上海市复旦中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷

2026年复旦中学高一年级下学期期末 2026.06 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1．若（是虚数单位），则复数的虚部是________． 2．已知向量，，若，则________． 3．已知，，则________． 4．等差数列中，2和8的等差中项是________． 5．函数的最小正周期是________． 6．在中，若，则的形状为________． 7．等差数列，的前项和分别是和，且（），则________． 8．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为________． 9．已知，则________． 10．在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为________． 11．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数；技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点，，；对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数（），其中；则________． 12．已知，为单位向量，设向量，，向量，的夹角为，若，则的取值范围为________． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13．已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（ ） A． B．为纯虚数 C． D． 14．阅读下列材料：有理数都能表示成（，，且，与互质）的形式，从而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数；例如：；循环小数化成分数为（ ） A． B． C． D． 15．已知向量，，对任意实数，恒有，则（ ） A． B． C． D． 16．若函数满足：对于集合内的任意，都存在，使得，则称函数在上具有性质；对于命题：①若函数（）在上具有性质，则的取值范围是；②函数（）在上具有性质，则的取值范围是；下列判断正确的是（ ） A．①②均真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②均假 三、解答题（共78分） 17．（第1小题6分，第2小题8分，共14分） 已知关于的实系数一元二次方程（，）． （1）若一根为，求，的值； （2）设，为虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值． 18．（第1小题6分，第2小题8分，共14分） 已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的的值． 19．（第1小题6分，第2小题8分，共14分） 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东15°的方向上，小岛在的北偏东60°的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西45°的方向上，小岛在的北偏东30°的方向上． （1）求处与小岛之间的距离； （2）求，两座小岛之间的距离． 20．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分） 已知中，，，令，，且；过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为；设（）． （1）求的长度； （2）若，，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 21．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分） 已知函数（）． （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $