专题02 函数及其图象（暑假复习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

专题02 函数及其图象 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 函数的概念 题型2 函数的三种表示方法 题型3 函数解析式 题型4 求自变量的取值范围 题型5 平面直角坐标系 题型6 函数的图象 题型7 一次函数的图象 题型8 一次函数的性质 题型9 求一次函数的表达式 题型10 反比例函数 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 函数的概念与自变量取值范围 2. 平面直角坐标系中点的坐标规律 3. 一次函数的图象与性质 4. 待定系数法求函数解析式 5. 反比例函数的图象与性质 6. 一次函数与方程、不等式的联系 7. 函数交点与函数值比较 8. 函数的实际应用 1. 1. 基础考查重本质：函数概念、坐标规律等基础考点，从机械记忆转向本质理解，常结合实际情境考查自变量取值范围、函数关系判定，淡化纯记忆类题目。 2. 核心考点常态化：一次函数与反比例函数的图象性质、待定系数法求解析式为必考内容，侧重k、b符号与图象位置的对应，突出通性通法考查，题型覆盖选择、填空、解答。 3. 数形结合深度化：强化函数与方程、不等式的内在关联，依托图象判断解集、比较函数值大小；反比例函数侧重k的几何意义与图形面积结合，深度渗透几何直观素养。 4. 应用命题情境化：以行程、方案择优、销售利润、跨学科（物理压强、电学）等真实场景为载体，考查函数建模能力，要求学生用函数知识解决实际问题。 5. 综合题型分层化：一次函数与反比例函数综合题成为中档压轴标配，通常分层设问：基础问求解析式，中档问面积与不等式，拓展问动点存在性与最值，区分度清晰。 6. 创新题型增量化：新定义函数、坐标规律探究、动态几何与函数结合的题型占比上升，侧重知识迁移能力与逻辑推理能力，契合新课标核心素养要求。 考情解码：“函数及其图象”是初中数形结合的入门核心，是后续学习二次函数、三角函数、函数综合探究等内容的基础，在八年级下册数学中占据关键地位。本专题涉及的概念、图象性质、解析式求法及实际应用，是培养学生几何直观、建模思想与逻辑推理能力的重要载体。 试题从单一概念的记忆、识别，向复杂图象分析、参数求解、生活情境应用转型，着重考查学生的数形结合能力、逻辑推理能力以及运用函数知识解决实际问题的能力。一次函数与反比例函数的图象性质、待定系数法求解析式、函数实际应用是高频综合考点，常与方程不等式、几何图形、实际问题（行程、方案、利润）等知识结合，体现数与形知识的内在联系。 知识点一 函数的概念 变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终保持不变的量叫做常量。 自变量与因变量： 自变量：在变化过程中，可以自主取值、主动发生变化的量，初中阶段通常用字母x表示。 因变量：在变化过程中，随着自变量的变化而随之变化，且被自变量的取值唯一确定的量，也叫函数值，初中阶段通常用字母y表示。 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，叫做自变量。 函数值的定义：一般地，在函数关系中，当自变量x在其取值范围内取定一个确定的值a时，通过对应关系计算得到的唯一确定的因变量y的值，就叫做当x=a时的函数值。 简单来说，函数值就是自变量取特定值时对应的因变量结果，是因变量的具体取值。 自变量的取值范围： · 整式型函数：自变量可取全体实数 · 分式型函数：自变量取值需使分母不为0 · 二次根式型函数：自变量取值需使被开方数为非负数 · 实际问题中的函数：自变量取值要符合实际意义 函数的表示方法： 1. 解析法 定义：用含有自变量的数学等式来表示函数关系的方法，也称为关系式法，这个等式叫做函数的解析式（或函数关系式）。 核心特征：通过代数表达式精准建立自变量与函数值的数量对应关系，是初中函数最核心、最常用的表示形式。 优点：① 表述简明准确，能清晰反映变量间的运算关系； ② 可直接代入计算任意合法自变量对应的函数值； ③ 便于代数推导，是研究函数性质的基础。 局限性：① 表述抽象，无法直观看出函数的增减变化趋势； ② 部分实际问题中的函数关系无法用解析式表达（如单日气温随时间的变化）。 典型示例：匀速行驶的路程公式s=vt（v为定值）；正方形面积公式S=，一次函数y=2x-3。 2. 列表法 定义：将自变量的一系列取值与对应的函数值一一匹配，整理成表格的形式来表示函数关系的方法。 核心特征：以表格为载体，直接呈现有限组自变量与函数值的对应结果，无需额外计算。 优点：① 读取便捷，可直接从表格中获取对应数值，无需运算； ② 适合表示自变量取值有限、对应关系固定的函数。 局限性：① 只能列出部分对应值，无法完整反映函数的全貌与整体规律； ② 难以直观体现函数的变化趋势。 典型示例：数学教材中的平方根表、立方根表；店铺每日销售额统计表；学生单元测试成绩登记表。 3. 图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，描出所有对应点形成的图形，以此表示函数关系的方法。 核心特征：以几何图形直观呈现函数的变化规律，是数形结合思想的核心呈现形式。 优点：① 形象直观，能清晰展现函数的增减性、最值、变化趋势等特征； ② 便于结合图形分析问题，快速判断函数的整体性质。 局限性：① 图象多为近似绘制，通过图象读取的数值往往存在误差； ② 难以精准计算具体的对应数值。 典型示例：天气预报中的气温变化折线图；股票价格走势曲线图；一次函数的直线图象、反比例函数的双曲线图象。 【易错提醒】 （1）判断函数关系的核心是“一个对应唯一的”，若一个值对应多个值，则不是函数，极易忽略“唯一对应”的判定标准； （2）求复合型函数的自变量取值范围时，需同时满足所有限制条件，实际问题易忽略现实意义的约束； （3）并不是所有函数都能写出解析式，列表法、图象法也是函数的合法表示形式。 即时即练水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 知识点二 平面直角坐标系 平面直角坐标系的组成：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴（纵轴），向上为正方向；两轴的公共原点叫做坐标原点。 象限划分：坐标轴把平面分成四个部分，按逆时针顺序依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 点的坐标特征： 象限内点的符号：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限 坐标轴上的点：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点坐标为 对称点规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。 点的平移规律：左右平移时，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时，纵坐标上加下减，横坐标不变。 【易错提醒】 （1）坐标轴上的点不属于任何一个象限，容易误将坐标轴上的点归到某一象限； （2）点的平移易混淆加减方向，关于坐标轴对称易记混横、纵坐标的变化规律； （3）点的坐标是有序数对，横坐标在前、纵坐标在后，顺序不能随意颠倒。 即时即练在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 知识点三 一次函数的图象与性质 一次函数的定义：一般地，形如（、为常数，）的函数，叫做一次函数。当时，（）叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象经过坐标原点。 一次函数的性质： · 决定函数的增减性：时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 · 决定直线与轴的交点位置：时，直线与轴交于正半轴；时，交于负半轴；时，直线过原点 待定系数法求解析式：设出一次函数解析式，代入两组对应点的坐标，列方程组求出、的值，即可确定函数解析式。 一次函数与坐标轴的交点：与轴交点坐标为，与轴交点坐标为。 【易错提醒】 （1）一次函数必须满足，易忽略的限制，误将这类常数函数当作一次函数； （2）描述一次函数增减性时无需限定象限，易和反比例函数混淆，多余添加“在每个象限内”的错误表述； （3）用待定系数法求解时，代入坐标易混淆横纵坐标，导致方程组列错、计算错误； 即时即练函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 知识点四 反比例函数的图象与性质 反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，自变量的取值范围是。 反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限。 反比例函数的性质： 时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小 · 时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大 的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为；连接该点与原点，所得直角三角形的面积为。 待定系数法求解析式：只需代入一组、的对应值，即可求出的值，确定反比例函数解析式。 【易错提醒】 （1）描述反比例函数增减性时，必须强调“在每个象限内”，不能笼统说“随的增大而减小/增大”，极易忽略定义域限制导致表述错误； （2））应用的几何意义时，易忽略绝对值，根据图象象限定错的符号； （3）反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，易误认为图象会与坐标轴有交点； 即时即练若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 知识点五 一次函数与方程、不等式的联系 一次函数与一元一次方程：一次函数（）的图象与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。 一次函数与一元一次不等式： · 的解集：对应一次函数图象在轴上方部分的的取值范围； · 的解集：对应一次函数图象在轴下方部分的的取值范围。 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象交点的坐标，就是对应的二元一次方程组的解。 【易错提醒】 （1）由图象判断不等式解集时，易混淆图象上下部分对应的不等号方向，导致解集范围写反； （2）比较两个一次函数的大小关系时，要以交点为分界点分段讨论，极易遗漏其中一段的取值范围； （3）方程组的解对应交点坐标，横坐标对应的值，纵坐标对应的值，不可将横纵坐标颠倒。 即时即练已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 题型1 函数的概念 例1．下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项B，中，任意给定一个合法的x值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义； 选项C，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项D，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义． 例2．经过点且平行于y轴的直线是不是某个函数的图像？_______．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】先确定所求直线的表达式，再根据函数的定义判断即可，函数定义要求对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：经过点且平行于轴的直线的表达式为， 根据函数的定义，对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，才满足函数关系， 在直线 中，当取时，有无数个值与之对应，不满足函数的定义， 因此该直线不是某个函数的图像． 【变式训练1-1】已知球的体积公式为，其中V为球的体积，R为半径，则这个公式中的变量是（   ） A．V，，R B．和R C．V和R D．V和 【答案】C 【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值保持不变的量称为常量，根据定义判断即可． 【详解】解：∵在公式中，是常数，是圆周率，均为固定不变的常量 ∴数值发生变化的量是体积和半径，即公式中的变量为和 因此答案选C． 【变式训练1-2】下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【答案】 【分析】函数定义为：在一个变化过程中，有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此对三个情景逐一判断即可. 【详解】解：对于时间的每一个确定的值，气温都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 对于正方形边长的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 由题意可得，当时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； ∴能表示是的函数的是． 【变式训练1-3】吉林市松江桥安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．设有根立柱，护栏总长度为米． (1)根据如图，将表格补充完整． 立柱根数（根） 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 …… (2)在这个变化过程中，变量为___________，常量为___________； (3)写出与之间的关系式，并化简； (4)求护栏总长度为61米时立柱的根数． 【答案】(1)，13 (2)立柱根数和护栏总长度；3和0.2 (3) (4)20 【分析】（1）根据图示列出式子求解即可． （2）根据变量、常量的定义即可求解； （3）有x个立柱，则有个立柱间距，据此即可列函数关系式； （4）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：立柱根数是3根时， ， 立柱根数是5根时， ， （2）解：在这个变化过程中，变量为：立柱根数和护栏总长度，常量为：3和0.2 （3）解：由题意得与之间的关系式为： ， 即． （4）当时， ， 解得． 答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20． 题型2 函数的三种表示方法 例3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 例4．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 【答案】52 【分析】本题考查一次函数的应用． 根据题意和表格中的数据，可以计算出每分钟升高的温度和min时的温度. 【详解】解：由题意和表格中的数据可知，每分钟升高（℃）， min时的温度是（℃）. 故答案为：. 【变式训练2-1】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 【变式训练2-2】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的表示方法，设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟，由表格数据可得t与x的关系式，将代入计算，即可得出答案； 【详解】解：设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟， 由表格得，鸭的质量x每增加千克，烤制时间t增加分钟， ∴， 即：， 当时， ， 故答案为：． 【变式训练2-3】已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示． 1 2 3 【答案】见解析 【分析】将x的值代入关系式求出y，再列表即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 列表如下： x 1 2 3 y 1 4 7 题型3 函数解析式 例5．部分烃类化合物的名称及其结构式如下所示．若将结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知关于的函数解析式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据观察图形得出规律求解即可. 【详解】解：观察图形可知： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴， 故选：B ． 例6．一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌，请写出冰激凌售价（元）与（支）之间的函数解析式________． 【答案】 【分析】先计算冰激凌的单价，根据售价=单价乘以支数计算即可； 【详解】解：一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌， 故冰激凌的单价为（元）， 故冰激凌售价（元）与（支）之间的函数解析式为． 【变式训练3-1】某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菜园的三边的和为，即可得出一个与的关系式． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为， ， ， ，， ， 解得， ． 【变式训练3-2】学校发起为儿童福利院捐书包的活动，每个书包60元．张华现有积攒的零花钱480元，记他用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元，写出y关于x的函数解析式（不要求注明自变量取值范围）______． 【答案】 【分析】根据剩余钱数等于总零花钱减去购买书包的总花费，找出等量关系，即可推导出关于的函数解析式． 【详解】解：由题意得，购买个书包的总花费为元， 根据剩余钱数总零花钱购买书包的总花费，可得：． 【变式训练3-3】分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新正方形周长为，是的函数； (2)寄一封重量在克以内的市内平信，需邮资元，寄封这样的信所需邮资（元）是的函数； 【答案】(1)，（） (2)，（且为整数） 【分析】（1）根据正方形的周长公式，可得答案； （2）根据所需邮资邮信的单价乘以邮信的封数，可得函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得， ，（）； （2）由题意得，（且为整数）． 题型4 求自变量的取值范围 例7．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 解得． 例8．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式，自变量的取值范围，等腰三角形的性质，三角形三边关系．根据等腰三角形的定义及三角形周长公式列出函数解析式，再结合三角形三边关系确定自变量x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 整理得：， 即． 根据题意可得：， 将代入， 得：， 解得， 又∵， ∴， ∴y与x的函数解析式是，自变量x的取值范围是． 【变式训练4-1】下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，初中数学中，整式函数的自变量取值范围为全体实数，分式的分母不能为0，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A、是正比例函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项B、是一次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项D、是二次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． 选项C、是分式，∵分式的分母不能为0，∴，自变量的取值范围是，不是全体实数． 【变式训练4-2】A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【答案】 【分析】根据题意，李明与B地的距离等于A，B两地总距离减去李明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意可得，李明骑行的路程为， ∵A，B两地总路程为，为李明与B地的距离， ∴ ， 根据题意得：， 解得， ∴y关于x的函数解析式为． 【变式训练4-3】写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某地民用水费基础标准（每月每户用水不超过）为每吨2.91元，在这个范围内，水费y（元）是用水吨数x的函数； (2)已知等腰三角形的面积为，设它的底边长为，底边上的高为，y是x的函数； (3)在一个半径为的圆形纸片中剪去一个半径为的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为，S是r的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，自变量取值范围为 (2) 函数关系式为，自变量取值范围为 (3) 函数关系式为，自变量取值范围为 【分析】 本题需要根据实际问题中的等量关系推导函数关系式，再结合实际意义和题目给定的限制条件确定自变量的取值范围，用到总价单价数量关系、三角形面积公式、圆面积公式等初中基础知识． 【详解】（1）解：由题意得，水费等于每吨水费乘以用水吨数 因此 用水吨数不能为负数，且题目要求每月每户用水不超过， 因此自变量取值范围为； （2）解：由三角形面积公式可得 整理得 三角形的底边长为正数，因此自变量取值范围为； （3）解：由题意得，圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，而大圆半径为，面积为，小圆面积为 因此 小圆半径为正数，且小于大圆半径， 因此自变量取值范围为． 题型5 平面直角坐标系 例9．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 例10．在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……依此类推，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作于点H，确定点的坐标，循环规律，解答即可． 【详解】解：为等边三角形，点A的坐标为． ， ，， ， 将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到， ， 过点作于点H， ， ，， ； 第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到， ， 过点作于点G， ， ，， ； 同理可得，， 每变换6次，点A的对应点所在方向线出现循环， ， 故都在第二象限， 故， 故， 故． 【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第次旋转结束时，完成了次循环，并再旋转两次，与的位置相同， 的坐标为． 【变式训练5-2】点与点关于原点成中心对称，则_________． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，求出和的值，再代入计算即可 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， ，， 【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移，平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的，其中的坐标为______； (2)将绕点B顺时针旋转，请画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形，进而确定的坐标； （2）根据旋转的性质作图即可. 【详解】（1）解：如图所示，的坐标为； （2）解：如图所示. 题型6 函数的图象 例11．下列图象中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：∵函数的定义要求对于自变量 x 的每一个确定的值，函数值 y 都有唯一确定的值与其对应 ， ∴在图象上，作垂直于 x 轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象表示y是 x 的函数； A. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； B. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； C. 作垂直于 x 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 y 不是 x 的函数，不符合题意； D. 对于每一个 x 的值，都有唯一的 y 值与之对应，故 y 是 x 的函数，符合题意． 例12．小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用（单位：元）与所用流量（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元． 【答案】 【分析】观察函数图象，找出超过套餐流量后的起始点和终止点坐标，利用费用变化量除以流量变化量即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，当所用流量为时，费用为元，当所用流量为时，费用为元， 则超过套餐内流量后，每流量的费用为： （元）． 【变式训练6-1】下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（     ）．    1 2 3 8 3 2 A．上图中，是的函数 B．式子中，是的函数 C．观察表中对应关系，是的函数 D．平面直角坐标系中一点的纵坐标是该点到原点的距离的函数 【答案】D 【分析】根据函数定义：在一个变化过程中，有两个变量、，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数来判断四个选项． 【详解】解：选项A、图像满足垂直轴的直线与图像最多只有一个交点，即对每一个确定的，仅有唯一与之对应，符合函数定义，因此是的函数，A正确； 选项B、式子，任取一个非负数，开算术平方根后只会得到唯一的，满足函数定义，是的函数，B正确； 选项C、观察表格：每一个的值，都只对应唯一一个值，满足函数定义，是的函数，C正确； 选项D、举反例：点和点，两点到原点的距离均为，即当距离时，纵坐标有4和两个不同的值与之对应，不满足“一个对应唯一” 的函数定义，因此纵坐标不是距离的函数，D 错误． 【变式训练6-2】如图描述了一汽车在某一笔直公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系，根据题中提供的信息，给出下列说法： ①汽车一共行驶了； ②汽车在行驶途中停留了； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为； ④汽车自出发后至之间行驶的速度在逐渐减小． 其中，正确的说法有________（只填正确判断的序号）． 【答案】②③ 【分析】根据图象所展示的信息，求解判断即可． 【详解】解：①汽车往返一共行驶了，原结论错误； ②汽车在行驶途中停留了，原结论正确； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为，原结论正确； ④汽车自出发到时，汽车在整个行驶过程中的平均速度为，至之间行驶的速度为，此时与前面比较，速度增大，故原结论错误． 【变式训练6-3】甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． (1)从城到城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ (2)哪辆车先出发？哪辆车先到城？ (3)甲、乙两车的平均速度分别为多少？ (4)你还能从图中得到哪些信息？ 【答案】(1)甲、乙两车都行驶了 (2)甲车先出发，乙车先到达城 (3) (4)甲、乙两车于相遇 【分析】（）由图像直接得出两车行驶路程均为； （）对比出发、到达时刻，得出甲车先出发、乙车先到达； （）算出两车行驶时间，用路程-时 间求出各自平均速度； （）对比到达时间差，找到两车路程相等的时刻． 【详解】（1）解：由图像可知，城到城全程为，甲乙两车均从城到城， ∴甲、乙两车各行驶了千米； （2）解：由横坐标时刻可得：甲车出发，乙车出发；甲车到达城，乙车到达城， ∴甲车先出发，乙车先到达城； （3）解：平均速度=总路程÷总行驶时间： 甲的总行驶时间：小时， 平均速度： 乙的总行驶时间：小时， 平均速度： 即甲的平均速度为，乙的平均速度为； （4）解：乙车比甲车早小时到达城； 时乙车追上甲车（两车行驶路程相等）． 题型7 一次函数的图象 例13．若实数a，b满足，则函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用偶次方和算术平方根的非负性求出， 的值，再根据一次函数的性质判断图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵，， ∴，， 解得 ，， ∴ 函数解析式为， ∵，， ∴ 函数图象经过第一、二、三象限， 因此函数图象不经过第四象限． 例14．直线 与 轴交点坐标为_______． 【答案】 【分析】根据y轴上点的坐标特点，点在y轴上时横坐标为0，将 代入直线解析式求出 的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：令 ，代入 得 ， 直线与 轴的交点坐标为 ． 【变式训练7-1】一次函数 向下平移个单位得到函数 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一次函数平移时“上加下减”，计算平移后解析式即可得到k的值. 【详解】解：一次函数 向下平移个单位得到函数的解析式为：， 对比可得的值为. 【变式训练7-2】将直线向上平移2个单位长度得到的直线解析式为________． 【答案】 【分析】直接根据一次函数的平移规则：“上加下减，左加右减”求解即可. 【详解】解：∵直线向上平移2个单位长度， ∴根据平移规律可得得到的直线解析式为 【变式训练7-3】画出直线，并借助图象找出： (1)直线上横坐标是2的点； (2)直线上纵坐标是的点； (3)直线上到y轴的距离等于2的点． 【答案】(1)图象如图：；直线上横坐标是2的点为； (2)直线上纵坐标是的点为； (3)直线上到y轴的距离等于2的点为或． 【详解】（1）解：列表： 0 2 3 描点、连线，函数图象，略； 由图象得，直线上横坐标是2的点为； （2）解：由图象得，直线上纵坐标是的点为； （3）解：由图象得，直线上到y轴的距离等于2的点为或． 题型8 一次函数的性质 例15．点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再通过两点纵坐标的大小关系得到横坐标的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该直线上，且，即， ∴． 例16．已知一次函数（为实数），当时，，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数性质可得，当时，，要使时，，即要使，然后解关于的一元一次不等式即可． 【详解】解：由当时，，可得随着的减小而增大，即， ∵， ∴当时，， ∴要使时，，即要使， ∴． 【变式训练8-1】将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的直线解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将直线向左平移2个单位长度后得到直线， ∴平移后直线解析式为，即，， ∴直线经过第一、二、三象限，故A错误． 对于，令，得， 解得， ∴ 直线与轴交于，B错误． 对于，令，得， ∴ 直线与轴交于，C正确． 选项D：∵ ， ∴ 随的增大而增大，D错误． 【变式训练8-2】已知、是函数图像上的两点，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：函数是一次函数，其一次项系数， ∴随的增大而增大， ∵，，， ∴． 【变式训练8-3】已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设这个一次函数的表达式为（）， 由图象可得，一次函数的图象经过点和点， 将两个点的坐标代入函数表达式，得， 解得：， 因此这个一次函数的表达式为． 题型9 求一次函数的表达式 例17．已知两点与，点在轴上且使最短，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称性质和两点之间线段最短求解，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为使最短的点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，如图， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在轴上，横坐标为， 将代入解析式得， ∴点坐标为． 例18．在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标大2，那么我们把这样的点称为“两步点”，例如点、都是“两步点”．已知一条直线与坐标轴的交点都是“两步点”，则这条直线的表达式是______． 【答案】/ 【分析】先根据“两步点”的定义求出直线与轴、轴的交点坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式即可． 【详解】解：由题意可得，直线与轴的交点为，与轴交点为， 设直线函数表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线函数表达式为． 【变式训练9-1】将一次函数（，为常数，）的图像向上平移6个单位长度得到的正比例函数图像经过点，则原一次函数的表达式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移规则得到平移后函数解析式，再利用正比例函数定义求出的值，最后代入已知点求出，即可得到原函数解析式． 【详解】解：∵ 将向上平移个单位， ∴平移后的解析式为． ∵平移后得到正比例函数， ∴ ，得． ∴平移后的正比例函数为． 又∵正比例函数经过点， ∴将代入， 得，解得． ∴ 原一次函数的表达式为． 【变式训练9-2】若直线向下平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】先求出平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标计算即可得到的值． 【详解】解：由平移规律可得，直线向下平移个单位长度后的解析式为：， 平移后的直线经过点，将点代入解析式得：， 解得． 【变式训练9-3】已知一次函数图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)在函数图像上 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将横坐标代入解析式，求出y值，即可判断． 【详解】（1）解：设解析式为 ，代入 解得， 解析式为； （2）解：将 代入， 得：，与点C纵坐标相等， 点C在函数图象上． 题型10 反比例函数 例19．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴点在反比例函数第二象限的双曲线上，且y随x的增大而增大， ∵， ∴． 例20．如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 【答案】 【分析】反比例函数中，当比例系数时，函数图象位于第一、三象限，据此列出关于的不等式求解即可 【详解】解：已知反比例函数的图象位于第一、三象限， 根据反比例函数的性质可得比例系数大于，即 移项得 【变式训练10-1】若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 【变式训练10-2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 【变式训练10-3】如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 作图如下： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 (3)（或或或或） 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； （2）解：作图如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小； （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 一、单选题 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 2．已知，，则（    ） A． 轴 B． 轴 C．经过原点 D．轴 【答案】B 【分析】根据、两点的坐标特征，结合平面直角坐标系中直线与坐标轴的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵，，横坐标相同， ∴轴，且不经过原点． 3．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查象限内点的坐标符号特征，先根据点的位置得出的取值范围，再判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：∵点在第三象限，第三象限内点的横纵坐标均为负数， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标为，即点的横纵坐标都为正数， ∵第一象限内点的横纵坐标符号为， ∴点在第一象限． 4．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C．无解 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：由图可知直线和直线相交于点， 则关于x和y的二元一次方程组，即的解是． 5．《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的对应关系，则下列说法正确的是（     ） A．氯化钾的溶解度比的硝酸钾溶解度小 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度大 D．溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高 【答案】D 【详解】解：A、当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小；当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故原说法错误，不符合题意； C、时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度小，故原说法错误，不符合题意； D、溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高，故原说法正确，符合题意． 6．在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据“少”“年”的坐标建立直角坐标系如下， 则“强”的坐标为． 7．一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而减小，则点P坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，随增大而减小可得，将各选项点坐标代入求出的值，选出的选项即可． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴； A .把代入得：， 解得，符合题意； B. 把代入得：， 解得，不符合题意； C. 把代入得：， 解得，不符合题意； D. 把代入得：， 解得，不符合题意． 8．将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“t型平移”的定义，得出关于t的不等式组，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知，点A和点B进行“t型平移”后对应点的坐标分别为和， ∵线段进行“t型平移”后与y轴有公共点， ∴点A和点B“t型平移”后的对应点在y轴两侧（包括y轴上）， ∵， ∴， 解得：. 二、填空题 9．已知一次函数（是常数），且随着的增大而减小，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，可得一次项系数小于零，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随着自变量的增大而减小， ∴， 解得：． 10．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a的值为______． 【答案】1 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 解得， 故答案为1． 11．某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【分析】观察表格中两个变量的变化规律，砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米，时，据此可推导得到函数关系式． 【详解】解：根据表格数据，当时，，当砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米， 因此弹簧长度与砝码个数之间的函数关系式为：． 12．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】根据剩余油量等于原有存油量减去流出油量解答即可求解． 【详解】解：由题意得，原有存油量为升，分钟流出的油量为升， ∴剩余油量与流出时间的函数解析式是． 13．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示． 下列结论中，正确的有____________．（填序号） ①甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；②乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；③点的坐标为；④甲款机器人到达终点用了 【答案】①④ 【分析】过作轴于点，由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断①；根据题意和图象可得，乙款机器人追及和返回的时间均为，进而得到甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为，得到，结合题意和象列方程求出、，可判断②；进而乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离，可判断③； 求出乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间，即可判断④． 【详解】解：如图，过作轴于点， 由图可得，当时，甲、乙两款机器人之间的距离， 甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲，故①正确； 乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点， 乙款机器人追及和返回的时间均为， ，即甲款机器人出发分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲， 设乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为， ， ， ， ， 解得， ，故②错误； 乙款机器人追上甲款机器人前，甲、乙两款机器人之间的距离为，即， 点的坐标为，故③错误； 乙款机器人追上甲款机器人后，甲款机器人所用的时间为， 甲款机器人到达终点用了，故④正确； 故答案为：①④． 三、解答题 14．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【分析】先将已知点的坐标代入直线解析式求出的值，再分别令、，求出直线与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 15．已知y与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例的定义设出函数解析式，再用待定系数法求出未知系数得到y关于x的函数解析式； （2）将y的值代入解析式，通过解一元一次方程得到x的值． 【详解】（1） 解：由题意可设 把，代入得， 解得 ； （2）解：把代入得， 解得． 16．已知一次函数的图象经过两点，求k、b的值． 【答案】k、b的值分别为． 【分析】将两个点的坐标代入函数关系式得出二元一次方程组，再解方程组求出解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， 即k、b的值分别为． 17．某童装店到厂家选购、两种服装 若购进种服装件，种服装件，需要资金 元，若购进种服装件，种服装件，需要资金 元． (1)求、 两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件种服装可获利元，销售一件 种服装可获利元 根据市场需求，购进种服装的数量要比购进 种服装的数量的 倍还多件，设购进 种服装件，全部售出后获得的总利润为，试用含的代数式表示总利润？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：种服装购进数量不超过件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于 元请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【答案】(1)种服装的进价是元，种服装的进价是元 (2) (3)有三种进货方案：方案一：购进种服装件，购进 种服装件；方案二：购进种服装件，购进 种服装件；方案三：购进种服装件，购进 种服装件；应该选择方案三利润最大 【分析】（1）设种服装的进价是元，种服装的进价是元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购进种服装件，则购进A种服饰件，根据题意即可建立函数关系式； （3）先列出关于的不等式组求出的整数解，继而确定几种方案，再由一次函数的性质求解最大利润． 【详解】（1）解：设种服装的进价是元，种服装的进价是元， 列二元一次方程组得：， 解得， 答： 种服装的进价是元，种服装的进价是元； （2）解：设购进种服装件， 由题意得 ； （3）解：购进种服装件，则购进种服装 件， 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得 ． 因为应该为正整数， 所以，，，则 ，，， 所以有三种进货方案： 方案一：购进种服装件，购进种服装件； 方案二：购进种服装件，购进种服装件； 方案三：购进种服装件，购进种服装件； 由于，其中 ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大，为（元）． 18．已知函数满足当自变量x取时，函数值y为6． (1)求a的值； (2)当自变量x取3时，函数值是多少？ 【答案】(1) . (2) 函数值为. 【分析】（1）已知的自变量和函数值代入函数解析式，计算得到的值，再得到完整的函数解析式； （2）代入即可计算得到对应函数值． 【详解】（1）解 ：已知当时，， 将其代入得， 展开整理得， 解得； （2）解：将代入原函数，得函数解析式为 将代入得， 即当自变量取时，函数值为． 19．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ；在直角坐标系中画出该函数图像 (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当 时，函数有最大值，最大值为 ； ②以下是关于该函数图像的一些性质，其中正确的为   （只填写序号）； A．函数图象关于直线对称； B．当时，随的增大而减小； C．当时，； D．函数y没有最小值； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为 ． 【答案】(1)； (2)①；2；②ABD (3)或 【分析】（1）根据表格，得出当时，，再代入解析式求值；②在图中描出对应的点，③在图中画出函数图象，注意点为转折点； （2）①找到图中最高点，可得结果；②根据图象，逐项判断即可； （3）先将点关于直线对称，得对称点，再根据点与直线的位置关系分类讨论，由，结合函数增减性，列不等式求解，最后综合得出的取值范围． 【详解】（1）由表可知，当时，，代入解析式， 可得， 描点，连线如下图所示： （2）解：由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； 函数图象关于直线对称，A正确，符合题意； 当时，随的增大而减小，B正确，符合题意； 当时，或，故C错误，不符合题意； 函数y没有最小值，D正确，符合题意； （3）解：由图知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 又函数图象关于直线对称， 点关于直线的对称点也在函数图象上， 当点在直线左侧时，点在直线右侧， ，， 由得，或 ，解得或， 或； 当点在直线右侧时，点在直线左侧， ，， 由得，或，解得或， ； 当点在直线上时，，，， ，，有，符合题意； 综上可知，当或时，总有. 20．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)下表是与的几组对应值： 0 0.5 1 2 3 5 3 1 3 则的值为______________； (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数的图象观察该函数的性质，下列说法正确的有___________（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； ②当时，随着的增大而增大； ③当该函数的函数值最小时，对应自变量的值有无数个 (4)结合函数的图象，进一步探究该函数与其他函数之间的关系，将函数的图象记为，一次函数的图象记为； ①当和仅有一个交点时，的取值范围为__________； ②令，过点作轴的垂线分别交，于点，．当满足（为整数）时，存在点与点的距离等于3，则____________． 【答案】(1)1 (2)如图， (3)②③ (4)①或；②或4 【分析】（1）将代入函数求解即可； （2）分三段得出函数解析式，再描点画图即可； （3）根据（2）中图象解答即可； （4）①根据题意得出一次函数的图象恒过点， ②分段求解即可； 【详解】（1）解：将代入函数得： ； （2）解：先对函数去绝对值分段： 当时，，连接得射线， 当时，，画的水平线段， 当时，，连接得射线， 按上述分段描点连线即可，如图： （3） 解：根据（2）中函数图象可得：① 函数对称轴为，不是轴，错误； ②时，随增大而增大，正确； ③ 函数最小值为，当时恒为，对应自变量有无数个，正确； 故说法正确的有：②③； （4）解：①在中，令，则， 即一次函数的图象恒过点， 如图，根据函数图象可得当或时，和仅有1个交点； ② 当时，， ∵， ∴， ∵， 当时，，则，解得：，满足， ∴； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得，满足，得； 综上，或4． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其图象 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 函数的概念 题型2 函数的三种表示方法 题型3 函数解析式 题型4 求自变量的取值范围 题型5 平面直角坐标系 题型6 函数的图象 题型7 一次函数的图象 题型8 一次函数的性质 题型9 求一次函数的表达式 题型10 反比例函数 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 函数的概念与自变量取值范围 2. 平面直角坐标系中点的坐标规律 3. 一次函数的图象与性质 4. 待定系数法求函数解析式 5. 反比例函数的图象与性质 6. 一次函数与方程、不等式的联系 7. 函数交点与函数值比较 8. 函数的实际应用 1. 1. 基础考查重本质：函数概念、坐标规律等基础考点，从机械记忆转向本质理解，常结合实际情境考查自变量取值范围、函数关系判定，淡化纯记忆类题目。 2. 核心考点常态化：一次函数与反比例函数的图象性质、待定系数法求解析式为必考内容，侧重k、b符号与图象位置的对应，突出通性通法考查，题型覆盖选择、填空、解答。 3. 数形结合深度化：强化函数与方程、不等式的内在关联，依托图象判断解集、比较函数值大小；反比例函数侧重k的几何意义与图形面积结合，深度渗透几何直观素养。 4. 应用命题情境化：以行程、方案择优、销售利润、跨学科（物理压强、电学）等真实场景为载体，考查函数建模能力，要求学生用函数知识解决实际问题。 5. 综合题型分层化：一次函数与反比例函数综合题成为中档压轴标配，通常分层设问：基础问求解析式，中档问面积与不等式，拓展问动点存在性与最值，区分度清晰。 6. 创新题型增量化：新定义函数、坐标规律探究、动态几何与函数结合的题型占比上升，侧重知识迁移能力与逻辑推理能力，契合新课标核心素养要求。 考情解码：“函数及其图象”是初中数形结合的入门核心，是后续学习二次函数、三角函数、函数综合探究等内容的基础，在八年级下册数学中占据关键地位。本专题涉及的概念、图象性质、解析式求法及实际应用，是培养学生几何直观、建模思想与逻辑推理能力的重要载体。 试题从单一概念的记忆、识别，向复杂图象分析、参数求解、生活情境应用转型，着重考查学生的数形结合能力、逻辑推理能力以及运用函数知识解决实际问题的能力。一次函数与反比例函数的图象性质、待定系数法求解析式、函数实际应用是高频综合考点，常与方程不等式、几何图形、实际问题（行程、方案、利润）等知识结合，体现数与形知识的内在联系。 知识点一 函数的概念 变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终保持不变的量叫做常量。 自变量与因变量： 自变量：在变化过程中，可以自主取值、主动发生变化的量，初中阶段通常用字母x表示。 因变量：在变化过程中，随着自变量的变化而随之变化，且被自变量的取值唯一确定的量，也叫函数值，初中阶段通常用字母y表示。 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，叫做自变量。 函数值的定义：一般地，在函数关系中，当自变量x在其取值范围内取定一个确定的值a时，通过对应关系计算得到的唯一确定的因变量y的值，就叫做当x=a时的函数值。 简单来说，函数值就是自变量取特定值时对应的因变量结果，是因变量的具体取值。 自变量的取值范围： · 整式型函数：自变量可取全体实数 · 分式型函数：自变量取值需使分母不为0 · 二次根式型函数：自变量取值需使被开方数为非负数 · 实际问题中的函数：自变量取值要符合实际意义 函数的表示方法： 1. 解析法 定义：用含有自变量的数学等式来表示函数关系的方法，也称为关系式法，这个等式叫做函数的解析式（或函数关系式）。 核心特征：通过代数表达式精准建立自变量与函数值的数量对应关系，是初中函数最核心、最常用的表示形式。 优点：① 表述简明准确，能清晰反映变量间的运算关系； ② 可直接代入计算任意合法自变量对应的函数值； ③ 便于代数推导，是研究函数性质的基础。 局限性：① 表述抽象，无法直观看出函数的增减变化趋势； ② 部分实际问题中的函数关系无法用解析式表达（如单日气温随时间的变化）。 典型示例：匀速行驶的路程公式s=vt（v为定值）；正方形面积公式S=，一次函数y=2x-3。 2. 列表法 定义：将自变量的一系列取值与对应的函数值一一匹配，整理成表格的形式来表示函数关系的方法。 核心特征：以表格为载体，直接呈现有限组自变量与函数值的对应结果，无需额外计算。 优点：① 读取便捷，可直接从表格中获取对应数值，无需运算； ② 适合表示自变量取值有限、对应关系固定的函数。 局限性：① 只能列出部分对应值，无法完整反映函数的全貌与整体规律； ② 难以直观体现函数的变化趋势。 典型示例：数学教材中的平方根表、立方根表；店铺每日销售额统计表；学生单元测试成绩登记表。 3. 图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，描出所有对应点形成的图形，以此表示函数关系的方法。 核心特征：以几何图形直观呈现函数的变化规律，是数形结合思想的核心呈现形式。 优点：① 形象直观，能清晰展现函数的增减性、最值、变化趋势等特征； ② 便于结合图形分析问题，快速判断函数的整体性质。 局限性：① 图象多为近似绘制，通过图象读取的数值往往存在误差； ② 难以精准计算具体的对应数值。 典型示例：天气预报中的气温变化折线图；股票价格走势曲线图；一次函数的直线图象、反比例函数的双曲线图象。 【易错提醒】 （1）判断函数关系的核心是“一个对应唯一的”，若一个值对应多个值，则不是函数，极易忽略“唯一对应”的判定标准； （2）求复合型函数的自变量取值范围时，需同时满足所有限制条件，实际问题易忽略现实意义的约束； （3）并不是所有函数都能写出解析式，列表法、图象法也是函数的合法表示形式。 即时即练水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量 知识点二 平面直角坐标系 平面直角坐标系的组成：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴（纵轴），向上为正方向；两轴的公共原点叫做坐标原点。 象限划分：坐标轴把平面分成四个部分，按逆时针顺序依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 点的坐标特征： 象限内点的符号：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限 坐标轴上的点：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点坐标为 对称点规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。 点的平移规律：左右平移时，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时，纵坐标上加下减，横坐标不变。 【易错提醒】 （1）坐标轴上的点不属于任何一个象限，容易误将坐标轴上的点归到某一象限； （2）点的平移易混淆加减方向，关于坐标轴对称易记混横、纵坐标的变化规律； （3）点的坐标是有序数对，横坐标在前、纵坐标在后，顺序不能随意颠倒。 即时即练在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点三 一次函数的图象与性质 一次函数的定义：一般地，形如（、为常数，）的函数，叫做一次函数。当时，（）叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象经过坐标原点。 一次函数的性质： · 决定函数的增减性：时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 · 决定直线与轴的交点位置：时，直线与轴交于正半轴；时，交于负半轴；时，直线过原点 待定系数法求解析式：设出一次函数解析式，代入两组对应点的坐标，列方程组求出、的值，即可确定函数解析式。 一次函数与坐标轴的交点：与轴交点坐标为，与轴交点坐标为。 【易错提醒】 （1）一次函数必须满足，易忽略的限制，误将这类常数函数当作一次函数； （2）描述一次函数增减性时无需限定象限，易和反比例函数混淆，多余添加“在每个象限内”的错误表述； （3）用待定系数法求解时，代入坐标易混淆横纵坐标，导致方程组列错、计算错误； 即时即练函数的图象为(    ) A． B． C． D． 知识点四 反比例函数的图象与性质 反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，自变量的取值范围是。 反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限。 反比例函数的性质： 时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小 · 时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大 的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为；连接该点与原点，所得直角三角形的面积为。 待定系数法求解析式：只需代入一组、的对应值，即可求出的值，确定反比例函数解析式。 【易错提醒】 （1）描述反比例函数增减性时，必须强调“在每个象限内”，不能笼统说“随的增大而减小/增大”，极易忽略定义域限制导致表述错误； （2））应用的几何意义时，易忽略绝对值，根据图象象限定错的符号； （3）反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，易误认为图象会与坐标轴有交点； 即时即练若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 知识点五 一次函数与方程、不等式的联系 一次函数与一元一次方程：一次函数（）的图象与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。 一次函数与一元一次不等式： · 的解集：对应一次函数图象在轴上方部分的的取值范围； · 的解集：对应一次函数图象在轴下方部分的的取值范围。 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象交点的坐标，就是对应的二元一次方程组的解。 【易错提醒】 （1）由图象判断不等式解集时，易混淆图象上下部分对应的不等号方向，导致解集范围写反； （2）比较两个一次函数的大小关系时，要以交点为分界点分段讨论，极易遗漏其中一段的取值范围； （3）方程组的解对应交点坐标，横坐标对应的值，纵坐标对应的值，不可将横纵坐标颠倒。 即时即练已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型1 函数的概念 例1．下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 例2．经过点且平行于y轴的直线是不是某个函数的图像？_______．（填“是”或“不是”） 【变式训练1-1】已知球的体积公式为，其中V为球的体积，R为半径，则这个公式中的变量是（   ） A．V，，R B．和R C．V和R D．V和 【变式训练1-2】下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【变式训练1-3】吉林市松江桥安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．设有根立柱，护栏总长度为米． (1)根据如图，将表格补充完整． 立柱根数（根） 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 …… (2)在这个变化过程中，变量为___________，常量为___________； (3)写出与之间的关系式，并化简； (4)求护栏总长度为61米时立柱的根数． 题型2 函数的三种表示方法 例3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 例4．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 【变式训练2-1】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【变式训练2-2】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为_____________． 【变式训练2-3】已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示． 1 2 3 x 1 2 3 y 1 4 7 题型3 函数解析式 例5．部分烃类化合物的名称及其结构式如下所示．若将结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知关于的函数解析式为（      ） A． B． C． D． 例6．一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌，请写出冰激凌售价（元）与（支）之间的函数解析式________． 【变式训练3-1】某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】学校发起为儿童福利院捐书包的活动，每个书包60元．张华现有积攒的零花钱480元，记他用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元，写出y关于x的函数解析式（不要求注明自变量取值范围）______． 【变式训练3-3】分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新正方形周长为，是的函数； (2)寄一封重量在克以内的市内平信，需邮资元，寄封这样的信所需邮资（元）是的函数； 题型4 求自变量的取值范围 例7．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例8．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 【变式训练4-1】下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 【变式训练4-2】A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【变式训练4-3】写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某地民用水费基础标准（每月每户用水不超过）为每吨2.91元，在这个范围内，水费y（元）是用水吨数x的函数； (2)已知等腰三角形的面积为，设它的底边长为，底边上的高为，y是x的函数； (3)在一个半径为的圆形纸片中剪去一个半径为的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为，S是r的函数． 题型5 平面直角坐标系 例9．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例10．在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……依此类推，得到，则点的坐标为______． 【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】点与点关于原点成中心对称，则_________． 【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移，平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的，其中的坐标为______； (2)将绕点B顺时针旋转，请画出旋转后对应的． 题型6 函数的图象 例11．下列图象中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 例12．小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用（单位：元）与所用流量（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元． 【变式训练6-1】下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（     ）．    1 2 3 8 3 2 A．上图中，是的函数 B．式子中，是的函数 C．观察表中对应关系，是的函数 D．平面直角坐标系中一点的纵坐标是该点到原点的距离的函数 【变式训练6-2】如图描述了一汽车在某一笔直公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系，根据题中提供的信息，给出下列说法： ①汽车一共行驶了； ②汽车在行驶途中停留了； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为； ④汽车自出发后至之间行驶的速度在逐渐减小． 其中，正确的说法有________（只填正确判断的序号）． 【变式训练6-3】甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． (1)从城到城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ (2)哪辆车先出发？哪辆车先到城？ (3)甲、乙两车的平均速度分别为多少？ (4)你还能从图中得到哪些信息？ 题型7 一次函数的图象 例13．若实数a，b满足，则函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例14．直线 与 轴交点坐标为_______． 【变式训练7-1】一次函数 向下平移个单位得到函数 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】将直线向上平移2个单位长度得到的直线解析式为________． 【变式训练7-3】画出直线，并借助图象找出： (1)直线上横坐标是2的点； (2)直线上纵坐标是的点； (3)直线上到y轴的距离等于2的点． 0 2 3 题型8 一次函数的性质 例15．点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 例16．已知一次函数（为实数），当时，，则m的取值范围是______． 【变式训练8-1】将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 【变式训练8-2】已知、是函数图像上的两点，则______．（填“”、“”或“”） 【变式训练8-3】已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 题型9 求一次函数的表达式 例17．已知两点与，点在轴上且使最短，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 例18．在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标大2，那么我们把这样的点称为“两步点”，例如点、都是“两步点”．已知一条直线与坐标轴的交点都是“两步点”，则这条直线的表达式是______． 【变式训练9-1】将一次函数（，为常数，）的图像向上平移6个单位长度得到的正比例函数图像经过点，则原一次函数的表达式为（     ）． A． B． C． D． 【变式训练9-2】若直线向下平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【变式训练9-3】已知一次函数图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)判断点是否在这个函数图象上． 题型10 反比例函数 例19．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 例20．如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 【变式训练10-1】若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【变式训练10-3】如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 一、单选题 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． 轴 B． 轴 C．经过原点 D．轴 3．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C．无解 D．不能确定 5．《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的对应关系，则下列说法正确的是（     ） A．氯化钾的溶解度比的硝酸钾溶解度小 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度大 D．溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高 6．在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而减小，则点P坐标可以为（     ） A． B． C． D． 8．将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知一次函数（是常数），且随着的增大而减小，那么的取值范围是________． 10．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a的值为______． 11．某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 12．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 13．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲款机器人先从起点匀速出发，几分钟后乙款机器人出发匀速追赶甲，追上后以原速度返回起点．甲款机器人被追上后以原速度的倍继续走向终点．在整个过程中，甲、乙两款机器人之间的距离与甲款机器人行走时间之间的函数关系如图所示． 下列结论中，正确的有____________．（填序号） ①甲款机器人出发后，乙款机器人追上甲；②乙款机器人追上甲款机器人前，甲款机器人的速度为，乙款机器人的速度为；③点的坐标为；④甲款机器人到达终点用了 三、解答题 14．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 15．已知y与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 16．已知一次函数的图象经过两点，求k、b的值． 17．某童装店到厂家选购、两种服装 若购进种服装件，种服装件，需要资金 元，若购进种服装件，种服装件，需要资金 元． (1)求、 两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件种服装可获利元，销售一件 种服装可获利元 根据市场需求，购进种服装的数量要比购进 种服装的数量的 倍还多件，设购进 种服装件，全部售出后获得的总利润为，试用含的代数式表示总利润？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：种服装购进数量不超过件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于 元请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 18．已知函数满足当自变量x取时，函数值y为6． (1)求a的值； (2)当自变量x取3时，函数值是多少？ 19．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ；在直角坐标系中画出该函数图像 (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当 时，函数有最大值，最大值为 ； ②以下是关于该函数图像的一些性质，其中正确的为   （只填写序号）； A．函数图象关于直线对称； B．当时，随的增大而减小； C．当时，； D．函数y没有最小值； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为 ． 20．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)下表是与的几组对应值： 0 0.5 1 2 3 5 3 1 3 则的值为______________； (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数的图象观察该函数的性质，下列说法正确的有___________（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； ②当时，随着的增大而增大； ③当该函数的函数值最小时，对应自变量的值有无数个 (4)结合函数的图象，进一步探究该函数与其他函数之间的关系，将函数的图象记为，一次函数的图象记为； ①当和仅有一个交点时，的取值范围为__________； ②令，过点作轴的垂线分别交，于点，．当满足（为整数）时，存在点与点的距离等于3，则____________． 如图，根据函数图象可得当或时，和仅有1个交点； ② 当时，， / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $