专题07 期末真题百练通关（期末复习专项训练）（（特殊）平行四边形压轴42题）八年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形压轴题，通过42道期末真题构建从性质应用到动态变换的递进训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|11题|多结论判断、动态最值、折叠旋转|以菱形/矩形/正方形性质为基础，结合中点模型、对称变换构建知识链| |解答题|31题|综合探究、变换证明、存在性问题|从基本性质推导到复杂图形变换，形成"性质-判定-应用-拓展"逻辑闭环|

专题07 期末真题百练通关（（特殊）平行四边形压轴42题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（    ）． A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接交于O，连接，由菱形的性质可得、、、、,再由勾股定理可得；再证明是的中位线，进而得到、三点共线、；然后证明可得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O，连接， ∵菱形和菱形，，， ∴，，，,, ∴， ∵， ∴ ∵, ∴是的中位线， ∴, ∵, ∴三点共线，,， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴． 故选C． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中线与面积，平行线间的距离．熟练掌握中线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 由，可得，设，则，，如图1，连接，，由点是线段的中点，可得，，可判断①的正误；，由点是线段的中点，可得，，则，可判断②的正误；，设到的距离为，到的距离为，则，即，由，，可得，则，由，可得，可判断③的正误；由，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 如图1，连接，， ∵点是线段的中点， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， 设到的距离为，到的距离为， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，先有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③重合时，；④的面积的取值范围是．其中正确的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过D点时，求得四边形的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：由题意，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立，故错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确； 当过点时，，结合四边形是菱形得到菱形是正方形，则，如图所示，最短，四边形面积最小， ∴； 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大，此时，， ∴， ∴，故错误； 正确的项为， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，、分别为等边三角形中、延长线上的点，且，为的中点，为中点设，，若要知道的值，只需知道下列哪个值？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长于点，使，连接，作于点，则，，因为是等边三角形，，为的中点，所以，，，求得，，则，由，，得，则，由三角形中位线定理得，则，可知若要知道的值，只需知道的值，于是得到问题的答案． 此题重点考查等边三角形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形中位线定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长于点，使，连接，作于点，则，， 是等边三角形，、分别为、延长线上的点，且，为的中点， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， 为中点，为中点， ， ， 若要知道的值，只需知道的值， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点在边上、点在边上，且，当最小时，点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的判定和性质、一次函数等知识点，根据平行四边形的性质和轴对称把转化为定点间线段和问题是解题的关键． 连接，取点关于对称点，连接，，与交于，可得，由此得到当、、三点在同一直线上时，最小，即与重合，再根据一次函数求出与轴交点即可． 【详解】解：连接，取点关于对称点，连接，，与交于， ∵矩形中， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是点关于对称点， ∴，，点， ∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小，即与重合， ∵，， ∴直线解析式为， 当时，， 即当最小时，点坐标为． 故答案为． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______． 【答案】2 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定． 过点作于点，如图，根据正方形的性质得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出，利用基本作图得平分，则根据角平分线的性质得到，，然后证明得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 四边形为正方形， ， 在中，， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，，对角线相交于点，一块三角板（）的直角顶点恰好是的中点，连接．现给出以下结论： ①是等边三角形； ②； ③； ④． 其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形，为等边三角形，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；如图，记的交点为，证明，可得，结合，，可得，故③不符合题意；取的中点，连接并延长交于，连接，证明，可得，证明，可得，设，而，，证明，可得四边形是矩形，可得三点共线，进一步求解即可得到④符合题意. 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴为等边三角形，为等边三角形，故①符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； 如图，记的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③不符合题意； 取的中点，连接并延长交于，连接， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，而，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，而， ∴三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）在矩形中，，，点为矩形内部的一点，，连接，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则长度的最大值是______． 【答案】 【分析】连结，交于点O，取的中点H，连结，，，先根据矩形的性质及三角形的中位线定理等知识求出和的长，再根据两点之间线段最求解即可． 【详解】解：连结，交于点O，取的中点H，连结，，， ， 四边形是矩形， ，，，，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 点是的中点，， ， 点是的中点，， ， ， ， 当点H在上时，取最大值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形中的线段最值问题，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质等知识，添加辅助线，利用中位线定理解题是关键． 10．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点B作，取，连接，易证可得，则当取最小值时，也取最小值；如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值．根据平行四边形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、、、，再证明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差可得即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，取，连接， ∵为等腰三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当取最小值时，也取最小值． ∵点E是射线上一点， ∴最小值为点G到射线的距离， 如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值． ∵，四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位得到直线，点是射线上的一动点，点的坐标是，以为边向右作正方形，连接，，其中，点的坐标为_____（用，的式子表示）． 【答案】或 【分析】由设，则，，连接，，可证，得；分两种情况讨论：（i）若点在第一象限，求证，得，，则，进而得，则，（ii）若点在第四象限，可证，得，，，则，进而求得 【详解】解：由，设，则，过作轴的平行线交于，交轴于，过作交的延长线于， ∵直线向上平移个单位得到直线，， ∴， ∵，，    ∴， ∴，， 连接，， ∵点的坐标是， ∴， 而， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， （i）若点在第一象限，    ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 则 又，则， 则 （ii）若点在第四象限， ∵ ∴ 又， ∴，    ∴，，， ∴ 又，则， ∴． 综上， 点的坐标为 或． 故答案为：或 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，分式的运算，勾股定理的应用，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）【问题提出】如图（1），在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，当点的对应点落在矩形内部，点的对应点为．请直接写出的形状是； 【问题探究】如图（2），当点的对应点恰好落在的中点，交于点，，时，求的长； 【问题拓展】将图（1）特殊化，如图（3），为中点，的延长线过点，交于点．若，则_______． 【答案】[问题提出] 等腰三角形；[问题探究] ； [问题拓展] 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； [问题提出] ，根据折叠的性质，可得，即可得出结论； [问题探究]根据题意得出，延长交的延长线于点，证明，进而证明，设，则，在中，勾股定理得出，进而得出，，证明得出，在中，根据勾股定理，即可求解； [问题拓展] 连接，，证明垂直平分，根据，设，，进而分别表示出，即可求解． 【详解】[问题提出]如图，连接， ∵折叠， ∴ ∴的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． [问题探究]矩形中，， ∴， ∵点是中点， ∴ 如图，延长交的延长线于点， ∵ ∴ ∴， ∵折叠， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴，，则 ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴； [问题拓展]如图，连接，， ∵折叠， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴， 又∵ ∴是的中点， ∴垂直平分， ∵，设， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即是的中点 ∴， ∵是的中点，是的中点 ∴， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）小明在学习平行四边形时，知道可以利用图形的中心对称性巧妙地解决图形分割问题．已知，点在边上． 请仅用无刻度直尺完成下列作图，并保留必要的作图痕迹． (1)如图1，点，分别在，上，，，过点作两条直线，分别交边于点，，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） (2)如图2，点、分别在、上，，，过点作两条直线、分别交于点、，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、中心对称性质，熟练掌握平行四边形是中心对称图形是解答的关键． （1）在中，设，边上的高为h，先根据平行四边形的性质和三角形的面积公式得到要使得，只需即可； 方法一：当M、N分别与E、D重合时满足条件； 方法二：连接、相交于O，连接并延长交于N，利用是中心对称图形，O为对称中心得到，则，当M与点A重合时，满足条件； （2）在中，设，边上的高为h，根据平行四边形的性质和三角形的面积公式得到要使得，只需即可， 方法一：连接、相交于O，连接交于N，利用是中心对称图形，O为对称中心得到，则，当M与点E重合时满足条件； 方法二：作图证明：连接、相交于O，连接交于K，先根据是中心对称图形，O为对称中心得到，则，再证明四边形是平行四边形，连接、相交于，连接并延长交于S，则，连接并延长交于N，则，进而得到，当M与点A重合时，满足条件． 【详解】（1）解：在中，设，边上的高为h， ∵，， ∴，则， ∵点，在上，点在边上， ∴，， ∴要使得，只需即可； 方法一：如图，、即为所求作： 作图证明：当M、N分别与E、D重合时，，此时， 故、即为所求； 方法二：如图，、即为所求作： 作图证明：连接、相交于O，连接并延长交于N， ∵是中心对称图形，O为对称中心， ∴， ∴， 当M与点A重合时，，此时， 故、即为所求； （2）解：在中，设，边上的高为h， ∵，， ∴，则， ∵点，在上，点在边上， ∴，， ∴要使得，只需即可； 方法一：如图，、即为所求作： 作图证明：连接、相交于O，连接交于N， ∵是中心对称图形，O为对称中心， ∴， ∴， 当M与点E重合时，，此时， 故、即为所求； 方法二：如图，、即为所求作： 作图证明：连接、相交于O，连接交于K， ∵是中心对称图形，O为对称中心， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接、相交于，则为的对称中心， 连接并延长交于S，则， 连接并延长交于N，则， ∴， 当M与点A重合时，，此时， 故、即为所求． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，、是的中线，，垂足为，像这样的三角形均称为“中垂三角形”，设，，． (1)如图1，当，时，________，________；如图2，当，时，________，________． (2)请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． (3)如图4，在中，点、、分别是、、的中点，，，，则________． 【答案】(1)，；，； (2)，证明见解析； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理，求出，根据题意易得是的中位线，进而得出，，再推出，利用勾股定理得到，，即可利用中线的定义求解；连接，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理和三角形中位线定理，同理证明即可； （2）观察（1）中的计算结果，得到猜想，再连接，由三角形中位线定理可得，根据勾股定理可得，，，，进而推出，，即可证明猜想； （3）先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，根据三角形中位线定理，得出，从而得到是“中垂三角形”，再根据（2）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 、是的中线， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ，， ，； 如图，连接， ，，， ，， 、是的中线， 是的中位线， ，， ， 在中，，， ，， ，； 故答案为：，；，； （2）解：由（1）可知，当时，，，； 当时，，，， 观察发现，． 证明：如图，连接 ，是的中位线， ， ， 由勾股定理得：，，，， ，， ，， ， 即； （3）解：如图，连接，连接分别交、于点、，与的交点为， 在中，，， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 、是的中线， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 是“中垂三角形”， 由（2）可知，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得出“中垂三角形”三边的关系式是解题关键． 15．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）线段的长为或或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，翻折的特征是解题的关键． （1）根据点在边上的不同位置，画出图形，进行分类讨论，情况①，当射线与相交于点，点在线段上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得，利用等角对等边，即可证明；当点在边上其他位置时，同理可证得； （2）根据，利用垂线段最短，可得当时，最短，故此时取得最小值，利用勾股定理即可求解； （3）根据点在边上的不同位置，当时，，以及当点与点重合时，分情况讨论，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：（1），理由如下， 情况①，当射线与相交于点，点在线段上，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ． 情况② 当射线与相交于点，点在线段延长线上，如图， 同理可得，， ． 情况③ 当点在如图位置，延长线与相交于点， 四边形是平行四边形， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，， ， ， ． 综上，无论点在什么位置，都有． （2） ，根据垂线段最短， 当时，最短，故此时取得最小值，如图所示， ，，， 根据勾股定理得， ， 线段的最小值为． （3）情况① 当时，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ，即， 是以为一条直角边的直角三角形， 根据第（2）结果，， ． 情况②，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，，，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ， ， 在中，， ． 情况③ 当点与点重合时，即将四边形沿翻折得到四边形， ，根据翻折特征，可得， ， 是以为一条直角边的直角三角形， 此时，． 综上，当是以为一条直角边的直角三角形，线段的长为或或． 16．（23-24八年级下·河南焦作·期末）综合与实践 在中，点是边的中点． (1)观察发现 如图（1），延长到点，使，连接，可得出，其依据是（   ）（填序号） ①  ②     ③      ④     ⑤ (2)探究迁移 如图（2），在边上任取一点E（不与点A， C重合），连接并延长至点 F， 使．连接、、，在图（2）中画出相应的图形，判断四边形是什么四边形?并说明理由． (3)解决问题 如图（3），在中，，，点E为射线上的一点，且，将线段绕点顺时针旋转得，连接，，点G为的中点，连接．请直接写出线段的长． 【答案】(1)② (2)平行四边形；理由见解析 (3)或 【分析】（1）已知点是边的中点，得到，再结合，利用即可得到； （2）根据题意作出图形，由对角线互相平分可知四边形是平行四边形； （3）根据题意，分两种情况：①在线段上；②在线段延长线上；再由平行四边形的判定与性质，结合勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：点是边的中点， ， 在和中， ， ， 故选：②； （2）解：如图所示： 四边形平行四边形， 理由如下： 点D是的中点， 四边形是平行四边形． （3）解： ①当在线段上，延长到点D，使，连接，，，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， ， 由旋转得， ， 、、三点在同一条直线上， ， ，， ， 在中，，由勾股定理得， ； ②当在线段延长线上时，延长到点，使，连接，，，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， ， 由旋转得， ， 、、三点在同一条直线上， ， ，， ， 在中，，由勾股定理得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查几何综合，涉及全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握相关几何性质，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 17．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．    (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值． 【答案】(1)经过秒钟两点第一次相遇 (2)或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或 【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程点N运动的路程列方程求解即可； （2）分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得： ， 解得：， ∴经过秒钟两点第一次相遇； （2）解：①当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即：，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ②当时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形； ③时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ④当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时M、N重合，不能构成平行四边形． 综上分析可知：运动了秒或秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 18．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为．    【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积的时，的值为______    【答案】（1）60；（2）；；（3），理由见解析；拓展应用：或 【分析】（1）由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点F作交延长线于点，设交于点N，通过证明，进而得出，再证明，可得，仅为求解即可； （3）分别根据思路1和2进行推理证明即可； 拓展应用：先根据面积之间的关系得出，继而得出，分别在图3和图2中进行求解即可． 【详解】（1）由旋转可得，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60； （2）如图，过点F作交延长线于点，设交于点N，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 思路1：如图，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴.    思路2：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；    拓展应用： ∵， ∴当为面积的时，， 由（3）思路2得，， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，； 如图2,， 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 19．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，O是矩形的对角线的中点，E为边的中点，连接．若，，求的周长； 【问题解决】 （2）如图2，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点E、F，，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点G，在点G处设计一个凉亭．连接，交于点H，在H处设计一口水井．老李想在H与D之间铺一条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，请求出长度的最小值． 【答案】（1）；（2）的最小值为米 【分析】（1）由矩形的性质得到，则可求出，进而得到的长，由三角形中位线定理可得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）取的中点，连接，，分别证明，，得到，再利用勾股定理求出，当点共线时， 的最小值即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ∴， ∴， 是矩形的对角线的中点， ∴， 为的中点， ，为的中位线， ， 在中，由勾股定理得， ∴的周长为． （2）取的中点，连接，，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，是的中点，米， ∴米， 在中，由勾股定理得（米）， 在中，米， 当点共线时，有最小值，最小值为米， ∴的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形的性质等等，掌握相关知识是解题的关键． 20．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过F作于M，于N，证明四边形是矩形得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）根据正方形的性质和勾股定理求得，证明得到，进而可求解； （3）先根据全等三角形的性质得到，，则，当为等腰三角形时，，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推导出，利用等角对等边可得，进而求得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 过F作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， 又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：∵四边形为正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点E不与点B，点C重合， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 21．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又 ， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，含角的直角三角形三边关系，等腰三角形的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 22．（24-25八年级下·山东临沂·期末）问题情境： 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．操作探究： (1)如图1，若点落在边上，则四边形的形状是______； (2)若点落在矩形内部． ①如图2，过点作，垂足为，交于点，连接请判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，为边的三等分点，且点在点的左侧．连接并延长，交边于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，，，若，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①四边形BEMF为菱形，理由见解析；②，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，再由，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）根据矩形的性质得到，，，根据折叠根据折叠的性质得到，，，过点作，如图所示：求得，根据矩形的性质得到，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， 根据折叠可知：，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， 故答案为：正方形； （2）解：①四边形为菱形； 理由如下： 根据折叠可知：，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②； 理由如下： ，为边的三等分点， ， 根据折叠可知：，， ， ， ， ， ， 矩形中，，， 四边形为平行四边形， ， ， ； （3）解：四边形为矩形，，， ，，， 根据折叠可知：，，， 过点作，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 设， 则， 根据勾股定理得，即， 解得， 即． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，涉及折叠性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键． 23．（24-25八年级下·广西来宾·期末）综合与应用 在平行四边形中，，，为射线上一点，连接交于点． (1)如图1，若点与点重合，且，求的长； (2)如图2，当点在边上时，过点作于点，延长交于点，连接，求证：； (3)如图3，当点在射线上运动时，过点作于点，为的中点，点在边上且，已知，请直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)的最小值为． 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，三角形中位线的性质，需熟练掌握全等三角形的证明方法，根据三角形的性质得到是的中位线是求解最小值的关键． （1）根据为直角三角形，使用勾股定理求解即可； （2）先由边角边的证明方法可证明与全等，可得结论和，由与全等可得结论即可证明； （3）通过构造辅助线先证明四边形为矩形，再证明和全等，由此可得是的中位线，再根据中位线的性质可求解的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得，即 ∴； （2）证明：如图2中，在上截取，连接， ，， ， ， ， 在和中， 由， ≌， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 由（1）知， ， ，则， 在和中， 由， ≌， ， ， ； （3）解：连接并延长到，使，连接，取的中点，连接， 作交的延长线于点，作交延长线于点，交与点，如图3， 则， 四边形为矩形， ，， ， 在和中， 由， ≌， 为的中点， 是的中位线， ， ， ，点为的中点， ，当点，，在同一直线上时，最短，就最短，且， 由（1）知，则为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， 最小值为， 是的中位线， 的最小值为． 24．（24-25八年级下·广东广州·期末）在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合） (1)连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______． (2)若； ①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明． ②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①是等边三角形，见解析；② 【分析】（1）以A为圆心，AF为半径画弧，可能交CD于两点，分两种情形计算； （2）①连接AC，可证得≌，从而，进而得出，从而是等边三角形； ②以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设DAD延长线于H，作轴于Q，设，可表示出，从而，可表示出，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 当时， 四边形是菱形，， ， ， ， 当点G在处时， ， ， ， 故答案为：或； （2）①是等边三角形，理由如下： 连接，如图2， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 同理可得，是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②如图， 以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q， 设， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合）， ， 当时，， 最小， 当或4时，， 最大， 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是建立坐标系，表示两点之间的距离． 25．（24-25八年级下·山东德州·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动． 如图1，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】（1）如图1，______°； 【深入探究】（2）如图1，求证：四边形是菱形； 【拓展延伸】（3）如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，试判断线段，、之间的数量关系，并说明道理． 【答案】（1）22.5；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得，结合折叠得即可； （2）根据正方形的性质得和，结合折叠得，和，则．进一步得到，有得到，即可证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到平行四边形是菱形． （3）过点Q作的垂线，垂足为K，设交于点R，连接，则，得边形为矩形，结合折叠得和，有，进一步证明≌，有，由对称得垂直平分和，可得到，在中利用即可证明． 【详解】解：（1）∵正方形纸片， ∴， ∵使点B落在上的点E处，得到折痕， ∴， 故答案为∶22.5； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是由翻折得到， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）．理由如下： 过点Q作的垂线，垂足为K，设交于点R，连接，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴． ∵正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为对称轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵点A，点F关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、菱形的判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是特殊四边形的性质和全等三角形的性质． 26．（24-25八年级下·山西长治·期末）综合与探究 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为______；说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，如图3，若线段恰好经过点，如果正方形的边长为9，，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）由全等三角形的“十字架”模型，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； （2）先证，再利用全等三角形的“十字架”模型构造全等，过点作，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； （3）过点作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 理由如下： 如图所示： 将沿翻折得到，则垂直平分， ∴， 在正方形中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴； 故答案为：； （2）猜想线段之间的数量关系：， 证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 将四边形沿所在直线翻折得到四边形，则， ∴， 过点作，垂足为点，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点作，垂足为，交线段于点，连接，如图所示： ∵将四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点， ∴关于直线对称，则， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，则由勾股定理得， 在中，，则由勾股定理得， 又∵， ， 则， 解得，即的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了折叠的性质、垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余、矩形的判定与性质、勾股定理及解方程等内容，熟记折叠性质，掌握相关几何性质及判定是解题的关键． 27．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图1，已知正方形的边长为4，点E，F分别是，上的动点，满足，连接点，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接与交于点H，恰好点G是的中点． ①求的长； ②如图3，点P为上一点，，垂足为点Q，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由正方形的性质可知，，证明，可知，即，即可证明； （2）①由勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得到，根据正方形的性质得到，进而得到，由可知，根据等角对等边得到，可得，进而计算即可； ②作，垂足为点K，根据等腰三角形三线合一可知平分，根据角平分线的性质可知，即，则当点H，P，K三点共线时，的值最小，最小值为，由正方形的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； ②作，垂足为点K， ∵，， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴， ∴当点H，P，K三点共线时，的值最小， 此时，的最小值为， ∵是正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 29．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，点E在上，． (1)如图1，求证：是直角三角形； (2)如图2，是的角平分线，过点E作的垂线，垂足为点G，交于点F，交延长线于点H，K是上一点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，M是的中点，连接，过C作交的延长线于点N，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，即可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和余角性质证得，再根据角平分线的定义得到，进而再利用直角三角形的两个锐角互余得到，结合已知可得结论； （3）过K作于点Q．先利用直角三角形斜边中线性质得到．利用等腰三角形的性质及等量代换可得，则，证明得到，；利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明，利用直角三角形的斜边中线性质创造条件分别证明和得到，，， 设，利用勾股定理列方程求得，再设，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明： 在中， 即 ∴，即 ∴ 是直角三角形； （2）证明： 在中，， 在中， 是角平分线 ． 又 即． 即； （3）解：过K作于点Q． 是斜边中线， ． ， ． 即， ， 而， , 由（2）知， ， ，又 ， ， ， ，又 ， ，即 又且 ， ，， 设 在中， 在中， 则  解得：， ，， 在中， ，， ∴，， 设，则， 在中， 则  解得： ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 30．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，已知：正方形的面积为16．点在坐标轴的正半轴上． (1)直接写出点的坐标为 ． (2)如图1，点在上，点在轴上，于，，求点的坐标； (3)如图2，点是对角线（不含两端点）上一点，交直线于点． ①直接写出之间满足的数量关系式是 ． ②探究与之间的数量关系式，并证明． 【答案】(1) (2) (3)①；②，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定和性质． （1）根据正方形的面积为16，求出正方形边长，即可求出B点坐标； （2）连接，证明，得到，，根据平行线的性质得到，即，根据等角对等边得到，设，根据勾股定理即可求出点的坐标； （3）①过D作轴于G，于H，证明是等腰直角三角形，则，所以，可得结论； ②反向延长交于P，可知，连接，先证明和，得，根据等腰直角三角形边的关系可得：，由，得，则，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为16， ∴正方形的边长为4 ∴， 故答案为：； （2）连接， ∵ ∴ ∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， 即， 解得 ∴点N的坐标为； （3）①如图2，过D作轴于G，于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图3，反向延长交于P，可知，连接， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 31．（24-25八年级下·福建泉州·期末）实践探究： 主题 特殊四边形的几何变换 素 材 用两张全等的直角三角形的纸片，把它们的一条直角边重合在一起（如图1）已知，，．由全等可知，，，所以四边形是平行四边形． 实 践 探 究 平移 ①如图2，把沿平移得到，点在线段上，经过的顶点C，与交于点E，与交于点F． 任务一  求证：四边形是矩形； 对折 ②如图3，将沿直线对折，点B的对应点刚好落在线段上．     任务二  求证：四边形是菱形； ③如图4，若点M、N分别是、的中点，将沿直线对折，点B的对应点为． 任务三  求证：点在同一直线上； 旋转 ④如图5，绕点A顺时针旋转，当点C的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点H． 任务四  求线段的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三：见解析；任务四： 【分析】任务一：根据，，先证得四边形是平行四边形，再结合，即可证明； 任务二：由平行四边形的性质得，再根据折叠的性质推出，，即可证明； 任务三：先推出，再根据折叠的性质得出，推出，即可证明； 任务四：先由勾股定理得，再推出，即可求解． 【详解】解：任务一： 在中，，， ∵沿AD平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，             ∴四边形是矩形． 任务二： 在中，， ∴， ∵沿直线对折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 任务三： 如图4，连接，， ∵M，N分别是BC，AD的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对折可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点、、在同一直线上． 任务四： 在，， ∴ ∵， ∴． 由旋转可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，旋转、平移和折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键． 32．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，垂直平分，垂足为点E， 交于点F，的延长线交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质得到，结合，得出，则有，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）根据垂直平分线的性质得到，，，根据平行四边形的性质得出，通过证明得到，则有，再利用线段的和差推出，即可求出的长； （3）过点作，交的延长线于点，通过证明得到，同理可得，则有，再利用正方形的判定推出四边形为正方形，得到，最后利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵垂直平分， ∴，，， ∴， 由（1）得，四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）证明：过点作，交的延长线于点，于点，如图， ， ， ， ， 由（2）中的结论得，， 在和中 ， ． ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ， ， ， 四边形为矩形， 又， 矩形为正方形， ． 在中，由勾股定理可得，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定、正方形的性质与判定、勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 33．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图1，正方形与矩形的顶点重合于点A，且为边上的一点，B，，三点共线． (1)求证：矩形为正方形； (2)如图2，连接，，若，P，分别是，，的中点，连接，，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形和矩形的性质，可逐步证明，得到，再根据正方形的判定证明即可； （2）连结，，分别证明和都是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，即可得到，，再结合，即可证明结论； （3）连结，先根据三角形中位线定理及勾股定理求出，进一步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， B，，三点共线， ， ， ， ， ， ， 矩形为正方形； （2）证明：连结，， 四边形是正方形， ，，，， 四边形是矩形， ， 点O是的中点， ， 点P是的中点， ， ，点Q是的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：连结， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形的中位线定理等知识，添加辅助线，利用等腰三角形的三线合一性质解题的关键． 34．（2025·河南商丘·一模）《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点P为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】如图1，点E，F分别为，的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M，当点M落在上时，展开纸片，连接交折线于点O，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】如图2，若点Q在上，点D的对应点为点M，点A的对应点为点N，若点M始终落在上，展开纸片，连接交折线于点O，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】如图3，若点Q在上，点D的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；； （2）四边形是菱形．理由如下： ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， 故答案为：；； （2）略 （3）长的取值范围是． 如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， ∴长的最大值为； 如图2，当点与点重合时，的长最小， 设，则， ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解得：， ∴长的最小值为， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 35．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 【答案】(1)C， (2)见解析 (3)见解析，的长为或 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形；问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，可得，然后设，则，在中利用勾股定理列方程，求出，再由即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【详解】（1）解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：C； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 点到的距离为， 故答案为：； （2）解：点的位置如下图所示； （3）解：①如图所示， 当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则， 由题意，得，，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ； ②如图所示， 当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图——角平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． 36．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到 点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点 点 B的对应点为点 将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9， ①如图3，若线段 恰好经过点D，求的长， ② 如图4， 连接， 直接写出 的最小值． 【答案】（1）；（2）猜想：，证明见解析；（3）①；②的最小值为 【分析】（1）由翻折的性质及正方形的性质，可证明，则折痕与的数量关系为； （2）过点A作，由翻折的性质得，则由（1）可知，从而有；易证四边形是平行四边形，有；由正方形的性质及即可得线段之间的数量关系． （3）①设上点H的对应点为点D，连接，则，，从而得四边形是平行四边形，有，；设，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； ②过点A作交于点K，则得四边形是平行四边形，有；过点K在直线下方作，且，易证，得，则，当且仅当H、E、F三点依次共线时取得最小值；过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形，有， ，从而有；与（1）中同理，，得，从而求得；最后在中，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：（1）由折叠知，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， 即折痕与的数量关系为； 故答案为：； （2）猜想：； 证明如下：过点A作，如图， 由翻折的性质得， ∴； 由（1）可知， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，即，； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵ ， 即可得线段之间的数量关系为； （3）①如图，由于线段 恰好经过点D， 故设上点H的对应点为点D，连接， 由翻折知，； ∵， ∴； ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形为正方形，其边长为9， ∴， ∴， ∴，； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； ②如图，过点A作交于点K； ∵即， ∴四边形是平行四边形， ∴； 过点K在直线下方作，且， 则； ∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当三点依次共线时，取得最小值； 过H作，交延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴ 由（1）中同理，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 37．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，如图1，在矩形中，连接交于点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，点为四边形外一点，连接，点为的中点，连接，若 ．求证：四边形为菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，连接，以为边作等边，连接交于点，点为中点，若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由矩形的性质证明，再证明四边形为平行四边形，从而可得结论； （2）由（1）得，，证明，结合，证明，结合点为中点，证明，证明四边形为平行四边形，进一步求解即可； （3）证明为等边三角形，为等边三角形，可得，证明，在上取一点，使，连接，可得，证明，可得，求解，作于点，证明，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：四边形为矩形 ∵， 四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 点为中点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 由（1）得，， 四边形为菱形； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， 点为中点， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ，，， ， 作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 38．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)点到边的距离是否为定值，请说明理由； (3)当点到边的距离是时，线段的长为____________； (4)当的面积是时，直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)是，点到边的距离为定值2，理由见解析 (3)或 (4)的长为或 【分析】（1）先证明为平行四边形，再证明为矩形； （2）过点Q作于点F，证明，得出，即可得出答案； （3）分两种情况：当点Q在左侧时，当点Q在的右侧时，分别画出图形，求出结果即可； （4）过点Q作于点H，于点G，设，则，求出，根据的面积是，得出，求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形为矩形，理由： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）解：点到边的距离是定值，且这个定值为2；理由如下： 过点Q作于点F，如图所示： 则， ∵E为的中点， ∴， 根据旋转可知：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到边的距离为定值2； （3）解：当点Q在左侧时，过点Q作于点H，延长交于点F，如图所示： 则， ∵在矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点到边的距离是， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∵， ∴； 当点Q在的右侧时，过点Q作于点H，，交延长线于点G，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 综上分析可知：或． （4）解：过点Q作于点H，于点G，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵的面积是， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． 39．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图1，将矩形纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与边交于点，点为线段上一点，过点作，交于点． (1)求证：； (2)如图2，以、为邻边作平行四边形，连接． ①求证：； ②试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先证明四边形是正方形，作于G，于H，然后证明即可； （2）①先证明四边形是正方形，则，然后证明，则，那么； ②过点作于H，则为等腰直角三角形，由勾股定理得，同理可得，则，再由勾股定理得，代入化简可得、、之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵矩形纸片， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 作于G，于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图： ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 过点作于H， ∵在正方形中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 则， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 40．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图1，四边形是正方形，，点为上一点，连接，过点作，垂足为点交于点，过点分别作交于点． (1)设，求（用含的代数式表示）； (2)连接，求证：； (3)如图2，连接，设的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到为平行四边形，即可得到，然后根据角的和差解答即可； （2）根据正方形的性质，利用证明，即可得到为等腰直角三角形，然后根据勾股定理得到结论； （3）过点作的延长线于点，连接，即可得到，进而得到为等腰直角三角形，过点作关于的对称点，点落在直线的延长线上，连接，，得到当三点共线时，取得最小值即为的长，然后利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ． ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． ． （2）证明：由（1）得，四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，即， ， ． （3）解：过点作的延长线于点，连接 ，又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， 过点作关于的对称点，点落在直线的延长线上，连接，， ， ， 当三点共线时，取得最小值即为的长， ， 的值为． 41．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），于点，交于点，点在上，的平分线交于点，连接并延长与的延长线交于点． (1)求证：； (2)点在边上运动时，探究的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)见解析 【分析】（1）由，可证，从而，得； （2）过点作，与的延长线交于点，连接，证明，得，，再证，得，故平分，； （3）连接，证明，进而证明四边形是平行四边形，得出，，在中，根据勾股定理，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：的大小不会变化，理由如下： 过点作，与的延长线交于点，连接，如图：   ， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分， ； （3）证明：连接，    由（2）知，为定值，且， 是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 42．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，过点A作于点M，连接，过点C作交于点N，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点Q是直线上的一个动点，若，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点A作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证； （3）连接，证明，可得，再证明，可得，由可知当点在上时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点A作，交于点G， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，的值最小， 如图， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07期末真题百练通关（（特殊）平行四边形压轴42题) 真题实战·百练通关 一、单选题 1,(23-24八年级下·山东淄博·期末)如图，在菱形ABCD和菱形CEFG(点D在边CG上)中，连接AF, EG相交于点P,连接CP.若BC=5,CE=10,EG=12,则CP的长是()， G D E A.8 B.9 C.V73 D.273 2.(23-24七年级下·重庆期末)如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，BD:CD=1:2,连接AD,点E是 线段AD的中点，连接CE,点F是线段CE的中点，连接BF交线段AD于点G,过点E作EHWBF交AB于点H,连 接HG,则下列结论：①SAACE=SADCE;②SARCF=AABC;③SAEFG=SAGBH:④SAEFG+SADBG= S四边形cFGD·其中正确的个数是() B H A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25八年级下·云南丽江·期末)如图，先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形 的边AD,BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P,点D落在点G处，连接 PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论：①CQ=CD;②四边形CMPN是菱形；③P,A重合时，MN=2 V5;④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5.其中正确的是() 1/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 4.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，D、E分别为等边三角形ABC中CA、CB延长线上的点，且 BE=CD,O为BC的中点，M为DE中点.设AB=x,AD=y,若要知道OM的值，只需知道下列哪个值？ () D M B O A.x2+y2 B.xy C.x-y D.x+y 二、填空题 5.(24-25八年级下·河北廊坊期末)如图，在平面直角坐标系中，A(3,4)是矩形AC0B的顶点，点E在AB 边上、点D在CO边上，且OD=AE,当DB+OE最小时，D点坐标为 y D外 6,(25-26八年级上福建福州期末)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD上且CE=2,点F、P分别 为线段BC、AD上的动点，连接BE,BP,FP,EF.若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE,则BP+EF 的最小值为 O B 7.(24-25八年级下·四川成都·期末)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,以点C为圆心，适 当长为半径画弧，分别交AC,BC于点E、F,分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点 G,连接CG并延长，交DB于M点，交AB于N点，若AN=2W2,则线段BM= 2/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D O G M A B N 8.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点0，一 块三角板AEF(LEAF=60)的直角顶点E恰好是OB的中点，连接OF,DF.现给出以下结论： ①△ABC是等边三角形； ②LEAC=∠DAF; ③LAEB=∠AOF; ④OF=DF. 其中正确的是 ,(写出所有正确结论的序号) D B 9.(24-25八年级下·福建福州·期末)在矩形ABCD中，AB=6,BC=6V3,点E为矩形内部的一点， CE=6,连接AE,点F是AE的中点，连接DF,点G是DF的中点，连接CG,则CG长度的最大值是 G 10.(24-25八年级下·四川宜宾·期末)如图，在平行四边形ABCD中，AD=4,∠A=30°，点E是射线DC 上一点，连接BE,以BE为腰作等腰直角三角形BEF,∠EBF=9O°，连接FC,则FC的最小值是 D E B 11,(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，将直线ABy=-x+4向上平移 (m-4)个单位得到直线A'B',点C是射线A'B上的一动点，点D的坐标是(m,m),以CD为边向右作正方形CDEF, 3/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 连接BE,B'E=nB'C,其中m>4,n>0,点E的坐标为（用m,n的式子表示）. VA A 三、解答题 12.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)【问题提出】如图(1)，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB 上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，当点A的对应点A落在矩形ABCD内部，点B的对应点为B.请直接写出 △AFA'的形状是 【问题探究】如图(2)，当点A的对应点A'恰好落在CD的中点M,BM交BC于点N,AB=4,AD=6时， 求FN的长： 【向愿拓展】将图(1)待殊化，如图(3)，E为AD中点，BA的延长线过点C,EA交BC于点H.若肥- 3 则 D D E H B B" (1) (2) (3) 13.（24-25八年级下·江苏镇江·期末)小明在学习平行四边形时，知道可以利用图形的中心对称性巧妙地 解决图形分割问题.已知口ABCD,点P在边BC上. E A D B FP 图1 图2 请仅用无刻度直尺完成下列作图，并保留必要的作图痕迹 (I)如图1，点E,F分别在AD,BC上，AE=AD,BF=BC,过点P作两条直线L1,2分别交边AD于点M, 4/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N,使得S△PMN=S口ABCD,(要求：用两种不同类型的方法作出PM、PN) (2)如图2，点E、F分别在AD、BC上，AE=4AD,BF=BC,过点P作两条直线L1、l2分别交AD于点M、 N,使得S△PMN=S口ABCD·(要求：用两种不同类型的方法作出PM、PN) 14.（24-25八年级下·江苏苏州阶段检测)我们把两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形”，例如图 1,图2，图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三 角形”，设BC=a,AC=b,AB=c. E D P 45 30 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，当∠ABE=45°，c=2W2时，a= b= ;如图2，当∠ABE=30°，c=4时， a= ,b= (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2,b2,c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你 发现的关系式， (3)如图4，在□ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE1EG,AD=V3,AB=5,则AF= 2, 15.(23-24八年级下辽宁朝阳期末)【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性 质，在口ABCD中，∠B=45°，AB=4,AD=5V2,点E是BC边上任意一点，连接AE,将四边形AECD沿AE 翻折得到四边形AEGH,射线CB与AH相交于点F, D C G A 图1 图2 【操作发现】 (1)如图1，无论点E在什么位置，图中都会有一条线段与EF相等，请猜想与EF相等的线段，并说明理 由. 5/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【问题延伸】 (2)当点E的位置发生变化时，线段EF存在最小值，请求出线段EF的最小值 【问题拓展】 (3)如图2，连接GF,当△EGF是以EG为一条直角边的直角三角形时，求线段CE的长. 16.(23-24八年级下·河南焦作·期末)综合与实践 在△ABC中，点D是边BC的中点 备用图 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (1)观察发现 如图(I),延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,可得出△BDE兰△CDA,其依据是()（填序号） ①SSS②SAS ③AAS④ASA⑤HL (2)探究迁移 如图(2)，在边AC上任取一点E(不与点A,C重合)，连接ED并延长至点F,使DF=DE,连接CF、 BE、BF,在图(2)中画出相应的图形，判断四边形BFCE是什么四边形？并说明理由. (3)解决问题 如图(3)，在△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=90°，点E为射线AB上的一点，且EB=4,将线段EB绕 点E顺时针旋转90得EF,连接BF,CF,点G为CF的中点，连接AG.请直接写出线段AG的长， 17.(23-24八年级下·广东广州期中)如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B 的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动. M C B C B C B 备用图 备用图 备用图 (I)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动，那么运动到第几秒钟时，点A、 6/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和CD的值. 18.(22-23八年级下·广东深圳期末)【问题背景】如图1，在口ABCD中，AB⊥DB.将△ABD绕点B逆 时针旋转至△FBE,记旋转角LABF=(0°<a≤180)，当线段FB与DB不共线时，记△ABE的面积为 S1,△FBD的面积为S2: B B 图1 图2 【特例分析】如图2，当EF恰好过点A,且点F,B,C在同一条直线上时. (1)a=°： (2)若AD=4V3,则S1= ,S2= ； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S1与S2之间存在一定的等量关系.再 经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点A,E分别作直线平行于BE,AB,两直线交于点M,连接BM,可证一组三角形全等， 再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点E作EH⊥AB于点H,过点D作DG⊥FB,交FB的延长线于点G,可证一组三角形全等， 再根据旋转的相关性质解决问题； (3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S1与S2之间的等量关系为，并说明理 由 【拓展应用】在旋转过程中，当S1+S2为口ABCD面积的，时，α的值为 M E -G 图1 图2 图3 19,(24-25八年级下·陕西商洛·期末)【问题探究】 7/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为边AD的中点，连接OB,OE,BE.若AB=6,BC=8, 求ABOE的周长； 图1 图2 【问题解决】 (2)如图2，老李家有一正方形花园ABCD,他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈 现出一种平衡和谐的感觉.在正方形ABCD中，AB=300米，AD边上有两个点E、F,AE=DF,连接BE、 CF,在△ABE与△CDF区域种植花卉，BD是花园内一条小路，与CF交汇于点G,在点G处设计一个凉 亭，连接AG,交BE于点H,在H处设计一口水井，老李想在H与D之间铺一条笔直的水管，为了节约成 本，要求HD的长度尽可能的小，请求出HD长度的最小值 20.(24-25八年级下·上海浦东新·期末)已知：如图，正方形ABCD中，AB=2W2,点F为对角线AC上一 点，联结DF,过点F作FE⊥DF交线段BC于点E(点E不与点B,点C重合)，过E作EG⊥FE,过D作 DG⊥DF,EG与DG交于点G. (I)证明四边形DFEG为正方形； (2)联结CG,设CG=x,FC=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当△ECG为等腰三角形时，直接写出CG的长度， 21.(24-25八年级下·江苏南通期末)已知四边形ABCD为菱形，E是射线BD上的一个动点，BE=a.连 接CE,将线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF,旋转角LECF=∠A, D R 图1 图2 备用图 (I)如图1，若点E在线段BD上，连接DF,求证DF=BE; 8/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若LA=120°，点F恰好在边BC的延长线上，求BF的长（用含a的式子表示）； (3)若∠A=120°，△BEF为直角三角形，以△BEF的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为G,连 接AG,直接写出的值， 22.(24-25八年级下·山东临沂期末)问题情境： 在矩形纸片ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AME,并展开铺平.操 作探究： M D G D M E B E 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，若点M落在AD边上，则四边形ABEM的形状是 (2)若点M落在矩形内部， ①如图2，过点B作BH⊥AM,垂足为H,交AE于点F,连接FM请判断四边形BEMF的形状，并说明理由； ②如图3，E,F为BC边的三等分点，且点E在点F的左侧.连接FM并延长，交AD边于点G,试判断线段AG 与DG的数量关系，并说明理由； (3)如图4，AB=4,BC=8,若MC=MD,请直接写出BE的长. 23.（24-25八年级下·广西来宾期末)综合与应用 在平行四边形ABCD中，AB⊥BD,AB=BD,E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F. D D A G B C(E) B H E B N 图1 图2 图3 (I)如图1，若点E与点C重合，且AD=V2,求AB的长： (2)如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于点G,延长DG交BC于点H,连接FH,求证： AF DH FH; (3)如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于点G,M为AG的中点，点N在BC边上且BN=1, 已知AB=5V2,请直接写出MN的最小值， 24.(24-25八年级下·广东广州期末)在菱形ABCD中，∠B=60°，点F、G分别是边BC,CD上的动点 (不与端点重合) 9/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)连接AF、AG,若AF=AG,∠BAF=Q,请在图1中画图分析，直接写出LFAG的度数： (2)若BF=CG; ①如图2，连接AF、AG、FG得△AFG,试判断△AFG的形状，并证明， ②如图3，点E是边AD上的动点，且AE=CG,连接BE,点M是BE的中点，若BC=4,求MG的取值范 围. 25,(24-25八年级下山东德州期末)综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动 如图1，阳光小组准备了正方形纸片ABCD,将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在AC上的点E处，得到折 痕AF,AF与BD相交于点G,连接EF,EG, B B 图1 图2 【猜想发现】(1)如图1，∠BAF= 【深入探究】(2)如图1，求证：四边形BFEG是菱形； 【拓展延伸】(3)如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片ABCD折叠，使点A与点F重合，折痕为 PQ,连接PF,交BD于点M,试判断线段AB,BP、PQ之间的数量关系，并说明道理. 26.（24-25八年级下·山西长治期末)综合与探究 四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏. 【探究发现】 (1)如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB'E,点B的对应点为B,将纸片展平后，连接BB并延长交 边CD于点F,小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为；说明理由， 10/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B1 E 图1 【类比探究】 (2)如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'BEG,点A的对应点为点A', 点B的对应点为点B',将纸片展平后，连接BB交边CD于点F,请你猜想线段AG、CE、DF之间的数量关系 并证明； G B M 图2 【拓展延伸】 (3)在(2)的翻折过程中，如图3，若线段AB恰好经过点D,如果正方形ABCD的边长为9，CF=3, 直接写出CE的长. A 、G F M 图3 27.(24-25八年级下江西南昌·期末)四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏. 【探究发现】 (1)如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB'E,点B的对应点B',将纸片展平后，连接BB并延长交 边CD于点F,小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为_； 11/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【类比探究】 (2)如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形AB'EG,点A的对应点为点 A',点B的对应点为点B,将纸片展平后，连接BB交边CD于点F,请你猜想线段AG,CE,DF之间的数量关 系并证明； 【拓展延伸】 (3)在(2)的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9. ①如图3，若线段A'B恰好经过点D,CF=3,求CE的长； ②如图4，若F为CD中点，连接BG,EF,直接写出BG+EF的最小值. B B 图1 图2 图3 图4 28.(24-25八年级下.湖北孝感期末)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E,F分别是AB,AD上 的动点，满足AE=DF,连接点DE,CF交于点G. D D E 图1 图2 图3 (I)求证：CF⊥DE; (2)如图2，连接AC与DE交于点H,恰好点G是DH的中点， ①求DF的长； ②如图3，点P为CF上一点，PQ1AC,垂足为点Q,求PH+PQ的最小值 29.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC中，点E在BC上，AE=BE=CE. 12/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H H E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△ABC是直角三角形； (2)如图2，CD是△ABC的角平分线，过点E作CD的垂线，垂足为点G,交AC于点F,交DA延长线于点 H,K是HF上一点，∠H+∠CKE=45°，求证：∠B=2LCKE: (3)如图3，在(2)的条件下，M是HF的中点，连接AM,过C作CNIAM交HE的延长线于点N,BC=2 V10,ME=5,求线段HK的长. 30.(24-25八年级下·湖北黄石·期末)在平面直角坐标系中，已知：正方形0ABC的面积为16.点A,C在 坐标轴的正半轴上. P 图1 图2 (1)直接写出点B的坐标为_· (2)如图1，点P在AB上，点N在x轴上，OM⊥PN于M,AP=1,OM=OA,求点N的坐标： (3)如图2，点D(m,n)是对角线AC(不含两端点)上一点，DE⊥OD交直线BC于点E(a,b) ①直接写出m,n之间满足的数量关系式是_ ②探究b与AD之间的数量关系式，并证明。 31.(24-25八年级下·福建泉州期末)实践探究： 主 特殊四边形的几何变换 题 素 用两张全等的直角三角形的纸片，把它们的一条直角边重合在一起（如图1）己知 材 ∠BAC=∠ACD=90°，AB=CD=3,AC=4.由全等可知，BC=AD,AB=CD, 13/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以四边形ADCB是平行四边形 D 图1 ①如图2，把△ABC沿AD平移得到△A'BC',点A'在线段AD上，B'C经过 △ACD的顶点C,AC与A'B交于点E,CD与A'C交于点F. 平 移 D A 图2 任务一求证：四边形EA'FC是矩形； ②如图3，将△BMA沿直线AM对折，点B的对应点B'刚好落在线段AD 上. 实 M B-- 践 探 究 B' 图3 对 任务二求证：四边形BAB'M是菱形； 折 ③如图4，若点M、N分别是BC、AD的中点，将△BMA沿直线AM对折， 点B的对应点为B M B D N 图4 任务三求证：点C、B、N在同一直线上； 14/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ④如图5，△ABC绕点A顺时针旋转，当点C的对应点C'恰好落在边AD上时， 点B的对应点为点B',BC与边AC交于点H. B B- 旋 转 D 图5 任务四求线段AH的长 32.(24-25八年级下·福建泉州·期末)如图，四边形ABCD中，AD I BC,∠A=∠BCD,DE垂直平分AB, 垂足为点E,CF⊥BD交BD于点F,CF的延长线交DE于点G,且DG=BE, D G B (I)求证：四边形ABCD为平行四边形； (2)若EG=2,求AB的长； (3)求证：EF=V2DF 33.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图1，正方形ABCD与矩形AEFG的顶点重合于点A,且D为FG边 上的一点，B,E,F三点共线. G D 图1 图2 (I)求证：矩形AEFG为正方形； (2)如图2，连接CF,BD,若0，P,Q分别是BD,DF,CF的中点，连接0P,OQ,求证：∠P0Q=45°； (3)在(2)的条件下，己知CF=1,AD=5,求DF的长度. 15/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 34.(2025·河南商丘一模)《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片ABCD,且 AB=8,AD=4,点P为CD上一个动点，研究以直线PQ为对称轴折叠矩形ABCD.并作以下操作，供同学 们探究发现： 0 H M B 图1 图2 图3 【问题提出】如图1，点E,F分别为AD,BC的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M,当点M 落在EF上时，展开纸片，连接DM交折线AP于点O,则AP与DM的位置关系为，DO与OM的数量关 系为 【再次探究】如图2，若点Q在AB上，点D的对应点为点M,点A的对应点为点N,若点M始终落在AB 上，展开纸片，连接DM交折线PQ于点O,判断四边形PDQM的形状，并说明理由； 【拓展延伸】如图3，若点Q在AD上，点D的对应点为点M,若点M始终落在AB上，直接写出DQ的取值 范围， 35.(24-25八年级下·贵州黔西南期末)综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、干纸鹤、密信等折纸活 动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数 学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题， 看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识. B 4 图1 图2 B C 图3 图4 备用图 (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB,将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的△ABC的形状是 A,等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 16/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 问题2：若AB=2,BC=3,则点A到BC的距离为 (2)折纸2：如图3，矩形纸片ABCD,点E为边CD上一点，将△BCE沿着直线BE折叠，使点C的对应点F落 在边AD上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）· (3)折纸3：如图4，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=6,若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM 折叠，折叠后点B的对应点为B',当点B恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长， 36,(24-25八年级下·湖北十堰期末)四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏. B M B- B E 图1 图2 图3 图4 【探究发现】 (1)如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△ABE,点B的对应点B',将纸片展平后，连接BB并延长交 边CD于点F,小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为_； 【类比探究】 (2)如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'BEG,点A的对应点为点A ,点B的对应点为点B',将纸片展平后，连接BB交边CD于点F,请你猜想线段AG,CE,DF之间的数量 关系并证明； 【拓展延伸】 (3)在(2)的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9，CF=3. ①如图3，若线段A'B恰好经过点D,求AG的长， ②如图4，连接BG,EF,直接写出BG+EF的最小值， 37.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期末)已知，如图1，在矩形ABCD中，连接AC,BD交于点O,过点D 作DE II AC交BC延长线于点E. E 9 C O D C R G B B B 图1 图2 图3 17/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：DE=20D; (2)如图2，点F为四边形ABED外一点，连接FB,FE,点G为BF的中点，连接CG,若∠F=2LBAC, CG BD.求证：四边形BDEF为菱形； (3)如图3，在(2)的条件下，点P在EF上，点Q在BE上，连接PQ,以PQ为边作等边△PQR,连接BR交CG 于点H,点H为CG中点，若LBRQ=∠F+∠BQR,∠BDE=∠ACB,PQ=V6,求PF的长， 38,(24-25八年级下·吉林长春·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=CD=3,AD=BC=4,∠A=90°，点 E是边AD的中点，点P是边AB上的动点（点P不与点A重合），连接EP,将线段EP绕点E逆时针旋转90°得 到线段EQ,连接PQ、BQ, E (I)判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (②)点Q到边AD的距离是否为定值，请说明理由； (3)当点Q到边CD的距离是时，线段BP的长为 (④当△BPQ的面积是把时，直接写出线段AP的长. 39,(24-25八年级下·福建漳州·期末)如图1，将矩形纸片ABMN沿着过点A的直线折叠，使点B落在AN 边上的点D处，折痕与边BM交于点C,点E为线段AC上一点，过点E作EF⊥DE,交BC于点F. D D 图1 图2 (I)求证：DE=EF; (2)如图2，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG,连接CG. ①求证：∠DCG=45°； ②试探究AE、CE、DE之间的数量关系，并说明理由. 40.(24-25八年级下·四川绵阳·期末)如图1，四边形ABCD是正方形，AB=4,点P为BC上一点，连接 AP,过点B作BE⊥AP,垂足为点H,BE交CD于点E,过点E,P分别作EF II BC,PF W BE,EF交PF于点F, 18/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D E E H 图1 图2 (I)设∠DAP=a,求LBEF(用含Q的代数式表示)； (2)连接AF,求证：AF=V2BE; (3)如图2，连接HF,DF,设V2BE+DF的最小值为m,求m的值 41.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A,B重合），AF⊥DE 于点O,交BC于点F,点G在OD上，OG=OA,∠DOF的平分线交CG于点M,连接DM并延长与AF的延长线 交于点N, D A E (1)求证：AE=BF; (2)点E在AB边上运动时，探究LODM的大小是否发生变化？若不变，求出LODM的度数；若变化，说明理 由； (3)求证：20N2+BN2=2AB2 42.(24-25八年级下·重庆秀山期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, AC=BC. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ACB=60°，BC=6,求BD的长； (2)如图2，若AC⊥BC,过点A作AM⊥BD于点M,连接CM,过点C作CN⊥CM交BD于点N,求证： ON=AM+OM; (3)如图3，在(1)的条件下，点Q是直线BD上的一个动点，若LQCQ'=60,且CQ=CQ',连接BQ',当 CQ'+BQ'的值最小时，请直接写出△BCQ的面积. 19/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20/20