专题03 平行四边形（暑假复习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

专题03 平行四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 利用平行四边形的性质求解 题型2 利用平行四边形的性质证明 题型3 平行四边形性质的其他应用 题型4 求平行线间的距离 题型5 利用平行线间距离解决问题 题型6 平行四边形的判定 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平行四边形的定义与性质 2. 平行四边形的判定定理 3. 平行四边形的计算与证明 1. 基础考查重本质辨析：从性质定理的机械记忆转向概念深度理解，围绕平行四边形的边、角、对角线性质及判定定理设题，侧重考查判定条件的完整性与性质的适用范围，辨析易混概念，突出对几何概念本质的考查。 2. 核心考点常态化考查：平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理为必考核心内容，覆盖选择、填空、解答全题型；中位线定理侧重“平行关系+数量关系”的双重应用，是几何推理与线段计算的高频载体，突出通性通法。 3. 推理考查重逻辑规范：以平行四边形为载体强化几何证明的严谨性，常结合全等三角形、平行线性质进行综合推理，侧重考查演绎推理的条理性与书写规范性，落实几何推理的核心素养。 4. 知识关联综合化命题：注重与已学几何知识的内在衔接，常结合勾股定理、角平分线、图形平移等内容设题；坐标系中的平行四边形存在性问题持续考查，体现代数与几何的跨模块融合，考查综合运用能力。 5. 开放探究题型增量：条件开放型、结论探究型题目占比上升，如“添加一个条件使四边形为平行四边形”“动点运动中平行四边形的存在性”等设问，侧重考查知识迁移能力与逻辑探究能力。 6. 应用题型贴合实际：以实际测量、图形设计、方案规划等真实场景为背景，利用平行四边形的性质解决实际问题，考查几何建模能力，体现几何知识的实用价值，契合新课标实践应用的考查要求。 考情解码：“平行四边形” 是初中平面几何的过渡核心，是后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的基础，在八年级下册数学中占据关键地位。本专题涉及的性质定理、判定方法及中位线定理，是培养学生逻辑推理、几何直观与规范表达能力的重要载体。 试题从单一性质的记忆、套用，向复杂推理证明、线段与面积计算、图形探究应用转型，着重考查学生的演绎推理能力、几何分析能力以及运用四边形知识解决实际问题的能力。平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、图形综合证明是高频综合考点，常与全等三角形、勾股定理、图形变换等知识结合，体现几何知识体系的内在联系。 知识点一 平行四边形的定义与性质 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 边的性质：平行四边形的对边平行且相等。即 ，；，。 角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。即 ，；，。 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。即对角线、交于点，则，。 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 对角线分图结论：平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的三角形，相对的两个三角形全等。 【易错提醒】 （1）平行四边形的对角线是“互相平分”，不是“互相相等”，易与矩形的对角线性质混淆； （2）平行四边形的邻角互补，对角相等，不可混淆角的数量关系，误将邻角记为相等； （3）普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，易误认为其存在对称轴。 即时即练如图，在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 知识点二 平行四边形的判定定理 从边判定： 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）； 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 从角判定： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 从对角线判定： 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 核心逻辑：所有判定定理最终都可推导至“两组对边分别平行”的定义特征，是定义的等价判定条件。 【易错提醒】 （1）“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形，可能是等腰梯形，是最常见的判定误区； （2）约分、通分时，多项式要先因式分解，再找公因式或最简公分母，不可直接对原式约分； （3）分子分母是多项式时，变号要作用于整个多项式，容易只改变第一项符号导致错误。 即时即练如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 知识点三 平行四边形的综合计算与证明 面积计算：平行四边形的面积底高，同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。 周长计算：平行四边形周长相邻两边之和，利用对边相等的性质简化计算。 常见证明思路：利用平行四边形性质得到边、角关系，结合全等三角形证明线段相等、角相等；通过判定定理证明四边形为平行四边形，再利用性质推导结论。 常用辅助线：连接对角线，利用对角线互相平分的性质构造全等三角形；过顶点作高，构造直角三角形结合勾股定理计算。 对角线分图结论：平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的三角形，相对的两个三角形全等。 【易错提醒】 （1）计算平行四边形面积时，底和高必须对应，不可用邻边直接相乘，易与矩形面积公式混淆； （2）对角线分成的四个三角形仅面积相等，并非全部全等，只有特殊平行四边形才会出现多组全等三角形； （3）证明过程中条件要写完整，不可跳步，平行四边形的判定与性质不可混用； 即时即练如图，在平行四边形中，甲的面积是96平方厘米，乙的面积占平行四边形面积的，丙的面积是( )平方厘米． 【答案】 【分析】先根据平行四边形与三角形面积关系，得出丙面积是平行四边形面积的一半，进而可知甲和乙面积和是平行四边形面积的一半，再通过甲的面积及乙占平行四边形面积的比例，求出平行四边形面积，最后算出丙的面积．本题主要考查平行四边形和三角形面积关系以及分数的应用，熟练掌握平行四边形中三角形与平行四边形面积的比例关系、利用分数运算求解面积是解题的关键． 【详解】解：由题图得，丙的面积是平行四边形面积的一半，甲和乙的面积和是总面积的一半， 故答案为：． 题型1 利用平行四边形的性质求解 例1．如图，中，，，平分，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，继而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．如图，在四边形中，与相交于点，，，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质和已知条件证明，结合三角形全等的性质求出长度，根据勾股定理即可求出长度，从而求出长度，再利用勾股定理求出长度，即可求出长度，利用等量代换即可求出长度． 【详解】解：过点B作交于点，如图所示． ， ，， ， ， ，，． ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 【变式训练1-1】如图，设M是平行四边形，边上的任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用同底等高性质可知的面积是平行四边形面积的一半，又三块面积相加等于平行四边形总面积，由此可推出与的面积和也等于平行四边形面积的一半，所以． 【详解】解：设平行四边形的面积为，平行线与之间的垂直距离为． ，点在上， 以为底时，对应的高就是平行线、间的距离． 根据三角形面积公式：， 平行四边形面积公式：， ． 平行四边形被线段、分割成、、三部分， ∴． 将代入上式： ， 移项计算： ． ． 【变式训练1-2】如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则长为_____ ． 【答案】5 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，即可得解． 【详解】解：中，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1-3】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．四边形的四个顶点都是格点，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)四边形的周长为 ； (2)在图1中，先在上画点E，使； (3)在图2中的上画点G，使； (4)在图3中，H是上一点，在上画点M，使． 【答案】(1)18 (2)如图，点E即为所求； (3)解：如图，点G即为所求； (4)解：如图，即为所求； 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用格点构造等腰直角三角形，与交点即为所求； （3）利用格点构造等腰三角形，取中点H，连接并延长交于点G； （4）取的中点P，的中点Q，连接，交于点O，连接并延长，交于点M，连接，构造平行四边形，则即为所求． 【详解】（1）解：由图可知，， 四边形的周长为； （2）略 （3）略 （4）略 题型2 利用平行四边形的性质证明 例3．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形：②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍：③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形：④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，利用“”可证，即可判断；对于②，该说法未说明是哪个三角形；对于③由平行四边形对角线互相平分即可判断；对于④，过作，可证，得到即可判断． 【详解】解：① 在中，对角线相交于点， 则，又， ， 同理可得， 任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，①正确； ② 该说法未说明是与平行四边形同底等高的三角形，平行四边形面积不一定是任意三角形面积的倍，故②错误； ③ 平行四边形对角线互相平分，相邻的小三角形为等底同高， ，故③正确； ④ 过作， 平行四边形对角线互相平分， ， ，又， ， ，即点到的距离相等， 同理可得点到的距离相等，故④正确； 综上，正确的说法共个． 例4．在平行四边形中，，，、的平分线分别交于F、E，则线段的长表示为______．（用a、b表示） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得到等角，利用等角对等边得到，再根据线段的和差关系计算EF的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． ，． 平分，平分， ，． ，． ，． 当为与的重叠部分时， ． ． 当为与的不重叠部分时， ． ． ． 故答案为：． 【变式训练2-1】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，则图中的全等三角形共有（） A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质（对边相等、对角线互相平分、中心对称）以及全等三角形的判定方法（）找出图中所有的全等三角形对数． 本题考查了 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∵， ， 在和中， ， 同理， 综上所述，共有6对全等三角形． 【变式训练2-2】如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 【答案】16 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，进而计算即可． 【详解】解：由知，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为． 【变式训练2-3】【问题背景】折纸不仅能创造出非常奇妙的图形，还能发现许多有趣的数学结论． 【初步发现】如图1，将纸片折叠，使点与点重合，得到折痕．观察发现，证明如下： 四边形是平行四边形， ， ． 纸片沿折叠得到四边形， 四边形四边形． ， ， ． 【探究发现】 如图2，将纸片沿折叠，点落在点处，点落在点处，交边于点，分别交边、于点、． 如果折叠中始终保持成立，观察发现也成立．请你给出证明． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， 由折叠得，，， 又 ， ，，， 又 ， ， 又 ，， ， 在和中， ， ． 【分析】要想证明，需先证 ，根据平行四边形的性质得，，由折叠得，，，通过导角证明两组对角相等，结合，证明即可． 【详解】略 题型3 平行四边形性质的其他应用 例5．平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是（    ） A．两组对边互相平行 B．两组对边长度相等 C．相邻两个内角角度相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义和性质，判断各选项说法的正误即可. 【详解】解：∵根据平行四边形的定义和性质，平行四边形的两组对边互相平行，两组对边长度相等，对角线互相平分， ∴选项A 、B 、D说法均正确. ∵平行四边形相邻两个内角互补，和为，普通平行四边形不满足相邻内角相等，只有特殊平行四边形才具备该性质， ∴选项C说法错误. 例6．请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质：________． 【答案】对角线互相平分（答案不唯一） 【分析】菱形、矩形、正方形都有的性质即为平行四边形的性质，解题即可． 【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形， ∴共同的性质为：对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等； 故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）． 【变式训练3-1】下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，轴对称图形是指沿一条直线对折后两边能完全重合的图形，据此判断各选项是否一定满足条件即可求解． 【详解】解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合； B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合； C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合； D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合． 故选：C． 【变式训练3-2】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过_____变换可使它们互相重合． 【答案】旋转 【分析】根据平行四边形的中心对称性求解． 【详解】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过旋转变换可使它们互相重合． 故答案为：旋转． 【变式训练3-3】如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 【答案】(1)图见解析， (2)或或 【分析】（1）先根据点和点的坐标确定平移方式，再描出点、，连接成三角形即可； （2）分类讨论，由平行四边形的性质结合平移方式确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 如图所示： 由图可知，点的坐标为； （2）解：如图， ①当点在点的对面时， 由图可知，，， ∴点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； ③当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 题型4 求平行线间的距离 例7．下列说法正确的有（     ） ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②两条平行线的所有公垂线段都相等 ③由，可得 ④正方形是轴对称图形，且有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角，平行线间的距离，不等式的性质，轴对称图形．根据对顶角，平行线间的距离，不等式的性质，轴对称图形，逐一分析进行判断，即可． 【详解】解：①对顶角需满足两边互为反向延长线，仅公共顶点且相等不充分．例如，同一顶点的相等角可能为同位角而非对顶角． ①错误． ②平行线间距离处处相等，所有公垂线段长度均相等．②正确 ． ③不等式可化为,由无法确定．若，如，，则成立，但，故不等式不恒成立． ③错误． ④正方形对称轴包括两条对角线和两条对边中点连线，共4条．④正确． 例8．如图，已知，，，则与间的距离是________． 【答案】5 【分析】本题主要考查两平行线间的距离，理解两平行线间的距离的概念是解题的关键． 与间的距离就是的长度，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：与间的距离就是的长度， ∵，， ∴与间的距离是5， 故答案为：5． 【变式训练4-1】如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， ∴正确的个数是个． 【变式训练4-2】如图，在梯形中，，点是边的中点，连接、、，请写出一个三角形和的面积相等：_____．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】根据题意可得两点到的距离相等，根据三角形的面积公式确定相等的底和高即可求解． 【详解】解：在梯形中，，可得两点到的距离相等， 点是边的中点，则， 则和的面积相等的三角形有、， 故答案为：（或） 【变式训练4-3】公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，．求： (1)小路，，的长； (2)计算出绿地的面积（含小路）； (3)，之间的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理求出，即可得； （2）根据平行四边形的面积公式解答； （3）根据面积相等可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，，．                     ， ，                     ； （2）解：绿地的面积为； （3）解：设，之间的距离为． ∵绿地的面积为， ，                 解得． 即，之间的距离为． 题型5 利用平行线间距离解决问题 例9．如图，在五边形中，，，若已知五边形面积的情况下，要求阴影五角星的面积，只需知道下列哪个三角形的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离相等可得，然后根据面积的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴ ∴， ∴要求阴影五角星的面积，只需知道的面积即可． 例10．如图，P、Q为直线上的任意两点，若的面积为24，则的面积是______． 【答案】24 【分析】根据平行线间的距离相等可以得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴与之间的距离相等， ∴． 【变式训练5-1】如图，已知直线，和的顶点、在直线上，顶点、在直线上，则和的面积关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知两个三角形的高相等，又因为它们有公共底边，根据三角形面积公式即可判断面积关系． 【详解】解：直线， 直线与直线之间的距离处处相等，设直线与直线之间的距离为， 的顶点在直线上，顶点在直线上， 的底边为，高为， ，， 的顶点在直线上，顶点在直线上， 的底边为，高为， ， ． 【变式训练5-2】如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 【变式训练5-3】如图，已知四边形是平行四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得的面积等于面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，可得，由平行四边形的性质得，，即得，和间的距离相等，由三角形的面积公式可得，故点即为所求，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 题型6 平行四边形的判定 例11．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、∵ 又∵， ∴ ∴ ∴ 同理可得， ∴四边形为平行四边形，故A不符合题意； B、由，无法证明四边形为平行四边形，故B符合题意； C、∵， ∴四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意． 例12．．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为____________． 【答案】4 【分析】根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可求解． 【详解】解： ，， ， 要使该四边形为平行四边形，只需满足即可， ， ． 【变式训练6-1】如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点，连接，，，，则下列结论： ； ； ； ，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线和平行线的性质证明是等边三角形，得出为中点，进而求出和的度数判断；利用勾股定理求出的长，再在中求出的长，从而得到的长判断；根据，再通过面积公式即可判断；根据三角形中位线定理判断． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，， ，故正确； 由知，即， ，故正确； ，， 是的中位线， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的结论是． 【变式训练6-2】如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件（或、等，合理即可）． 【变式训练6-3】如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【分析】由平行四边形的性质及判定即可证明． 【详解】略． 一、单选题 1．在平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 2．如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交、于、，若平行四边形的面积是12，则阴影部分的面积为（ ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴根据平行四边形是中心对称图形且点O是旋转中心点，可知：， ∴阴影部分的面积即为的面积， ∵平行四边形的面积是12， ∴． 3．如图所示，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 4．如图，中， 平分交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 5．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，根据三角形三边关系得出，求解作答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， ∴． 6．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线定理可得，，，进而判定四边形是平行四边形，结合即可求解． 【详解】点，，分别是边，，的中点， 、、为的中位线， ，，， 故A正确，不符合题意； ， ， 故B正确，不符合题意； ，是边的中点， 不是的平分线，即， 故C错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， 故D正确，不符合题意． 7．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据作图痕迹判断平分，结合平行四边形性质证得，从而求出和的长；然后在中利用勾股定理求出的长；最后利用平行线的性质证得，在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 即， 在中，． 8．如图，在中，过内部任一点分别作，，与对角线交于 两点，设四边形 、四边形、四边形、四边形的面积分别为．已知下列哪个值一定能求出面积的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设小平行四边形的底边长和高，利用平行四边形面积公式建立、、、之间的代数关系，再利用同底等高的三角形面积相等及等高三角形面积比等于底之比的性质，推导和的面积，从而得到的面积表达式． 【详解】解：设，， 四边形与均为平行四边形，且， 点、到直线的距离相等，设该距离为， ，， 四边形与均为平行四边形，且，， 平行四边形与的高均为点到直线的距离，设该距离为， ，， ，， ，， 平行四边形的面积， 连接和， 对角线平分平行四边形的面积， ， ， ， 与同高， ， ， ， ， ， ， ， 与同高， ， 四边形与为平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 设点到直线的距离为， ， 点到直线的距离也为， ，， ， ， ， ， ， ， 已知的值，一定能求出的面积． 9．如图，两条宽度为2和6的纸条交叉放置，重叠部分是四边形，若，则四边形的面积是（     ） A．81 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判定四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式，用面积表示出和，结合已知条件建立方程求解即可 【详解】解：∵ 纸条的对边平行， ∴ ， ∴ 四边形是平行四边形， 设平行四边形的面积为， 边上的高为，边上的高为， 由题意可知，的值分别为2和6， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 二、填空题 10．平行四边形的周长为28，一边长为6，则其邻边长为_______． 【答案】8 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，求出两邻边的和，再根据已知边长求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的对边相等， ∴平行四边形邻边和为周长的一半，即 ， ∵一边长为6， ∴． 11．在平行四边形ABCD中，如果，则____ 【答案】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：如图 四边形是平行四边形， ，． ，， ， 解得． ． 12．中，与的平分线交于点P，，，则________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，结合角平分线的定义可求出，根据三角形内角和定理得出，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵中，， ∴，， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴. 13．如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 【答案】36 【分析】根据三角形的中位线定理得到，，，进而可知的周长． 【详解】解：∵是三角形的中位线， ∴，D为中点，E为中点， ∴， ∴的周长 的周长， ∴的周长． 14．如图，在中，，点是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点，当与的一边垂直时，的长为__________． 【答案】1或2 【分析】分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图，当时， ， 将沿翻折，得到， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 即 解得， ∴， 平行四边形，， ； 如图，当时，故， 将沿翻折，得到， ，，， ∴，， ∴， ∴三点共线，此时与点重合， ，， ∴， ， ． 综上所述，的长为1或2． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，点在边上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：， ∴． ， ∴四边形是平行四边形． 【分析】根据平行线的判定得出，再由平行四边形的判定证明即可． 【详解】略 16．如图，在中，点在对角线上，连接，使得．求证：．    【答案】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 17．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由中位线的性质可得，由平行四边形的性质可得，命题得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 18．如图，已知中，于点E，于点H，平分，分别交于点F、G、M，且． (1)求证：． (2)猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴， ∴； (2)， 证明：如图，延长至点，使得，连接， 由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵，， ∴ ∴ ∵平行四边形中， ∴ 即． 【分析】（1）先根据平行线和角平分线证明，再由证明即可； （2）延长至点，使得，连接，证明，再证明，最后通过等量代换和线段和差证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． (1)在平面直角坐标系中以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出所有情况并写出D点坐标； (2)求出你作出的其中一个平行四边形的面积． 【答案】(1)如图，四边形，四边形，四边形为满足条件平行四边形， 点； (2)10 【分析】（1）由A，B，C各点坐标，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，分别求D坐标，画图即可； （2）由每个平行四边形的面积都是二倍，求出面积即可求出平行四边形面积． 【详解】（1）图略， 由已知，A，B，C坐标分别为，当四边形为平行四边形时，设点坐标为，由中点坐标公式可知，，， 解得，，故坐标为； 同理可得，坐标为，坐标为； （2） 由平行四边形性质可知，平行四边形面积为． 20．如图，在平行四边形 中，点为 的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图． (1)作出线段 的中点； (2)作以 为底的梯形，且使该梯形的面积与四边形的面积之比为，写出简要说理过程． 【答案】(1)如图所示，点即为所求： (2)四边形 即为所求，理由如下： 设，平行四边形底边的高为，则，梯形底边的高为， ∴，， ∴． 【分析】（1）连接相交于点，连接并延长交于点，连接相交于点，经过点画直线，交于点，交于点，由平行四边形的性质及全等三角形的性质易证明四边形 是平行四边形，即得，进而由三角形中位线的性质得到，即得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质可推导出，即点为线段的中点，故点即为所求； （2）由（1）作图所得的四边形即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平行四边形 孓内容导航 01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3平行四边形性质的其他应用 题型4求平行线间的距离 题型5利用平行线间距离解决问题 题型6平行四边形的判定 04综合通关一综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕一预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 01 复习目标 常考考点 命题风向 1.基础考查重本质辨析：从性质定理的机械记忆转向慨念深度理解，围绕平 行四边形的边、角、对角线性质及判定定理设题，侧重考查判定条件的完整 1.平行四边形的定义 性与性质的适用范围，辨析易混概念，突出对几何概念本质的考查。 与性质 2.核心考点常态化考查：平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理为必 2.平行四边形的判定 考核心内容，覆盖选择、填空、解答全题型；中位线定理侧重“平行关系+ 定理 数量关系”的双重应用，是几何推理与线段计算的高频载体，突出通性通 3.平行四边形的计算 法。 与证明 3.推理考查重逻辑规范：以平行四边形为载体强化几何证明的严谨性，常结 合全等三角形、平行线性质进行综合推理，侧重考查演绎推理的条理性与书 写规范性，落实几何推理的核心素养。 1/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.知识关联综合化命题：注重与已学几何知识的内在衔接，常结合勾股定 理、角平分线、图形平移等内容设题；坐标系中的平行四边形存在性问题特 续考查，体现代数与几何的跨模块融合，考查综合运用能力： 5.开放探究题型增量：条件开放型、结论探究型题目占比上升，如“添加 个条件使四边形为平行四边形”“动点运动中平行四边形的存在性”等设 问，侧重考查知识迁移能力与逻辑探究能力。 6.应用题型贴合实际：以实际测量、图形设计、方案规划等真实场景为背 景，利用平行四边形的性质解决实际问题，考查几何建模能力，体现几何知 识的实用价值，契合新课标实践应用的考查要求。 考情解码：“平行四边形”是初中平面几何的过渡核心，是后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平 行四边形的基础，在八年级下册数学中占据关键地位。本专题涉及的性质定理、判定方法及中位线定 理，是培养学生逻辑推理、几何直观与规范表达能力的重要载体。试题从单一性质的记忆、套用， 向复杂推理证明、线段与面积计算、图形探究应用转型，着重考查学生的演绎推理能力、几何分析能 力以及运用四边形知识解决实际问题的能力。平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、图形综 合证明是高频综合考点，常与全等三角形、勾股定理、图形变换等知识结合，体现几何知识体系的内 在联系。 02 知识重构 ◇ 脉1络|重|构 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义 一两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 边的性质 平行四边形的对边平行且相等。 角的性质 平行四边形的对角相等，邻角互补。 平行四边形的定义与 性质 对角线胜质 一平行四边形的对角线互相平分。 对称性 平行四边形是中心对称圈形，对角线的交点是它的对称中心。 对角线分图结论 平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的三角形，相 对的两个三角形全等。 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法） 从边判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形 平行四边形的判定定理 从角判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 从对角线判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形 面积计算 平行四边形的面积=底×高，同偏（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。 周长计算 平行四边形调长=2×相邻两边之和，利用对边相等的性质简化计算。 平行四边形的综合计算与证明 常见证明思路 利用平行四边形性质得到边、角关系，结合全等三角形证明线段相等、角 相等：通过判定定理证明四边形为平行四边形，再利用性质推导结论。 用插助线 连接对角线，利用对角线互相平分的性质构造全等三角形；过顶点作高， 构造直角三角形结合勾股定理计算。 重|点|梳理 知识点一平行四边形的定义与性质 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 边的性质：平行四边形的对边平行且相等。即AB‖CD,AB=CD:AD‖BC,AD=BC。 角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。即∠A=∠C,∠B=∠D:∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。即对角线AC、BD交于点O,则OA=OC,OB=OD。 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 对角线分图结论：平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的三角形，相对的两个三角形全等。 【易错提醒】 (1)平行四边形的对角线是“互相平分”，不是“互相相等”，易与矩形的对角线性质混淆： (2)平行四边形的邻角互补，对角相等，不可混淆角的数量关系，误将邻角记为相等： (3)普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，易误认为其存在对称轴。 即时即练如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=120°，则∠B的度数为() 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.140° B.130° C.120° D.60° 知识点二平行四边形的判定定理 从边判定： 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 从角判定： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 从对角线判定： 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 核心逻辑：所有判定定理最终都可推导至“两组对边分别平行”的定义特征，是定义的等价判定条件。 【易错提醒】 (1)“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形，可能是等腰梯形，是最常见的判定误 区； (2)约分、通分时，多项式要先因式分解，再找公因式或最简公分母，不可直接对原式约分： (3)分子分母是多项式时，变号要作用于整个多项式，容易只改变第一项符号导致错误。 即时即练如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定四边形ABCD为平行 四边形的是() A.∠ABC=∠ADC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC,OB=OD 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点三平行四边形的综合计算与证明 面积计算：平行四边形的面积=底×高，同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。 周长计算：平行四边形周长=2×相邻两边之和，利用对边相等的性质简化计算。 常见证明思路：利用平行四边形性质得到边、角关系，结合全等三角形证明线段相等、角相等：通过判定 定理证明四边形为平行四边形，再利用性质推导结论。 常用辅助线：连接对角线，利用对角线互相平分的性质构造全等三角形；过顶点作高，构造直角三角形结 合勾股定理计算。 对角线分图结论：平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的三角形，相对的两个三角形全等。 【易错提醒】 (1)计算平行四边形面积时，底和高必须对应，不可用邻边直接相乘，易与矩形面积公式混淆： (2)对角线分成的四个三角形仅面积相等，并非全部全等，只有特殊平行四边形才会出现多组全等三角 形； (3)证明过程中条件要写完整，不可跳步，平行四边形的判定与性质不可混用： 即时即适如，在平行边形中，甲的面积是6平方厘米乙的面积片平行边有积的号 丙的面积是 )平方厘米. 丙 03 题型突破 题型1利用平行四边形的性质求解 例1.如图，口ABCD中，BC=7cm,AB=5cm,BE平分∠ABC,则DE等于()cm. A.3 B.2 C.2.5 D.4 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AC=BD,BO=OD,∠DAC=90°.若 AB=2,AD=1,则AC的长为 【变式训练1-1】如图，设M是平行四边形ABCD,BC边上的任意一点，设△ABM的面积为S1, △AMD的面积为S2,△DMC的面积为S3.则() S2 S B M C A.S2>S1+S3B.S2<S1+S3 C.S2=S1+S3 D.不能确定 【变式训练1-2】如图，在口ABCD中，AD=3,AE平分∠DAB交CD于点E,BF平分∠ABC交CD于 点F,已知EF=1,则AB长为 【变式训练1-3】如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边 长为1cm.四边形ABCD的四个顶点都是格点，画图过程用虚线，画图结果用实线. B 图1 图2 图3 (1)四边形ABCD的周长为cm: (2)在图1中，先在CD上画点E,使∠ABE=45°： 3)在图2中的CD上画点G,使CG=AD: (4)在图3中，H是AB上一点，在CD上画点M,使HMAD. 题型2：利用平行四边形的性质证明 例3.下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形：②平行四边形的面 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积等于三角形的面积的2倍：③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形：④ 平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例4.在平行四边形ABCD中，AB=a,BC=b,∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于F、E,则线段 EF的长表示为 ·(用a、b表示) 【变式训练2-1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交 AD,BC边于点E,F,则图中的全等三角形共有() A.7对 B.6对 C.5对 D.4对 【变式训练2-2】如图，在口ABCD中，AD=3,AE平分∠DAB交CD于点E,BF平分∠ABC交CD于 点F,已知EF=1,则口ABCD的周长为 D B 【变式训练2-3】【问题背景】折纸不仅能创造出非常奇妙的图形，还能发现许多有趣的数学结论. B B B 图1 图2 【初步发现】如图1，将口ABCD纸片折叠，使点B与点D重合，得到折痕EF.观察发现DE=DF,证 明如下： .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC, ∠g=∠EFB. ,口ABCD纸片沿EF折叠得到四边形A1DFE ∴.四边形ABFE≌四边形A1DFE. 7/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EFB=∠EFD, ∴.∠些=∠EFD, ∴.DE=DF 【探究发现】 如图2，将口ABCD纸片沿EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，FB交CD边于点G,A1B1分 别交边CD、AD于点H、K. 如果折叠中始终保持AE=CF成立，观察发现EK=FG也成立.请你给出证明. 题型3平行四边形性质的其他应用 例5.平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是() A.两组对边互相平行 B.两组对边长度相等 C.相邻两个内角角度相等 D.对角线互相平分 例6.请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质： 【变式训练31】下列图形中，一定是轴对称图形的是() A.直角三角形B.平行四边形 C.等腰梯形 D.梯形 【变式训练32】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过变换可使它们互相重 合 【变式训练33】如图，△ABC的顶点坐标分别为A-2,0,B-4,-2,C-1,-4,将△ABC平移 至△ABC,使点A与点A重合. (1)画出平移后的△ABC,并写出点B的坐标为 2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 题型4求平行线间的距离 8/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例7.下列说法正确的有() ①有公共项点且相等的角是对顶角 ②两条平行线的所有公垂线段都相等 ③由a<b,可得a+号c3b+号 5 ④正方形是轴对称图形，且有4条对称轴 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例8.如图，已知AD‖BC,CE=5,CF=8,则AD与BC间的距离是 A B 【变式训练41】如图，在△ABC中，分别延长AC,AB边上的中线BD,CE到F,G,使DF=BD EG=CE,则下列说法：①GA=AF;②GA‖BC;③GB=AC;④四边形GBCF的面积是△ABC面积 的3倍.其中正确的个数是() B A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练42】如图，在梯形ABDC中，AB‖CD,点E是CD边的中点，连接AE、BE、CB,请写出 一个三角形和△ACE的面积相等：· (写出一个即可) B 【变式训练43】公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图， AB=15m,AD=12m,AC⊥BC.求： A D (1)小路BC,CD,OC的长； 9/17 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)计算出绿地的面积（含小路)； (3)AB,CD之间的距离. 题型5利用平行线间距离解决问题 例9.如图，在五边形ABCDE中，BC‖AE,AB‖DE,若已知五边形FGHJ面积的情况下，要求阴 影五角星ACEBD的面积，只需知道下列哪个三角形的面积() G 0 A.△ACE B.△BCD C.△ACD D.△CDE 例10.如图MN‖AB,P、Q为直线MN上的任意两点，若△PAB的面积为24，则△QAB的面积是 O N B 【变式训练51】如图，已知直线a'b,△ABC和△BCD的顶点A、D在直线a上，顶点B、C在直线b 上，则△ABC和△BCD的面积关系为() A.S△AB>S△BCDB.S△ABC<S△BCDC.SAABC=S△BCDD.无法确定 【变式训练52】如图，已知梯形ABCD中，AD‖BC,点E和F分别在AD和BC上，BE和AF相交于 点G,CE和DF相交于点，S△ABc=2,S△DHc=3.5,则阴影部分的面积为一 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 【变式训练53】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请用尺规作图法在边AD上求作一点P,连接 PB、PC,使得△CDP的面积等于△BCP面积的一半.（保留作图痕迹，不写作法） 题型6 平行四边形的判定 例11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行 四边形的是() A D A.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCDB.AB=CD,AD‖BC C.AB CD,AD BC D.OA=OC,OB=OD 例12.·在四边形ABCD中，若AB=3,BC=4,CD=3,要使该四边形为平行四边形，则AD的长为 【变式训练61】如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点 E、P,连接OE,∠ADC=60°，AB=1,BC=2,则下列结论：①∠CAD=30°；②BD=7: ③SCD=AB·AC:④OE=AD,正确的是() A.①②④ B.①③④ c.②③④ D.①②③④ 【变式训练62】如下图，在四边形ABCD中，AB=CD,添加一个条件 ,使四边形ABCD是平 行四边形.（不需作其它辅助线） 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式训练63】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是 平行四边形. D 04 综合通关 一、单选题 1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=90°，则∠B的度数是() A.125° B.135° C.55° D.75° 2.如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于E、F,若平行四边形的面积 是12，则阴影部分的面积为( ) A D B A.6 B.3 C.4 D.5 3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE=125°，则∠A=( E D A.35° B.45° c.55 D.65 4.如图，口ABCD中，AB=3,BC=5,AE平分∠BAD交BC于点E,则CE的长为() 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 c.3 D.4 5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,如果BD=12,AC=10,BC=m,那么m 的取值范围是() C A.10<m<12B.2<m<22 c.1<m<11 D.5<m<6 6.如图，在△ABC中，AB≠AC,点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，连接DE,DF,EF, AF,设DE交AF于点O,则下列结论中，错误的是() B A.DE‖BC B.∠B=∠EFC C.∠BAF=∠CAF D.OD=OE 7.如图，在口ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB,BC于点F,G,再分别以 点上，G为圆心，大于FG长为半径作，两弧交于点H,作射线BH交AD于点E,连接CE,若 CE⊥AD,AE=3,DE=2,则BE的长为() A ED B G A.V30 B.2V/5 c.5V5 D.4V2 8.如图，在口ABCD中，过△ACD内部任一点N分别作EG‖CD,FH‖AD,与对角线AC交于 K、M两点，设四边形AHNE、四边形HBGN、四边形GCFN、四边形NFDE的面积分别为 S1、S2、S3、S4.已知下列哪个值一定能求出△BMK面积的是(） E H 13/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.S2-S3 B.S2-S4 C.S1+S2 D.S1+S3 9.如图，两条宽度为2和6的纸条交叉放置，重叠部分是四边形ABCD,若AB·BC=81,则四边形 ABCD的面积是() A.81 B.12 c.6V3 D.183 二、填空题 10.平行四边形的周长为28，一边长为6，则其邻边长为 11.在平行四边形ABCD中，如果∠A+∠C=100°，则∠B=。 12.口ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线交于点P,AD=5,PC=5,则BP= A D 13.如图，在△ABC中，DE是三角形的中位线.若△ADE的周长为18，则△ABC的周长为 B 14.如图，在口ABCD中，AB=2,BC=3,∠A=45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE 折叠，得到△FEB,设BF与AD交于点M,当BF与口ABCD的一边垂直时，DM的长为 M 三、解答题 15.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,点E在BC边上，∠ADE=∠DEC.求证：四边形ABCD是 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平行四边形. B E C 16.如图，在口ABCD中，点E,F在对角线AC上，连接DE,BF,使得AE=CF.求证：DE=BF. D C 17.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、O分别为AB、AC的中点.求证：E0=AD. D B 18.如图，已知口ABCD中，DE⊥BC于点E,DH⊥AB于点H,AF平分∠BAD,分别交 DC、DE、DH于点F、G、M,且DE=AD D M (1)求证：△ADG≌△FDM, (2)猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想. 19.A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图. 15/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA (1)在平面直角坐标系中以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出所有情况并写出D点坐 标： (2)求出你作出的其中一个平行四边形的面积. 20.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图. D E (1)作出线段AD的中点： (2)作以BC为底的梯形，且使该梯形的面积与四边形ABCD的面积之比为3：8，写出简要说理过程. 05 错题留痕 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17/17