19.2.1 方差- 课件 2025-2026学年 华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 19.2.1 方差 第19章 数据的分析 华东师大版数学八年级下册19.2.1方差练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于方差的说法，正确的是（ ） A. 方差是表示一组数据波动大小的量 B. 方差越大，数据的集中趋势越明显 C. 方差越小，数据的波动越大 D. 方差的单位与原数据的单位相同 2. 已知一组数据的方差为0，则这组数据的特点是（ ） A. 数据都是0 B. 数据都相等 C. 数据波动最大 D. 数据的平均数为0 3. 甲、乙两组数据的平均数相同，甲组数据的方差为2，乙组数据的方差为3，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据波动比乙组大 B. 乙组数据波动比甲组大 C. 两组数据波动一样大 D. 无法比较两组数据的波动大小 4. 计算一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的方差时，下列步骤正确的是（ ） A. 先求平均数，再求每个数据与平均数的差，最后求差的平方和 B. 先求每个数据与平均数的差，再求差的平方和，最后除以数据个数 C. 先求每个数据的平方，再求平方的平均数，最后减去平均数的平方 D. 先求平均数，再求每个数据的平方和，最后除以数据个数 5. 已知一组数据：2，4，6，8，10，其方差为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（每题3分，共15分） 6. 方差的定义：设n个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则方差$s^2$=________，方差越大，数据的波动越________；方差越小，数据的波动越________。 7. 一组数据：1，2，3，4，5的平均数为________，方差为________。 8. 若一组数据的方差为4，数据个数为5，则这组数据的差的平方和为________。 9. 甲、乙两组数据，甲组数据为：3，5，7，9，11；乙组数据为：4，6，8，10，12，两组数据的方差关系是：$s_甲^2$________$s_乙^2$（填“>”“<”或“=”）。 10. 已知一组数据$x_1,x_2,x_3$的平均数为5，方差为2，则$x_1-5,x_2-5,x_3-5$的方差为________。 三、解答题（每题14分，共70分） 11. 计算下列各组数据的方差（结果保留一位小数）： （1）3，5，7，9，11； （2）10，12，14，16，18，20； （3）2，2，3，4，4，5。 12. 已知一组数据：5，7，8，9，10，回答下列问题： （1）求这组数据的平均数和方差； （2）若将每个数据都加2，得到一组新数据，求新数据的方差，并说明方差的变化规律。 13. 甲、乙两名运动员在最近5次训练中的成绩（单位：分）如下： 甲：85，88，90，92，95； 乙：80，85，90，95，100。 （1）分别计算甲、乙两名运动员成绩的平均数和方差； （2）根据计算结果，判断哪位运动员的成绩更稳定，并说明理由。 14. 某小组6名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：80，85，85，90，90，95。 （1）求这组数据的平均数和方差； （2）若加入一名成绩为90分的同学，求新数据的方差，并与原方差比较，说明方差的变化情况。 15. 已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为6，方差为4，若另一组数据$3x_1-2,3x_2-2,3x_3-2,3x_4-2,3x_5-2$，求这组新数据的平均数和方差。 参考答案提示： 一、1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 二、6.$\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$；大；小 7.3；2 8.20 9.= 10.2 三、11.（1）8.0；（2）13.3；（3）1.3 12.（1）平均数8，方差2.8；（2）方差仍为2.8，规律：数据都加上（或减去）同一个数，方差不变 13.（1）甲平均数90分，方差10.8；乙平均数90分，方差50；（2）甲更稳定，理由：甲的方差小于乙，波动更小 14.（1）平均数87.5分，方差20.8；（2）新方差17.9，比原方差小，说明加入一个与平均数接近的数据，数据波动变小 15. 新平均数16，新方差36 平均数、中位数和众数都是研究数据的集中趋势. 甲：85、90、92、88、89 乙：80、90、92、88、95 如果我们想知道数据的波动情况，该怎么办呢？ 离散程度 甲、乙两位同学最近五次的考试成绩，谁的发挥更稳定一些？ 问题 1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温. 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：℃ 天津气温高 新加坡气温高 如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？ 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 计算出两组数据的平均数，你有什么发现？ x天津 = 27 + 30 + … + 24 + 23 8 = 27.25（℃） x新加坡 = 26 + 27 + … + 27 + 27 8 = 27.25（℃） 平均气温相等 这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢？ 观察下图，你感觉它们有没有差异呢？ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ ①天津 ②新加坡 天津气温波动范围较大， 最大值与最小值相差 9 ℃. 新加坡气温波动范围较小， 最大值与最小值相差 3 ℃. 稳定性：新加坡 > 天津 平均数 问题 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如下表所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 小明的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____； 小兵的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____. 12.4 14 10 4 12.4 15 11 4 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 体育项目测试成绩图 成绩 小明 小兵 观察成绩图， 你有什么发现？ 从图中我们可以看出： 相比之下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大. 通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 平均数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 每次成绩－平均成绩 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 每次成绩－平均成绩 思 考 怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？ 12.4 －2.4 1.6 0.6 －0.4 0.6 0 －1.4 －1.4 2.6 1.6 －1.4 0 求和的结果都是 0 你有什么更好的方法，说说你的方案. 为了避免求和时正负抵消的问题，统计中通常先进行平方，然后求和. 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 (每次成绩－平均成绩)2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 (每次成绩－平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和” 所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度. 这个结果称为这组数据的离差平方和. 离差平方和 离差平方和的计算式就是 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. ( x1 － x )2 + ( x2 － x )2 + … + ( xn － x )2. 某班参加仰卧起坐测试的一组女生一分钟仰卧起坐次数如下: 44，41，43，48，45，49． （1）这组数据的平均数 44 + 41 + 43 + 48 + 45 + 49 =____； 6 x = 45 （2）这组数据的离差平方和为______. 46 思 考 如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席了 2 次，怎样比较谁的成绩更稳定？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 他们的测试次数不一样，比较离差平方和合理吗？ 方 差 当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为 σ2. 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x5－ x )2] 5 σ2小明 = 1 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x7－ x )2] 7 σ2小兵 = 1 动手 算一算 1. 已知一组数据: 2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ） A. 1 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 D 2. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势， 数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行 测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别 为 σ2甲＝3.6，σ2乙＝5.8，则这两种小麦长势更整齐 的是_____(填“甲”或“乙”) 方差小 方差越小，数据波动越小，越稳定. 甲 3. 求一组数据方差的算式为: σ2 ＝ [(6－ x )2 + (8－ x )2 + (8－ x )2 + (6－ x )2 + (7－ x )2]. 由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. n 的值是 5 B. 该组数据的平均数是 7 C. 该组数据的众数是 6 D. 若该组数据加入两个数 7、7，则这组新数据的方差变小 6 和 8 C 返回 1．[南京一模]已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的离差平方和是(　　) A．1.6 B．7 C．8 D．9 C 中考考法 18 返回 2．一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是(　　) A．2 B．4 C．1 D．3 A 中考考法 19 3．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是(　　) A．σ甲2＞σ乙2 B．σ甲2＜σ乙2 C．σ甲2＝σ乙2 D．无法确定 A 返回 中考考法 20 返回 4．已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　　) A．平均数 B．离差平方和 C．众数 D．方差 C 中考考法 21 返回 5．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)的平均数和方差分别为͞x，σ2，该顾客选购的鸡蛋的质量的平均数和方差分别为͞x1，σ12，则下列结论一定成立的是(　　) A．͞x<͞x1 B．͞x>͞x1 C．σ2>σ12 D．σ2<σ12 C 中考考法 22 8 10 9 3.6 中考考法 23 (3)若这组数据中的每个数据都乘2，求新数据的平均数和方差． 中考考法 24 返回 (4)通过以上计算，你得出了什么结论？ 【解】结论：一组数据中的每个数据都加同一个数a，则新数据的平均数等于原数据的平均数加a，方差不变；一组数据中的每个数据都乘同一个数b，则新数据的平均数等于原数据的平均数乘b，方差则等于原数据的方差乘b2. 中考考法 25 方差是用来衡量一组数据的波动大小的特征量. 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小， 通过比较方差的大小来判断数据的稳定性. [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 课堂小结 6．一组数据的方差的计算公式如下：σ2＝×[(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2]＝3.6． (1)这组数据的中位数是______，众数是______． (2)若这组数据中的每个数据都加1，则新数据的平均数为________，方差为________． 【解】根据题意得新数据为10，20，14，16，20，故新数据的平均数为＝16，方差为×[(10－16)2＋(20－16)2＋(14－16)2＋(16－16)2＋(20－16)2]＝14.4. $