暑假预习专题 第20讲 反函数（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第20讲 反函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 反函数 反函数的性质 理解反函数的概念，并会求反函数是高一代数教学的重要内容，这些建立在真正理解函数的概念的基础上，学生必须对函数的基本概念有着清醒的认识；明确与会应用原函数与其反函数图像关于直线成轴对称进行解题. 学习重点：由具体的事例和逆对应引出反函数的概念，经历探索互为反函数的两个函数的图像之间 关系的过程，掌握其相互关系. 学习难点：明确与会应用原函数与其反函数图像关于直线成轴对称进行解题. 1、反函数的定义：一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意 一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的； 在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为. 2、关于反函数的结论： （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称； 若点在的图像上，则点必在图像上. 3、求反函数的步骤： （1）求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由解出； （3）改写：在中，将,互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域. 4、有关反函数的结论： （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）在定义域上严格单调的函数存在反函数；（3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间 不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如：； （4）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称； 若点在的图像上，则点必在图像上； （5）一般地，偶函数不存在反函数（除外，其中为常数)，奇函数不一定有反函数， 若有反函数，则反函数也是奇函数； （6）与互为反函数，设定义域为，值域为， 则有, ； （6）如果函数的图像关于直线对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）与图像若有公共点，并非一定在上； 例如：与有两个公共点与关于对称. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反函数的定义 1、求反函数的步骤： （1）明确原函数的定义域； （2）原函数的值域； （3）解关于的方程，得； （4）交换与.得到；标明反函数的定义域，即（2）中求出的值域. 2、原函数与反函数的图像的关系： 命题：在平面直角坐标系中，点与点关于直线对称； 性质：互为反函数的两函数的图像关于直线对称. 【经典例题】 【例1】判断下列函数是否存在反函数？如存在，求出它的反函数；若不存在，请说明理由. （1）；（2） 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，反函数为；. 【详解】（1）因为，令，解得，， 所以函数不是一一对应的（或说明在定义域内不是严格单调函数），所以函数不存在反函数； （2）)由已知，当时，， 再由的反函数是： ； 当时，由，再由， 则的反函数为： 综上知，原函数的反函数为. 【技巧归纳】注意：已知函数具有反函数的前提是：给定区间上的严格单调函数；求反函数注意 “四个步骤”. 【例2】已知，求：. 【答案】； 【详解】由已知，变形得，所以，，得 不妨，令，得，所以，， 则 【技巧归纳】注意：已知的“等式”不是函数解析式；所以，得先求，最后求. 【例3】函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得，所以， 所以函数的反函数为；故选：B. 【技巧归纳】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【对点练习】 【练习1】已知，设是的反函数，则________. 【分析】根据反函数的定义，在原函数中令函数值为，即可解出. 【答案】16 【详解】令，则；故答案为：16； 【练习2】函数的反函数的图像经过点，则实数=______. 【分析】由反函数的图像经过点，得原函数的图像经过点，代入解出答案即可. 【答案】2 【详解】因为函数的反函数的图像经过点， 所以函数的图像经过点，所以，解得，故答案为2. 【练习3】已知函数的图象关于直线对称，求实数m. 【答案】； 【详解】函数的反函数为：，因为函数的图象 关于直线对称，所以函数的反函数是其本身，即. 知识点02 反函数的性质 1、有关与f的值与相互关系：若函数为值域））与函数 为值域））互为反函数，则由原函数与反函数的定义可知： ；； 当时，；当时，； 例如： 则的条件为；的条件为； 的条件为； 2、函数的图像与其反函数的图像的交点未必都在直线上 例如：函数的图像与其反函数的图像有、[ （其中）、三个交点，而点、都不在直线上； 又如：函数（自反函数）的图像与其反函数的图像是重合的， 它们有无穷多公共点不全在直线上； 再如：与有两个公共点与关于对称. 3、函数的图像C与其反函数的图像若有公共点， 则这些公共点或在直线上，或关于直线对称地成对出现； 4、若函数是严格单调增函数，则其图像C与其反函数的图像的公共点 必在直线上； 5、偶函数是否存在反函数：偶函数当其定义域不是{0}时，显然不存在反函数；然而，当定义域是{0}时 就存在反函数了，如偶函数为常数，定义域为{0}），其反函数是（定义域为{ b }）. 【经典例题】 【例4】（1）若，则 【详解】设，则，即，所以，； （2）已知，又，则 【详解】因为，，所以，，则； （3）若，则 【分析】应用结论：若函数存在反函数， 则；【详解】由上易知 【易错提醒】在涉及反函数的一些问题中，有时不求反函数，反而可以更准确更快捷地解题. .【例5】设有反函数，且函数与互为反函数， 求：的值. 【答案】2 【详解】设，则点在函数的图像上，从而点在函数的图像上，即．由反函数定义有，这样即有， 从而. 【易错提醒】本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”并回归定义，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果. 【例6】已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上， 求函数的解析式. 【分析】因为点（1，2）在函数的图像上，所以点（2，1）在函数的图像上， 从而点（1，2）和（2，1）都在函数的图像上；【详解】由得 所以， 【易错提醒】注意利用原函数与反函数图像关于原点对称，找隐含条件． 【对点练习】 【练习4】给出下列函数： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； 其中不存在反函数的是__________________. 【答案】(3)、(4)、(5) 【详解】对于(1) ，(2)由初等单调性得存在反函数都没有问题； 对于(3)当时,和,且；对于(4)时,和； 对于(5)当时,和；.故(3)、(4)、(5)均不存在反函数. 【易错提醒】判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则，自变量总有唯一确定的值与之对应，由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察, 断定是否具有反函数. 【练习5】已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值 可能. 【分析】此题可以有两种求解思路：一是求解的反函数的解析式，与比较， 利用恒等式对应系数相等，列出关于的方程；二是利用两个函数图像的对称性，找对称点， 利用点的坐标满足解析式来列方程； 【详解】由知点在图像上，则点定在的图像上；于是 ① 又过点，则点也在的图像上，于是 ② 由①得或，当时，代入②，此时②恒成立即； 当时，代入②，解得；综上, 的所有取值可能有或. 【练习6】已知函数,，求的反函数. 【分析】由于已知是，所求是的反函数，因此应首先由找到， 再由求出的表达式，再求反函数. 【答案】 【详解】令,则，所以，，， 得解析式；于是有， 不妨设，则的值域是,又变形得，由于， 所以，，所以，的反函数是. 1.已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 【答案】【分析】利用互为反函数的关系，列式求出即可. 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得，所以；故答案为： 2.若，则与的大小关系为___________. 【答案】 【详解】因为在上是减函数，与它的反函数的单调性相同， 所以在它的定义域上也是减函数；∴ 3．若函数的反函数为，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由知，，即函数的反函数为. 因函数的反函数为，故；选B. 4.若的反函数为，且，则的最小值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是互为反函数，所以， 又因为，所以，所以且， 又，取等号时，所以的最小值为，故选：B. 5.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即，故选：A. 6.设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】由题意可知，函数的图象经过点，即可求得的值. 【详解】因为的反函数的图象经过点，所以，函数的图象 经过点，所以，，可得，解得；故选：A. 7.函数的图像关于直线y=x对称的图像大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】先看原函数，相当于指数函数向上平移一个单位.图象关于直线y=x对称，即所求函数为的反函数，所以不妨先求反函数，，改写为，整理为： 所以反函数为：，根据反函数的性质可知，函数单调递减， 所以排除BCD选项，再根据函数过(2,0)点，所以A选项正确. 8.设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数 它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题难点在于第二个函数图像与第三个函数图像关系关于直线对称，不容易得出， 可从图像上任意点的关系找出关系；点关于直线对称点为， 因此函数图像关于直线对称图像的解析式为. 【答案】C. 【详解】第一个函数是，它的反函数是，与的图象关于直线 对称的图象表示的函数为．所以第三个函数是；选择答案C. 9.若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的零点是与图象交点的横坐标，函数的零点是与图象交点的横坐标，数形结合可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围. 【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标， 函数的零点是与图象交点的横坐标， 由于与互为反函数，其图象关于直线对称，直线与直线垂直， 故直线与直线的交点即是的中点， ，， 当且仅当时等号成立，故，故所求的取值范围是；故选：B． 10.若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称， 由此可得出结论. 【详解】由题意可得，可得，，则，所以，， 作出函数、、的图象如下图所示： 对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称， 又因为函数、的图象关于直线对称， 所以，点、关于直线对称，则，故；故选：B. 11.已知函数,，求的反函数. 【分析】由于已知是，所求是的反函数，因此应首先由找到， 再由求出的表达式，再求反函数. 【答案】. 【详解】令,则，所以，，， 得解析式；于是有， 不妨设，则的值域是, 又变形得，由于，所以，， 所以，的反函数是. 12.若函数与函数互为反函数，求的值. 【分析】常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何布列？如果注意到g(x)的 定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，巧求参数. 【答案】. 【详解】因为g(x)的定义域为且， 的值域为，又因为的定义域就是的值域，所以，； 再因为的值域为，由条件可知的定义域是,，所以，； 则；令，则，即点(3，1)在的图像上， 又因为与互为反函数，所以，(3，1) 关于的对称点(1，3)必在的图像上， 所以，3=1+,，故. 13.已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合. 【分析】求出系数是本题的关键，利用已知的两个条件可列两个方程，从而求出和. 【详解】 方法1：令，所以，，则， 则，所以，又因为，与的图像都经过点， 所以，有，所以，， 由，所以，不等式的解集是：； 方法2：根据了数与反函数的图像关于直线对称，又反函数的图像过点， 所以原函数的图像必过点，也就是说，函数过和两个点． 所以，有所以，，则， 所以，，所以，不等式的解集是. 14.设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意 都有,求证：对任意也成立. 【分析】由函数的性质推证其反函数的性质，应首先要把的问题转化成的问题， 转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解； 【证明】令，其中,那么，则有 ① 由于对任意成立， 所以，，由于，则， 故有，即. 15.设函数，解关于的不等式. 【分析】可以行求出的表达式，或转化为去做（用原、反函数的运算互逆性）； 【详解】 方法1：令，由于， 故，解出，所以，原函数的反函数为：； 再由，即，即，所以，， 又反函数的定义域满足：，所以，所求的范围是，即； 方法2：易求的值域是，故的定义域是； 又结合一次函数与幂函数，得是严格增函数，因此对两端再结合单调性， 得，所以，，又考虑到必须在的定义域内， 所以，所求的范围是，即. 16.设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数. 【分析】（1）设，得；利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法；假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【详解】（1）由已知，当时，不妨设，则， 结合函数、的单调性，可以推得函数()严格单调递增， 则，即原函数的值域为， 再由，化简，得，则， 所以，原函数的反函数为：，； （2）证明： ①函数的定义域为. 若，，对于任意的，有； 所以，是奇函数； ②方法1：由是奇函数，有，解得； 若，则，，(否则)，不是奇函数； 方法2：若为奇函数，则对于任意的，有，即，. 即；所以，. 17.已知； （1）求它的反函数；（2）若函数的图像关于直线对称，求的值； （3）若，求的值. 【分析】注意：原函数与反函数图像间的对称与对应坐标间的联系. 【答案】（1）；（2） ；（3）或. 【详解】（1）由得，则，并解得， 因此，所求反函数为：； （2）若函数的图像关于直线对称，则，即， 整理得：，所以，解得； （3）若，则，整理得：，解得或，即的值为或. 18.已知函数，. （1）当时，求；（2）当时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数. 【答案】（1），（2）没有，详见解析，（3）或；当时，，，当时，，. 【详解】（1）当时，，求即等价于在求解，，解得：，所以； （2）当时，， 时，显然函数不单调，所以在区间没有反函数. （3）若函数存在反函数，则函数在区间单调，， 对称轴为，所以当或时，函数存在反函数； 当时，，； 当时，，； 由，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，互换、得， 所以的反函数为； （3）当时，，，所以，互换、得，所以其反函数为，； 当时，，，所以，互换、得，所以其反函数为，； 综上可得，所求的反函数为 19.设函数是上的奇函数． （1）求的值，并求函数的反函数解析式； （2）若为正实数，解关于的不等式. 【分析】（1）根据函数的奇偶性，由求出，再验证即可确定的值，得到函数解析式，从而 可得反函数的解析式；（2）由（1），结合所求不等式，得到，求解，即可得出结果. 【答案】（1），，；（2）当，；当，． 【详解】（1）因为函数是上的奇函数， 所以，则，此时，所以， 则为奇函数，所以； 令，则，即，当时，显然不成立，所以， 则，所以，则， 即函数的反函数解析式为； （2）由（1）可得，所以不等式可化为， 因为对数函数是严格增函数，则，所以，所以当时，；当时，，综上，当，；当，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第20讲 反函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 反函数 反函数的性质 理解反函数的概念，并会求反函数是高一代数教学的重要内容，这些建立在真正理解函数的概念的基础上，学生必须对函数的基本概念有着清醒的认识；明确与会应用原函数与其反函数图像关于直线成轴对称进行解题. 学习重点：由具体的事例和逆对应引出反函数的概念，经历探索互为反函数的两个函数的图像之间 关系的过程，掌握其相互关系. 学习难点：明确与会应用原函数与其反函数图像关于直线成轴对称进行解题. 1、反函数的定义：一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意 一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的； 在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为. 2、关于反函数的结论： （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称； 若点在的图像上，则点必在图像上. 3、求反函数的步骤： （1）求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由解出； （3）改写：在中，将,互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域. 4、有关反函数的结论： （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）在定义域上严格单调的函数存在反函数；（3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间 不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如：； （4）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称； 若点在的图像上，则点必在图像上； （5）一般地，偶函数不存在反函数（除外，其中为常数)，奇函数不一定有反函数， 若有反函数，则反函数也是奇函数； （6）与互为反函数，设定义域为，值域为， 则有, ； （6）如果函数的图像关于直线对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）与图像若有公共点，并非一定在上； 例如：与有两个公共点与关于对称. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反函数的定义 1、求反函数的步骤： （1）明确原函数的定义域； （2）原函数的值域； （3）解关于的方程，得； （4）交换与.得到；标明反函数的定义域，即（2）中求出的值域. 2、原函数与反函数的图像的关系： 命题：在平面直角坐标系中，点与点关于直线对称； 性质：互为反函数的两函数的图像关于直线对称. 【经典例题】 【例1】判断下列函数是否存在反函数？如存在，求出它的反函数；若不存在，请说明理由. （1）；（2） 【技巧归纳】注意：已知函数具有反函数的前提是：给定区间上的严格单调函数；求反函数注意 “四个步骤”. 【例2】已知，求：. 【技巧归纳】注意：已知的“等式”不是函数解析式；所以，得先求，最后求. 【例3】函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【对点练习】 【练习1】已知，设是的反函数，则________. 【练习2】函数的反函数的图像经过点，则实数=______. 【练习3】已知函数的图象关于直线对称，求实数m. 知识点02 反函数的性质 1、有关与f的值与相互关系：若函数为值域））与函数 为值域））互为反函数，则由原函数与反函数的定义可知： ；； 当时，；当时，； 例如： 则的条件为；的条件为； 的条件为； 2、函数的图像与其反函数的图像的交点未必都在直线上 例如：函数的图像与其反函数的图像有、[ （其中）、三个交点，而点、都不在直线上； 又如：函数（自反函数）的图像与其反函数的图像是重合的， 它们有无穷多公共点不全在直线上； 再如：与有两个公共点与关于对称. 3、函数的图像C与其反函数的图像若有公共点， 则这些公共点或在直线上，或关于直线对称地成对出现； 4、若函数是严格单调增函数，则其图像C与其反函数的图像的公共点 必在直线上； 5、偶函数是否存在反函数：偶函数当其定义域不是{0}时，显然不存在反函数；然而，当定义域是{0}时 就存在反函数了，如偶函数为常数，定义域为{0}），其反函数是（定义域为{ b }）. 【经典例题】 【例4】（1）若，则 （2）已知，又，则 （3）若，则 【易错提醒】在涉及反函数的一些问题中，有时不求反函数，反而可以更准确更快捷地解题. .【例5】设有反函数，且函数与互为反函数， 求：的值. 【易错提醒】本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”并回归定义，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果. 【例6】已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上， 求函数的解析式. 【易错提醒】注意利用原函数与反函数图像关于原点对称，找隐含条件． 【对点练习】 【练习4】给出下列函数： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； 其中不存在反函数的是__________________. 【易错提醒】判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则，自变量总有唯一确定的值与之对应，由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察, 断定是否具有反函数. 【练习5】已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值 可能. 【练习6】已知函数,，求的反函数. 1.已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 2.若，则与的大小关系为___________. 3．若函数的反函数为，那么（ ） A． B． C． D． 4.若的反函数为，且，则的最小值是（ ） A．2 B． C． D． 5.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 6.设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 7.函数的图像关于直线y=x对称的图像大致是( ) A. B. C. D. 8.设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数 它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ） A． B． C． D． 9.若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 10.若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 11.已知函数,，求的反函数. 12.若函数与函数互为反函数，求的值. 13.已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合. 14.设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意 都有,求证：对任意也成立. 15.设函数，解关于的不等式. 16.设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数. 17.已知； （1）求它的反函数；（2）若函数的图像关于直线对称，求的值； （3）若，求的值. 18.已知函数，. （1）当时，求；（2）当时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数. 19.设函数是上的奇函数． （1）求的值，并求函数的反函数解析式； （2）若为正实数，解关于的不等式. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $