专题04 特殊平行四边形（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题04 特殊平行四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 矩形的性质与判定的综合 题型02 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质运用 题型03 菱形的性质与判定的综合 题型04 正方形的性质与判定 题型05 与平面直角坐标系的综合 题型06 特殊平行四边形中的多结论判断问题 题型07 特殊平行四边形与折叠问题 题型08 特殊平行四边形与动点运动问题 题型09 中点四边形问题 题型10 特殊平行四边形与最值问题 题型11 特殊平行四边形综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 矩形的性质与判定 掌握定义、性质、判定及边角、对角线计算公式；解决矩形折叠、角度边长计算、基础证明；结合勾股定理、全等完成综合基础题型 高频中档；常考对角线、角度、面积； 易错：矩形是特殊平行四边形、对角线相等；直接用“对角线相等的四边形是矩形”（缺少平行四边形前提） 2. 菱形的性质与判定 掌握菱形 “四边相等、对角线垂直平分” 性质；掌握 3 种判定；能计算与证明 重点高频；必考对角线垂直、面积（对角线乘积一半）；易错：菱形对角线互相垂直 3. 正方形的性质与判定 掌握正方形兼具矩形、菱形的全部性质与判定；独立完成正方形综合证明、几何探究题； 运用分类讨论、数形结合思想，突破动点、旋转、坐标系压轴题 期末压轴高频；综合边、角、对角线、对称性；易错：正方形判定条件需同时满足矩形 + 菱形 4. 特殊平行四边形综合（折叠、动点、最值） 能综合矩形、菱形、正方形性质；解决折叠、动点、最值问题；结合勾股定理 期末压轴必考；难度大；易错：折叠前后边 / 角相等、动点范围、最值转化 5. 平行四边形与特殊平行四边形关系 理清平行四边形、矩形、菱形、正方形从属关系；能进行转化判定 基础 + 中档；常考概念辨析、分类讨论；易错：从属关系混淆、判定条件遗漏 知识点01 矩形的概念与性质 ●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. ●●核心性质： 边：对边平行且相等，邻边互相垂直； 角：四个角均为90°，内角和360°； 对角线：互相平分且长度相等，数学表达式：，； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）。 知识点02 矩形的判定 ●矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； ●重要推论（必考）：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。数学表达式：Rt△中，若CD为斜边AB中线，则。（矩形性质衍生核心考点，选择、填空高频必考） 知识点03 菱形的概念与性质 ●●定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ◆1、菱形的性质 边：对边平行，四条边长度全部相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）。 ◆2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 知识点04 菱形的判定 ●●菱形的判定方法： ◆1、定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 知识点05 正方形的概念与性质 ●●定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 ★1、兼具矩形、菱形所有性质 边：四条边相等，对边平行，邻边垂直； 角：四个角均为90°； 对角线：垂直、平分、相等，且平分一组对角，对角线与边夹角恒为； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴）。 ★2、正方形的面积计算 ①边长的平方；②对角线平方的一半； ★3、正方形特有的性质： ①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等四边形中，正方形的面积最大. 知识点06 正方形的判定 ★1、正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 知识点07 特殊平行四边形核心要点 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 四个角都是直角； 2. 对角线相等且互相平分； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 可看作“有一个直角的平行四边形”。 1. 有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形； 3. 三个角是直角的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线相等≠矩形，必须强调平行四边形前提；矩形不一定有对角线垂直的性质。 菱形 1. 四条边都相等； 2. 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 面积=对角线乘积÷2 1. 有一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形； 3. 四条边都相等的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线垂直≠菱形，必须强调平行四边形前提；菱形不一定有对角线相等的性质。 正方形 1. 兼具矩形、菱形所有性质（四条边相等、四个角为直角）； 2. 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（4条对称轴）； 4. 面积=边长²=对角线乘积÷2。 1. 有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线相等且垂直的平行四边形； 3. 有一组邻边相等的矩形（或有一个角是直角的菱形）。 区分“矩形+菱形”与正方形的判定，避免遗漏条件；正方形是特殊的矩形和菱形。 知识点08 期末速记口诀（考前背诵） 1. 矩形：直角平行四边，对角相等线等，三角直角亦可判，斜边中线记一半； 2. 菱形：邻边相等平行四边，四边相等线垂，对角线平分对角，面积对线积一半； 3. 正方形：直角邻等平行四边，兼具矩菱所有性，垂直相等对角线，四边四角皆均等。 题型一 矩形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 1.先利用平行四边形性质推导，再结合矩形特殊性质判定、计算； 2.解题思路：性质推导→线段/角度等量关系→矩形判定→进阶计算； 3.遇到对角线问题，紧抓“平分且相等”，构建全等三角形、直角三角形； 4.综合题注意数形结合，规避对角线与边夹角的易错点。 【典例1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 【变式1】如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 【变式2】如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接． (1)求证：； (2)若菱形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，结合菱形的性质得，，然后得出四边形是矩形，再整理线段之间的关系，得，即可作答． （2）因为四边形是菱形，则，，故，整理得，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， （2）解：∵四边形是菱形， ，， 即， 则 【变式3】如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 题型二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质运用 【典例1】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 【变式1】如图，在四边形中，，点为边中点，连接、交交于点．若且平分． (1)求证：； (2)若，求线段的长度； (3)若为直角三角形，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得，则，根据角平分线的定义可得，可得； （2）过点作交于点，可得，根据勾股定理即可求得； （3）分类讨论，即或，分别作图即可解答． 【详解】（1）证明：，点为边中点， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 如图，过点作交于点， ， ， ， ，，， ∴， ∴四边形是长方形， ， ； （3）解：当时，如图， ， 平分，即， ， ， ； 当时，如图，过点作于点， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， ， 综上，为或． 【变式2】如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先由与推出是等腰直角三角形，得到；再利用和直角三角形斜边、直角边对应相等，证明；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合的条件，直接得出； （）由且是中点，可得垂直平分，故，进而推出；结合算出，再在中求得；利用之前已证的，得到，最后通过计算，从而证得． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：∵，是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线，交于点， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） ，， ， ， 点为的中点，， ． 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 题型三 菱形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 1.先借助性质得出四边相等、对角线垂直等条件，再用于判定菱形； 2.常结合全等三角形、直角三角形，拆分图形，逐层推导； 3.涉及折叠、对称题型，利用菱形对称性，找寻等量线段、角度； 4.计算面积时，优先选用对角线公式，提升解题速度。 【典例1】如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【变式1】如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 【变式2】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 【变式3】如图，在中，，D、E分别是，的中点，， (1)求证：四边形是菱形 (2)连接交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得出，进而可得出结论． （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长及面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：如图所示，连接，   ，点为的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，， 又∵点为的中点， 为的中位线， ， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，灵活应用以上知识是解题关键． 题型四 正方形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 1.综合运用全等、特殊三角形性质，先判定正方形，再利用性质解题； 2.动点、折叠题型，紧抓正方形边长、角度不变性，列方程求解； 3.多结论判断题型，牢记正方形对角线、边角核心特征，举反例排除； 4.复杂图形中，拆分出正方形、三角形，分步推导，简化思路。 【典例1】如图，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，连接交延长线于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，正方形判定，勾股定理，旋转性质等． （1）先判定，利用全等性质判定为矩形，继而判定为正方形； （2）根据题意设正方形 的边长为，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）解：∵正方形的边长为5， ∴， 设正方形 的边长为， ∴， ∵， ∴， 在中，，解得：， ∴线段的长度为． 【变式1】如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）证明，则，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，进而结论得证； （2）先证四边形是平行四边形，然后根据，，证明四边形是正方形即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是的中点， ， 在和中， ∵， ∴， ， 在中，，是中线， ， ； （2）解：四边形是正方形．证明如下： ，， 四边形是平行四边形， ，是中线， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形、正方形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式3】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质和正方形的判定即可得证； （2）过点A作交于点M，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，设，根据勾股定理列方程，求出的长度，进一步可得的长度，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）过点A作交于点M，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握相关性质和定理． 题型五 与平面直角坐标系的综合 解｜题｜技｜巧 1.利用特殊四边形边角、对角线性质，结合坐标平移、中点公式解题； 2.矩形、正方形对应横纵坐标差值固定，菱形对应边长相等； 3.分类讨论未知顶点坐标，以不同线段为对角线，逐一分析； 4.注意坐标象限正负性，结合距离公式验证线段长度。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】如图，四边形是菱形，顶点A，的坐标分别是，，点在轴的正半轴上，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，交于点，根据菱形的性质可知点的坐标为，根据的坐标确定的坐标即可． 【详解】解：连接，，交于点， 四边形是菱形， ，，， ，的坐标分别是，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【变式2】如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】由点的坐标得到和的长，根据勾股定理求出，由折叠得到，，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴在矩形中，，，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【变式3】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型六 特殊四边形中的多结论判断问题 解｜题｜技｜巧 1.逐一验证线段相等、角度相等、全等、面积、对称性各类结论； 2.牢记易错点：矩形对角线不垂直、菱形对角线不相等、正方形性质最全； 3.通过举反例、特殊值代入，快速排除错误结论； 4.对角线分割图形，全等、面积关系优先验证，提升解题效率。 【典例1如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 【变式1】如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 【变式2】如图，正方形中，点在的延长线上，点在上，且，连接交于点，连接，则下列结论中正确的有（　　） （1） （2） （3） （4）如果，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合，即可证明，于是可得； （2）过作，交于，证明，得，再证明，由线段的和差得； （3）证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得； （4）由求得，进而求得，便可求出． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故（1）符合题意； （2）如图，过作，交于， ，， ∵四边形为正方形， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ，故（2）符合题意； 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故（3）的结论正确； ，，， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，故（4）不符合题意， 综上，符合题意的有个． 【变式3】（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 题型七 特殊平行四边形与折叠问题 解｜题｜技｜巧 1.折叠属于全等变换，对应边、对应角完全相等，标注等量关系； 2.结合特殊四边形直角、等边性质，构造直角三角形，用勾股定理； 3.折叠后常出现等腰三角形，利用等角对等边推导线段关系； 4.折痕垂直平分对应点连线，可进一步判定菱形、正方形。 【典例1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）在长方形中，，，，P是线段上的动点，分别是边，上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三点在同一条直线上分析即可得到结论． 【详解】解：∵P是线段上的动点，分别是边，上的动点， ∴当三点在同一条直线上，且时，的值最小， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，正方形，，E为的中点，将沿BE折叠到，延长EF交于点G．连接，则下列结论错误的是（　　） A．的周长为4 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 证明得出可判断A正确；设，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理求出可判断B错误；根据三角形面积公式求出和的面积可判断C，D正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴ ， ∴， ∴， ∴的周长，故选项A正确， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴，， ∴的周长，故选项B错误， 的面积，故选项C正确 的面积，故选项D正确． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点和是边上的两点，连结，将和沿折叠后，点和点重合于点，则的长是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 由折叠得， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 过点作于点，则于点，如图，则， ∴ 由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴即 ∴, 故选：B． 【变式3】（23-4八年级下·浙江绍兴·期末）图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F． (1)若AB＝4，BC＝3，求AE的长． (2)连接DF，若点D，F，E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长． 【答案】(1) (2)AE＝2 【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质，求出AF=2，设AE＝x，则，然后利用勾股定理，即可求出答案； （2）由折叠的性质，得到DC＝DE，又点D，F，E在同一条直线上，∠EFC＝∠B，然后证明，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图1，矩形纸片ABCD中，∵AB＝4，BC＝3， 故由勾股定理可得AC＝5． 由折叠知：FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE． ∴． 设AE＝x，则． 在Rt△AFE中，， 解得：． ∴． （2）：如图2，矩形纸片ABCD中， ∵， ∴∠DCE＝∠BEC， 由折叠知：∠BEC＝∠FEC， ∴∠DCE＝∠FEC， ∴DC＝DE． 又∵点D，F，E在同一条直线上，∠EFC＝∠B， ∴∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠DAE＝90°， 而CF＝CB＝DA， ∴， ∴AE＝DF＝2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地运用折叠的性质进行计算． 题型八 特殊平行四边形与动点运动问题 解｜题｜技｜巧 1.设运动时间为t，用速度×时间表示线段长度，梳理变量关系； 2.根据特殊四边形判定定理，列线段相等、垂直、平行方程； 3.分类讨论动点位置，考虑不同时间段图形形状变化； 4.舍去不符合边长范围的解，保证结果合理性。 【典例1】如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动．设点P的运动时间为t秒，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，沿CD向点D运动，当t＝　 秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABP全等． 【答案】2或2.5． 【分析】此题主要分两种情况①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ；当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，然后分别计算出t的值． 【详解】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB＝6， ∴PC＝6， ∴BP＝10﹣6＝4， 2t＝4， 解得：t＝2， ②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP， ∵PB＝PC， ∴BP＝PCBC＝5， 2t＝5， 解得：t＝2.5， 综上所述：当t＝2.5或2时△ABP与△PQC全等． 故答案为：2或2.5． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值． 【详解】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ADB∠ADC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， 又∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠DEF＝60°， 又∵∠ADB＝60°， ∴∠ADE＝∠BDF， 在△ADE和△BDF中，， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， ∵AE＝t，CF＝2t， ∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t， ∴t＝5﹣2t ∴t， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出AE＝BF． 【变式2】如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，利用结合方程的思想解题是解题的关键． （1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）根据菱形的四条边相等，则菱形的周长，面积矩形的面积个直角三角形的面积计算即可． 【详解】（1）设点P、Q运动的时间为，则，， 四边形是矩形，，， ，，， ， 当四边形是矩形时，， 即：， 解得． 答：当时，四边形是矩形； （2） ，，， ，, 四边形是平行四边形， 设秒后，四边形是菱形 当，即时，四边形为菱形． 解得：． 答：当时，四边形是菱形； （3）由（2）可知：当时，， ， 当时，， 则菱形的周长为：， 菱形面积为：． 【变式3】（23-24八年级下·浙江·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K，则， ∴， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 题型九 中点四边形 解｜题｜技｜巧 1.找原四边形两条对角线 \(AC、BD\) 2.判断对角线两个特征：是否相等、是否垂直 3.对照上面结论，直接判定中点四边形形状 4.求周长 / 边长： 中点四边形边长 = 原对角线的一半 周长 = 原两条对角线长度之和 【典例1】（20-21八年级下·浙江·期末）已知任意四边形的四条边中点组成的图形是平行四边形，当这个平行四边形成为矩形时，原四边形的对角线（    ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相平分且相等 【答案】C 【分析】画出图形，结合矩形的判定和性质判断即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理：GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形． ∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形， ∴∠EHG=90°， ∴四边形EFGH是矩形， 故选C． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式1】（2023·浙江宁波·模拟预测）已知四边形是菱形，点分别为边的中点．若四边形的面积为12，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接交于，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接交于，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B 【变式2】如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】利用菱形性质以及勾股定理得到，即，结合，推出，再根据中点四边形的知识证明四边形为矩形，根据矩形面积公式即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线的交点为O， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为边中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，中点四边形的知识，完全平方公式的变形，证明四边形为矩形是解题的关键． 【变式3】（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2） 【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出▱MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD； 理由如下：如图1， ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC， ∴AC⊥BD，AC=BD， 故答案为：AC⊥BD，AC=BD； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MNBG，MN=BG， RLBG，RL=BG， RNCE，RN=CE， MLCE，ML=CE， ∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC， 即∠EAC=∠BAG， 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE=BG，∠AEC=∠ABG， 又∵RL=BG，RN=CE， ∴RL=RN， ∴▱MNRL是菱形， ∵∠EAB=90°， ∴∠AEP+∠APE=90°． 又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK=90°， ∴∠BKP=90°， 又∵MNBG，MLCE， ∴∠LMN=90°， ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：（1）MN=AC，理由如下： 如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM=FN，∠MFN=90°， ∴MN===FM， ∵M，F分别是AB，BC的中点， ∴FM=AC， ∴MN=AC； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， 连接BD交AC于O，连接OM、ON， 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， ∴2（OM+ON） 2MN， 由性质探究②知：AC⊥BD， 又∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB=2OM，CD=2ON， ∴2（OM+ON）=AB+CD， ∴AB+CD2MN， 由拓展应用（1）知：MN=AC； 又∵AC=2， ∴MN=， ∴AB+CD的最小值为2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 题型十 特殊平行四边形与最值问题 解｜题｜技｜巧 1.线段和最值：利用对称点，遵循两点之间线段最短求解； 2.单线段最值：利用垂线段最短、三角形三边关系分析； 3.特殊四边形对角线交点、中点，常为最值取值点； 4.结合对称性，将折线转化为直线，简化最值计算。 【典例1】如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，根据菱形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得：，根据垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式即可求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 设中边上的高为， ， ， ， 的最小值是， 即的最小值是. 故选：A． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的边长为4，E，F，G分别是边上的动点，且，将沿EF向内翻折至，连结，则当最大时，的最小值为（    ） A． B．5.6 C． D． 【答案】C 【分析】当四边形为正方形时，最大，作C关于的对称点，则，即的最小值为，利用勾股定理即可求解． 【详解】解，如图，当四边形为正方形时，最大， ∴， ∵， ∴， ∴E，F分别是边上的中点， 过点作于点H， 则， 作C关于的对称点，连接， ∴， ∴，即的最小值为， 在中，， 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·期末）如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3】如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型十一 特殊平行平行四边形综合题 解｜题｜技｜巧 综合运用特殊平行四边形的性质与判定解决特殊平行四边形的综合题，有时要用到分类讨论的思想. 【典例1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图（1），已知矩形，点分别是矩形边上的一点，且，与分别沿翻折得到与；所在的直线交直线于点，所在的直线交直线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且．判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图（2），若点是的中点．试探求与的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见详解； (2)正方形，理由见详解； (3)，理由见详解． 【分析】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定，等边三角形的性质． （1）如图，连接，由折叠知，则，再找一个直角，用有三个角是直角的四边形是矩形来证明即可； （2）如图，延长交于，过点作于，要证明其是一个正方形，只要证明有一组临边相等即可，由折叠的性质结合，可设参数证明等量关系； （3）如图，取的中点，连接,,依题干先证，再利用特殊角去找和的关系即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形 在和中 由折叠知, , 四边形是矩形； （2）四边形是正方形，理由如下： 如图，延长交于，过点作于， 设 四边形是矩形 四边形是正方形； （3） 如图，取的中点，连接,, 若点是的中点，则点是的中点， 三点共线 是等边三角形 由（1）知， 点是的中点，则点是的中点 四边形是平行四边形 ． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接． (1)如图，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数． (2)如图，连接，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图，连接，记的面积为，的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（）利用正方形和轴对称的性质可得，，，进而可得，再根据角的和差关系即可求解； （）延长交于，由轴对称的性质可得，，进而由平行线的性质得，再证明得，即可求证； （）作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，不妨设正方形的边长是，由正方形的性质可得，，，，由轴对称的性质得，，，，即可由得，又由可得是等腰直角三角形，即得，利用勾股定理进而求出即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于， 不妨设正方形的边长是， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，则可证明，再证明，即可证明，得到． （2）连接交于点O，由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （3）①由等边对等角得到，导角证明，得到，再证明，得到，证明，得到，则可证明； ②连接交于点O， 则，，设，则，由菱形的性质得到，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ②连接交于点O， 则，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的边长为． 【变式3】（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，四边形是正方形，是上的任意一点，连接，以为边作正方形，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接 ①如图，若平分，求的值； ②如图，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；② 【分析】（）利用正方形的性质和余角性质即可求解； （）过点作于，分别证明和，得到和，进而即可求证； （）①过点作于，由角平分线的性质得，由等腰直角三角形的性质得，设，则，由得，又可得，代入计算即可求解；②过点作于，由等腰直角三角形的性质得，，设，则，可得，即得，得到，进而可得，即得到，再由得，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作于，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①过点作于， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点作于，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等，正确作出辅助线是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形； B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意； C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形； D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形． 2．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】C 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为． 3．如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据矩形对角线相等且互相平分求出的长，再根据等腰三角形底边的定义得出即可求解． 【详解】解：矩形的对角线与相交于点O，， ， 线段为等腰的底边， ． 4．下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 【答案】A 【详解】解：对角线互相垂直、两组对边分别平行、对角线互相平分、两组对角分别相等的四条性质中，对角线互相垂直是菱形具有但平行四边形不具有，其余三条性质是菱形和平行四边形都具有的. 5．如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在上，， ∵， ∴． 6．如图，点E，F分别是矩形的和边上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“”证明即可求解． 【详解】证明：在矩形中， ，． 在和中， ， ∴， ∴． 7．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∵， ∴． 9．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，相交于点，的延长线交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用正方形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．根据正方形的性质得到边相等、角为直角，再利用中点条件得到对应边相等，通过、证明三角形全等，进而推导角的关系、线段的位置关系与数量关系，对四个结论逐一判断正误． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ①正确； ， ， 又， ， ②正确； ， ， 不是等边三角形， ③错误； ， ， 在和中， ， ， ， ④正确； 综上所述，正确的为①②④． 故选：． 10．如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，根据旋转的性质，由勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可得：， 在中，， ∴． 11．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为中点，连接，若，，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴． 12．正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，，即可判断①；连接，证明，得到，然后由矩形的性质得到，即可判断②；根据题意直角三角形斜边大于直角边得到，即可得到四边形不可能是菱形，进而判断③；延长交于点G，推出，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，然后证明四边形是平行四边形，推出，然后等量代换得到，即可判断④；当F运动到的中点时，设，则然后根据等面积法表示出，然后得到即可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴四边形的周长，是定值，故①正确； ②如图，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，故②正确； ③∵四边形是矩形 ∴ ∴在中， ∴四边形不可能是菱形，故③错误； ④如图，延长交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴，即 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴，故④正确； ⑤当F运动到的中点时， 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤． 13．如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据是边上的高，得出，则．结合，得出．即可得，即．结合四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形． （2）根据四边形是菱形，得出，结合，得出是等边三角形，则，由勾股定理得​，再根据四边形的面积求解即可​． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，即． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：​， ∴四边形的面积 ​． 14．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 15．如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案； （2）先根据等腰三角形的性质得，再根据含直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示， ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 在中，． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04特殊平行四边形（期末复习讲义) 内容导航 明~期未考情 把提命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01矩形的性质与判定的综合 题型02直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质运用 题型03菱形的性质与判定的综合 题型04正方形的性质与判定 题型05与平面直角坐标系的综合 题型06特殊平行四边形中的多结论判断问题 题型07特殊平行四边形与折叠问题 题型08特殊平行四边形与动点运动问题 题型09中点四边形问题 1/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型10特殊平行四边形与最值问题 题型11特殊平行四边形综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核 心 复习目标 考情规律 考 点 掌握定义、 高频中 性质、判定 档；常考 1. 及边角、对 对角线、 矩 角线计算公 角度、面 形 式；解决矩 积； 的 形折叠、角 性 易错：矩 度边长计 形是特殊 质 算、基础证 与 平行四边 明：结合勾 形、对角 判 股定理、全 定 线相等： 等完成综合 直接用 基础题型 “对角线 2/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相等的四 边形是矩 形”（缺 少平行四 边形前 提) 重点高 2. 掌握菱形 频：必考 菱 “四边相 对角线垂 形 等、对角线 直、面积 的 垂直平分” (对角线 性 性质；掌握 乘积一 质 3种判定： 半)；易 与 能计算与证 错：菱形 判 明 对角线互 定 相垂直 掌握正方形 兼具矩形、 期末压轴 3. 菱形的全部 高频；综 正 性质与判 合边、 方 定：独立完 角、对角 形 成正方形综 线、对称 的 合证明、几 性：易 性 何探究题： 错：正方 质 运用分类讨 形判定条 与 论、数形结 件需同时 判 满足矩形 定 合思想，突 破动点、旋 +菱形 转、坐标系 3/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴题 4. 特 殊 平 行 四 期末压轴 边 能综合矩 必考；难 形 形、菱形、 度大：易 综 正方形性 错：折叠 合 质：解决折 前后边/ ( 叠、动点、 角相等、 折 最值问题； 动点范 叠 结合勾股定 围、最值 理 转化 动 点 最 值 5. 基础+中 平 理清平行四 档；常考 行 边形、矩 概念辨 四 形、菱形、 析、分类 边 正方形从属 讨论：易 形 关系；能进 错：从属 与 行转化判定 关系混 特 淆、判定 4/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 殊 行 四 条件遗漏 边 形 关 系 记·必备知识 尽知识点01矩形的摄念与性质 ●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. ●●核心性质： 边：对边平行且相等，邻边互相垂直： 角：四个角均为90°，内角和360°： 对角线：互相平分且长度相等，数学表达式：AC=BD,OA=OB=OC=OD; 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形(2条对称轴)。 及知识点02矩形的判定 ●矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形： 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形： 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形： 5/30 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ●重要推论（必考）：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。数学表达式：Rt△中，若CD为斜边AB中 线，则CD=号AB。(矩形性质衍生核心考点，选择、填空高频必考) 2 知识点03菱形的概念与性质 ●●定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ◆1、菱形的性质 边：对边平行，四条边长度全部相等： 角：对角相等，邻角互补： 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角： 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形(2条对称轴)。 ◆2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高. 1 ②菱形面积=2b.(a、b是两条对角线的长度) ③四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）： 属知识点04菱形的判定 ●●菱形的判定方法： ◆1、定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. B ◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 及知识点05正方形的概念与性质 ●●定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 6/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★1、兼具矩形、菱形所有性质 边：四条边相等，对边平行，邻边垂直： 角：四个角均为90°； 对角线：垂直、平分、相等，且平分一组对角，对角线与边夹角恒为45°： 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形(4条对称轴)。 ★2、正方形的面积计算 ①边长的平方；②对角线平方的一半： ★3、正方形特有的性质： ①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形： ②周长相等四边形中，正方形的面积最大. ®知识点06正方形的判定 ★1、正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形 四边形法 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形， 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形法 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形法 对角线相互垂直的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形. 菱形法 对角线相等的菱形是正方形. 风知识点0 特殊平行四边形核心要点 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 四个角都是直角； 1. 有一个角是直角的平行四边 对角线相等≠矩 2. 对角线相等且互相平分： 形： 形，必须强调平行 7/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.轴对称图形(2条对称轴)； 2.对角线相等的平行四边形： 四边形前提；矩形 4.可看作“有一个直角的平行 3.三个角是直角的四边形（无 不一定有对角线垂 四边形”。 需平行四边形前提)。 直的性质。 菱形 1. 四条边都相等： 1. 有一组邻边相等的平行四边 对角线垂直≠菱 2.对角线互相垂直且平分，每 形： 形，必须强调平行 条对角线平分一组对角： 2.对角线互相垂直的平行四边 四边形前提；菱形 3.轴对称图形（2条对称轴)： 形 不一定有对角线相 4.面积=对角线乘积÷2 3. 四条边都相等的四边形（无 等的性质。 需平行四边形前提)。 正方形 1. 兼具矩形、菱形所有性质 1.有一个角是直角、一 组邻边 区分“矩形+菱 (四条边相等、四个角为直 相等的平行四边形： 形”与正方形的判 角)； 2.对角线相等且垂直的平行四 定，避免遗漏条 2.对角线相等且互相垂直平 边形： 件；正方形是特殊 分，每条对角线平分一组对角： 3.有一组邻边相等的矩形（或 的矩形和菱形。 3.轴对称图形(4条对称轴)： 有一个角是直角的菱形)。 4.面积=边长2=对角线乘积 ÷2。 区知识点8期末速记口诀（考前背诵） 1.矩形：直角平行四边，对角相等线等，三角直角亦可判，斜边中线记一半； 2.菱形：邻边相等平行四边，四边相等线垂，对角线平分对角，面积对线积一半； 3.正方形：直角邻等平行四边，兼具矩菱所有性，垂直相等对角线，四边四角皆均等。 破·重难题型 题型一矩形的性质与判定的综合 解|题|技|巧 1.先利用平行四边形性质推导，再结合矩形特殊性质判定、计算； 8/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2解题思路：性质推导一线段/角度等量关系→矩形判定→进阶计算； 3遇到对角线问题，紧抓“平分且相等”，构建全等三角形、直角三角形： 4综合题注意数形结合，规避对角线与边夹角的易错点。 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,且∠DAB=90°，∠ODA=65°， 求∠ODC的度数. 【变式I】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,CF=AE,连接AF D (1)求证：四边形BFDE是矩形： (2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四边形BFDE的面积. 【变式2】如图所示，点O是菱形ABCD两对角线AC、BD的交点，且DE‖AC,CE‖BD,连接OE. A (1)求证：OE=BC; (2)若菱形ABCD的面积为16，求四边形OCED的面积. 【变式3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,AE⊥BD于点E,DP⊥AC于点F,AE=DF 9/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (I)求证：四边形ABCD是矩形. (2)若∠BAE= 2 ∠EAD,求∠AOE的度数. 巴题型二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质运用 【典例1】如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为 M 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=4,∠DCB=90°，点E为AB边中点，连接BD、 DE、CE,CE交BD交于点F.若∠ADB=90°且BD平分∠ABC. D (1)求证：DEBC (2)若∠ABC=45°，求线段CE的长度： (3)若△BEF为直角三角形，求线段BC的长度. 【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC,垂足为点D,G是AD上一点，且AB=CG. 连接CG,点E、F分别是AB、CG的中点， 10/30 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：DE=DF: (2)连接CE,若CE⊥AB,求证：∠B=3∠BCG 【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,F分别为AO,CO的中点， 连接EB,BF,FD,DE D E (1)求证：四边形BFDE是平行四边形. (2)若∠ABD=90°，AB=2B0=4,求线段BE的长. 心影型三 菱形的性质与判定的综合 解丨题|技|巧 1.先借助性质得出四边相等、对角线垂直等条件，再用于判定菱形： 2常结合全等三角形、直角三角形，拆分图形，逐层推导： 3涉及折叠、对称题型，利用菱形对称性，找寻等量线段、角度： 4计算面积时，优先选用对角线公式，提升解题速度。 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，过点A和点C分 别作CD和AB的平行线交于点E, D (1)求证：四边形AECD是菱形： 11/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠E=45°，AE=4,求四边形ABCE的面积. 【变式1】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,F为AD边上的点，且AB=AF, 连接BF、EF」 (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)连接CF,若CE=1,CF=3,AB=2,求BF的长. 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E,与BC相交于点 F,连接AF,CE. B (I)求证：四边形AFCE是菱形： (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC,D、E分别是AB,BC的中点，BFDE,EF‖DB (I)求证：四边形BDEF是菱形 (2)连接DF交BC于点O,若BE=4,AC=2V5,求四边形BDEF的面积. 12/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 巴题型四正方形的性质与判定的综合 解丨题1技|巧 1综合运用全等、特殊三角形性质，先判定正方形，再利用性质解题： 「2动点、折叠题型，紧抓正方形边长、角度不变性，列方程求解： |3.多结论判断题型，牢记正方形对角线、边角核心特征，举反例排除： 4.复杂图形中，拆分出正方形、三角形，分步推导，简化思路。 【典例1】如图，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P, 将AP绕点A逆时针旋转90°得AP,连接PD交BP延长线于点F. D E C (1)试判断四边形FPAP的形状，并说明理由； (2)若DF=1,求线段AP的长度. 【变式I】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF‖BC交BE的 延长线于F,连接CF。 A (1)求证：AD=AF: (2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论. 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,AB=BC,∠A=90°，点E在CD边上，点F是AD边 的中点，且AB‖CF,FE⊥CD于点E,延长FE交BC的延长线于点G,连接BF. B G 13/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：四边形ABCF是正方形： (2)若BF=4,求BG的长. 【变式3】(22-23八年级下·浙江宁波·期中)如图1，已知矩形ABCD,点E是边CD上一点，点F是CB 延长线上一点，且BF=DE,AF⊥AE G D 图1 图2 (1)求证：四边形ABCD是正方形： (2)如图2，在(1)的条件下，若CD=3DE=6,点G是边AD上一点，连接CG交AE于点H,有 ∠AHG=45°，求CG. 巴影型五与平面直角坐标系的综合 解1题1技|巧 1利用特殊四边形边角、对角线性质，结合坐标平移、中点公式解题： 2.矩形、正方形对应横纵坐标差值固定，菱形对应边长相等： 3分类讨论未知顶点坐标，以不同线段为对角线，逐一分析： 4.注意坐标象限正负性，结合距离公式验证线段长度。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=6,AB‖x轴，已知点 A-2,-2,则点C的坐标是 D 【变式1】如图，四边形ABCD是菱形，顶点A,C的坐标分别是0,2，(8,2，点D在x轴的正半轴上，则 14/30 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 顶点B的坐标是( y D 0 A.4,4 B.15,4 C.2,4 D.4,2 【变式2】如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，且过原点，连接OC.将△OBC沿OC翻折，点B的对应 点B恰好落在边AD上.若点B的坐标为3,4，则点C的坐标为 D B B 【变式3】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是(-4,6)，点C的坐标是(-2,0)，点D的坐标 是(10,4)，则点A的坐标是一 B 题型六特殊四边形中的多结论判断问题 解丨题|技巧 1.逐一验证线段相等、角度相等、全等、面积、对称性各类结论： 15/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.牢记易错点：矩形对角线不垂直、菱形对角线不相等、正方形性质最全： 3通过举反例、特殊值代入，快速排除错误结论： 4对角线分割图形，全等、面积关系优先验证，提升解题效率。 【典例1如图，在口ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB,交CB的延 长线于点G,连接GF,AD⊥BD.有下列结论：①DE=BF;②四边形DEBF是菱形；③四边形ADBG 是矩形；④S5边形ABCD:SARFG=3:1 其中正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式I】如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交 AC于点M:连结DEBO:若∠COB=60°，FO=FC:则下列结论中正确结论的是（ ①DE=EF;②四边形EBFD是菱形；③BM=3FM;④S△rOM:S矩形ABcD=1:14. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】如图，正方形ABCD中，点F在CD的延长线上，点E在BC上，且BE=DF,连接EF交BD于 点G,连接AE,AF,AG,则下列结论中正确的有() 16/30 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)AE=AF (2)BG-DG=V2DF (3)AG=GF (4)如果DG=32,DF=1,则AD=8. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式3】(24-25八年级下·浙江丽水·期末)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E在CD边上，点 F在菱形ABCD外部，且满足EF‖AD,CE=EF.连结AF,CF,取AF的中点G,连结BG,AC ①△CEF是等边三角形：②AG=CG;③BG垂直平分AC;④2BG=AD+CE D B 其中正确的结论有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 巴型比 特殊平行四边形与折叠问题 解|题|技|巧 1.折叠属于全等变换，对应边、对应角完全相等，标注等量关系： 2结合特殊四边形直角、等边性质，构造直角三角形，用勾股定理； 3.折叠后常出现等腰三角形，利用等角对等边推导线段关系； 17/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.折痕垂直平分对应点连线，可进一步判定菱形、正方形。 【典例1】(24-25七年级下·浙江台州·期末)在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,AC=5,P是线段 AC上的动点，E,F分别是边AB'CD上的动点，则pE+PF的最小值是( D E B A.4 B.5 C.7 D.8 【变式1】(24-25八年级上·浙江宁波·期末)如图，正方形ABCD,AB=2,E为CD的中点，将△BCE 沿BE折叠到△BFE,延长EF交AD于点G.连接BG,则下列结论错误的是() G A.△EDG的周长为4 B,△BEG的周长为号+295 C,△EDG的面积为号 D.△BEG的面积为 【变式2】(23-24八年级上·浙江台州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,点E和F是边BC 上的两点，连结AE、DF,将△ABE和△CDF沿AE、DF折叠后，点B和点C重合于点M,则EF的长 是( D M A.2.5 B.3 c.1.5 D.4 18/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(23-4八年级下·浙江绍兴·期末)图，一张矩形纸片ABCD,点E在边AB上，将△BCE沿直线 CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F. D D B B 备用图 (1)若AB=4,BC=3,求AE的长. (2)连接DF,若点D,F,E在同一条直线上，且DF=2,求AE的长 巴 题型八特殊平行四边形与动点运动问题 解|题1技巧 1.设运动时间为t,用速度×时间表示线段长度，梳理变量关系： 2.根据特殊四边形判定定理，列线段相等、垂直、平行方程； 3分类讨论动点位置，考虑不同时间段图形形状变化： 4舍去不符合边长范围的解，保证结果合理性。 【典例1】如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm,BC=I0cL,点P从点B出发，以2C/秒的速度沿 BC向点C运动.设点P的运动时间为t秒，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，沿CD向点 D运动，当t= 秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABP全等. 【变式1】如图，在菱形ABCD中，AB=5cm,∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿 AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为lcms,点F的速度为2cs,经过t秒△DEF 19/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为等边三角形，则t的值为() B 3 A. e. 3 D. 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动，运动到点A即 停止：同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P、Q的速度的速度都是1cms,连接PQ, AQ,CP,设点P、Q运动的时间为t(s). (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ (3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积， 【变式3】(23-24八年级下·浙江·期末)已知，口ABCD中，一动点P在边AD上，以每秒1Cm的速度从 点A向点D运动. D 0 图① 图② 图③ (1)如图①，运动过程中，若CP平分∠BCD,且满足CD=CP,求∠ABC的度数； (2)如图②，在(1)问的条件下，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F,连接AF,若AB=2cm,求 △APF的面积： (3)如图③，另一动点Q在BC边上，以每秒4Cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发， 当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD=12cm,则时间为何值时，以P,D,Q,B四 20/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点组成的四边形是平行四边形 巴熙型九 中点四边形 解|题1技1巧 1.找原四边形两条对角线(AC、BD) 2判断对角线两个特征：是否相等、是否垂直 3对照上面结论，直接判定中点四边形形状 4.求周长/边长：中点四边形边长=原对角线的一半周长=原两条对角线长度之和 【典例1】(20-21八年级下·浙江·期末)已知任意四边形的四条边中点组成的图形是平行四边形，当这个 平行四边形成为矩形时，原四边形的对角线( A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相平分且相等 【变式1】(2023浙江宁波模拟预测)已知四边形ABCD是菱形，点E,F,G,H分别为边 AB,BC,CD,DA的中点.若四边形EFGH的面积为12，则菱形的面积为( A.12 B.24 C.36 D.48 【变式2】如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，对角线AC+BD=8,点E,F,G,H分别为边 AB,BC,CD,AD中点，顺次连接E,F,G,H.则四边形EFGH的面积为 4 D E B 【变式3】(21-22八年级下·浙江宁波期末)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到 的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边 21/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形叫做“中方四边形”. 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论： 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接BE, EG,GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”： 拓展应用： 如图3，己知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点， (1)试探索AC与W的数量关系，并说明理由， (2)若AC=2,求AB+CD的最小值 G 图1 图2 图3 题型十特殊平行四边形与最值问题 解|题|技1巧 1.线段和最值：利用对称点，遵循两点之间线段最短求解； 2.单线段最值：利用垂线段最短、三角形三边关系分析： 3.特殊四边形对角线交点、中点，常为最值取值点： 22/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.结合对称性，将折线转化为直线，简化最值计算。 【典例1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC=10,BD=24.点P是边BC上的动点， 过点P作PM⊥BO,垂足为点M,PN⊥CO,垂足为点N,连接MN,则MN的最小值为( A.60 13 B. 5 c D.13 【变式1】(23-24八年级下·浙江宁波期末)如图，正方形ABCD的边长为4，E,F,G分别是边 AB,BC,AD上的动点，且AE=BF,将△BEF沿EF向内翻折至△BEF,连结BB,BG,GC, 则当BB最大时，BG+GC的最小值为( ) D B A.V42-2 B.5.6 c.210 D.3V5 【变式2】(25-26八年级上浙江·期末)如图，P是正方形ABCD外一点，PA=V2,PB=4,则PD的长 度的最大值是( D 23/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.7 C.6 D.8 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,P,Q分别是BC,AB上的两个动点，AE=2, △AEQ沿EQ折叠形成△FEQ,连接P℉，PD,则PF+PD的最小值是 A 巴 型十一特殊平行平行四边形综合题 解|题|技|巧 综合运用特殊平行四边形的性质与判定解决特殊平行四边形的综合题，有时要用到分类讨论的思想 【典例1】(23-24八年级下·浙江杭州·期末)如图(1)，已知矩形ABCD,点E,G分别是矩形边 AD,BC上的一点，且AE=CG,△ABE与△DCG分别沿BE,DG翻折得到△FBE与△DHG:EF所在 的直线交直线DH于N点，GH所在的直线交直线BF于M点. E E M B B G (图1) (图2) (1)求证：四边形MHNF是矩形： (2)若AD=2AB,且∠MBG=45°.判断四边形MHNF的形状，并说明理由； (3)如图(2)，若点F是DG的中点.试探求HD与EF的数量关系，并加以说明. 【变式1】(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点 (不与点A，C重合)，连接BE,点C关于直线BE的对称点为点F,连接BF,EF 24/30 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 区风」 图1 图2 图3 (I)如图1，若点F恰好落在对角线BD上，连接AF,求∠CAF的度数. (②)如图2，连接DF、CF,若DF‖BE,试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系，并说明理由. (3)如图g连接DF、DE'记△DEF的面积为S,'△BEF的面积为S,若DFLFE:求S的值。 S> 【变式2】(24-25八年级下.浙江嘉兴期末)如图1，在菱形ABCD中，E是AC上一点，CE>AE,连 接DE,过点B作BFDE交AC于点F. D D B (图1) (图2) (图3)》 (1)求证：AE=CF: (2)如图2，连接BE,DF,求证：四边形DEBF是菱形： (3)如图3，在(2)的条件下，延长DE交AB于点G,连接FG,CE=CD ①探究FG与DF的数量关系，并说明理由： ②若AE=2EF,且FG=3,求菱形ABCD的边长. 【变式3】(24-25九年级下浙江台州·期末)如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC上的任意一点，连 接AE,以AE为边作正方形AGFE,连接CG交AB于点P, D D G G P B E E E 图1 图2 图3 (I)求证：∠GAP=∠BEA: 25/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：AP=BP+BE: (3)连接AC ①如图2，若CP平分∠ACB,求BC BE的值； ②如图3，若∠ACP=30°，请直接写 BE的值 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件能使口ABCD成为菱形的是() A.AB=CD B.AB=BC C.∠BAD=90°D.AC=BD 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边形ABCD的周长为() O D A.6 B.9 C.12 D.16 3.如图，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE相交于点O,若OD=2,则AC 的长为() 26/30 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E C A.1 B.2 C.3 D.4 4.下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是() A.对角线互相垂直 B.两组对边分别平行 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH的值为() B A.4.8 B.5 C.6 D.8 6.如图，点E,F分别是矩形ABCD的CD和AB边上的点，且AE=CF.求证：DE=BF. B 7.如图，点M在口ABCD的边AD上，BM=CM,∠1=.求证：口ABCD为矩形. M D 2 B C 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8.如图，长方形纸片ABCD沿EF对折后，点B、C的对应点分别为点B,C.FC与AB交于点M.若 ∠EMF=70°，则∠FEB为() 27/30 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A M B D A.70° B.125° C.110° D.115° 9.如图，在正方形ABCD中，M,N分别是AB,BC的中点，连接DM,AN相交于点O,AN的延长线 交DC的延长线于点P.下列四个结论：①DM⊥AN:②∠ADM=∠P;③△CDO为等边三角形：④ DP=4AM.其中正确的有() M A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10.矩形ABCD绕点A顺时针旋转一定的角度得到AB1C1D1, 若点D的对应点D,落在边BC上，则CD,的长是() A D D C A.1 B.2 C.3 D.4 l1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E为AB中点，连接OE,若AC=6,BD=8, 则OE的长为() B A.2.5 B.3 C.4 D.5 28/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.正方形ABCD中，F正方形AB边上一个动点，连接DF交对角线AC于点E,过点E作EM⊥AB, EN⊥BC,垂足分别为M,N,连接MN,过E作EH⊥ED交BC于H,下列说法：①四边形MENB的 周长是一个固定值；②DE=MN;③存在某个F点，使得四边形MEHN是菱形：④DE⊥MN;⑤当F 运动到AB的中点时，BN=NH=HC;正确的有() D A.①②③ B.①③④ C.①②⑤ D.①②④⑤ 13.如图所示，口ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,DE是AB边上的高，∠OAB=∠BDE. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若∠BAD=60°，AB=4,求四边形ABCD的面积， 14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点O是AC,BD的中点，点E在四边形 ABCD外，连接BE,DE,EO,且∠BED=90°，AC=2EO. (I)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若AD=6,∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积. 15.如图，在△ABC中，D是上一点，AD=CD,DE平分∠ADC交AC于点E, ∠EDF=90°，∠DFC=90°. 29/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求证：四边形CEDF是矩形： (2)若∠A=60°，AC=2,连接BE,求BE的长. 30/30