

葫芦七兄弟要组队参加仙界运动会的 “ 整齐队列赛 ”，要求由大娃带队，队员身高尽量均匀。分成两组候选队员，你们觉得哪组更符合要求? 甲组 (大娃、三娃、五娃、七娃): 身高：180cm、178cm、173cm、183cm 乙组 (大娃、二娃、四娃、六娃): 身高：180cm、181cm、178cm、176cm 1. 计算一下两组队员的平均身高，对比一下每组队员的身高，哪一组队员看起来更整齐? 2. 这种'不整齐"该怎么用数学方法衡量呢? 乙组队员看起来更整齐. 19.2.1 方 差 2 问题 1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温. 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：℃ 天津气温高 新加坡气温高 如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？ 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 计算出两组数据的平均数，你有什么发现？ x天津 = 27 + 30 + … + 24 + 23 8 = 27.25（℃） x新加坡 = 26 + 27 + … + 27 + 27 8 = 27.25（℃） 平均气温相等 这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢？ 观察下图，你感觉它们有没有差异呢？ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ ①天津 ②新加坡 天津气温波动范围较大， 最大值与最小值相差 9 ℃. 新加坡气温波动范围较小， 最大值与最小值相差 3 ℃. 稳定性：新加坡 > 天津 平均数 (1) 比较两组数据时，通常可以先画图，直观地感受一下两组数据的整体特点. (2) 即便两组数据的平均数相等，它们还可能在数据的波动大小上表现出差异，因此，不能只限于比较平均数.数据波动小，则平均数更具有代表性. 比较两组数据的方法： 问题 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如下表所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 小明的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____； 小兵的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____. 12.4 14 10 4 12.4 15 11 4 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 次序 体育项目测试成绩图 成绩 小明 小兵 观察成绩图， 说说你的发现 小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大. 通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 平均数 思考：观察上图，想想怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度？ 12.4 我们已经看出，小兵的测试成绩与其平均数的偏差与小明的相比略大.将各数据与其平均数的差进行累加是否可行呢？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 每次成绩－平均成绩 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 每次成绩－平均成绩 平均数：12.4 －2.4 1.6 0.6 －0.4 0.6 0 －1.4 －1.4 2.6 1.6 －1.4 0 求和的结果都是 0 能如何调整方案可以避免求和时正负抵消的问题，实现反映一组数据与其平均数的离散程度呢？ 在下面的表格中填写你的计算结果： 验证可行性：将各数据与其平均数的差进行累加反映一组数据与其平均数的离散程度 × “先平均，再求差，然后平方，最后求和”可行？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 (每次成绩－平均成绩)2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 (每次成绩－平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 将计算结果填入表中. 验证可行性：先平均，再求差，然后平方，最后求和的结果反映一组数据与其平均数的离散程度 √ 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和” 所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度. 这个结果称为这组数据的离差平方和. 通常用 x1，x2，····xn 表示各个原始数据， 表示一组数据的平均数. 那么这组数据的离差平方和的计算式就是： 某班参加仰卧起坐测试的一组女生一分钟仰卧起坐次数如下: 44，41，43，48，45，49． （1）这组数据的平均数 44 + 41 + 43 + 48 + 45 + 49 = 45； 6 x = （2）这组数据的离差平方和为______. 46 如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席了 2 次，怎样比较谁的成绩更稳定？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 思考：他们的测试次数不一样，比较离差平方和是否合理公平呢？ 不公平，数据个数不同，还需要平均化 当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为 σ2. 我们通常用方差来衡量一组数据偏离其平均数的情况. 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数.那么这组数据的方差计算式就是： σ 2 = 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x5－ x )2] 5 σ2小明 = 1 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x7－ x )2] 7 σ2小兵 = 1 动手算一算他们的方差 1. 已知一组数据: 2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ） A. 1 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 D 2. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为 σ2甲＝3.6，σ2乙＝5.8，则这两种小麦长势更整齐的是_____(填“甲”或“乙”) 方差小 方差越小，数据波动越小，越稳定. 甲 3. 求一组数据方差的算式为: σ2 ＝ [(6－ x )2 + (8－ x )2 + (8－ x )2 + (6－ x )2 + (7－ x )2]. 由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. n 的值是 5 B. 该组数据的平均数是 7 C. 该组数据的众数是 6 D. 若该组数据加入两个数 7、7，则这组新数据的方差变小 C 方差 方差的统计学意义(判断数据的离散程度)： 方差越大(小)，数据的波动越大(小). 离差平方和的概念与计算方法 方差的概念与计算方法 1.水果超市售卖一批散装苹果,苹果大小不一,某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果.设原有苹果质量(单位:g)的方差为,该顾客选购的苹果质量的方差为,则与的大小关系是( ) . A. < B. > C. D.二者大小关系不确定 B 2.在某校举办的诗歌朗诵比赛上,评委根据 13 位参赛选手的预赛成绩,选出了成绩较高的6位进入决赛.小梧进入了决赛,他的预赛成绩是 85 分.关于这 13 位选手的预赛成绩数据，下列判断正确的是（ ） A.平均数小于 85 B.中位数小于 85 C.众数小于 85 D.方差大于 85 B 3.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是(　　) A．σ甲2＞σ乙2 B．σ甲2＜σ乙2 C．σ甲2＝σ乙2 D．无法确定 A 21 4.甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）： 甲：7 10 8 8 7 ；乙：8 9 7 9 7 . 计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？ 解： =（7+10+8+8+7）÷5=8， 甲 =（8+9+7+9+7）÷5=8， 乙 S²甲＞S²乙，乙台编织机出合格品的波动较小. 甲 乙 5.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下： 甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 （1）填写下表： 同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率 甲 84 84 0.3 乙 84 84 34 84 90 0.5 14.4 （2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价. 从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好； 从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳定； 从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好； 从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好. $