精品解析：上海市杨思高级中学2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试卷

上海市杨思高级中学2025学年期末质量检测 高一 数学 试卷 满分100分 考试时间90分钟 命题人：舒鑑倩 审卷人：程蕾 一．填空题（本大题满分36分，共12题，每题3分） 1. 已知是虚数单位，则__________. 2. 已知向量，若，则__________. 3. 已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 4. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则___________. 6. 已知为锐角，且，则__________. 7. 已知向量与的夹角为，，，则___________. 8. 如图，矩形中， 为 中点，与 交于点 ，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）. 9. 已知正方体的边长为2，点M满足，则___________． 10. 已知，且，则（i为虚数单位的最大值是______ 11. 设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 12. 已知点 是所在平面上一点，且满足为线段 中点，且，若，则的取值范围是__________. 二．选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分） 13. 已知为虚数单位，复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 14. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知z为复数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若且，则对应的点在复平面的第四象限 C. 若则、 D. 若，则z为纯虚数 16. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题满分52分） 17. 已知复数． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）当 时，复数z是实系数一元二次方程 的一个根，求的值． 18. 已知向量，，，且． （1）求在方向上的投影向量的坐标； （2）求向量与夹角的大小．（结果用反三角表示） 19. 已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． （1）求的取值范围； （2）当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 20. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池，矩形一边 在上，点 在圆弧上，点 在边上，且米，设． （1）求扇形区域的面积； （2）若，求的长； （3）若矩形的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）写出函数的“伴随向量”，并求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于 的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨思高级中学2025学年期末质量检测 高一 数学 试卷 满分100分 考试时间90分钟 命题人：舒鑑倩 审卷人：程蕾 一．填空题（本大题满分36分，共12题，每题3分） 1. 已知是虚数单位，则__________. 【答案】0 【解析】 【详解】 2. 已知向量，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以 ，解得 . 3. 已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设及向量坐标运算可得答案. 【详解】设，因，则， 从而. 4. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算出复数，然后求模长即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】因为角的顶点是坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，它的终边过点， 所以， 所以． 故答案为：． 6. 已知为锐角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由同角三角函数基本关系求，再诱导公式化简后切化弦求解. 【详解】为锐角，故，由同角三角函数的平方关系得， 所以​. 7. 已知向量与的夹角为，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，可得， 则，所以. 8. 如图，矩形 中， 为 中点，与 交于点 ，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）. 【答案】 【解析】 【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由已知， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 9. 已知正方体 的边长为2，点M满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，利用求出M坐标，再按照数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则， 由得，即，可得. 故答案为：. 10. 已知，且，则（i为虚数单位的最大值是______ 【答案】 【解析】 【分析】设，分析出的几何意义为点(a，b)在以(0，0)为圆心，1为半径的圆上，把表示点(a，b)与点(2，2)之间的距离，利用几何法求最值. 【详解】设，则，即， 所以点(a，b)在以(0，0)为圆心，1为半径的圆上.表示点(a，b)与点(2，2)之间的距离，所以的最大值为. 故答案为：. 11. 设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期. 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 12. 已知点 是所在平面上一点，且满足为线段 中点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量条件转化为代数方程，利用点在线段上的参数表示和向量数量积求出参数范围，再将目标向量模长转化为二次函数，结合定义域分析其取值范围. 【详解】由，可知点在线段 上。 因为，以 为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设，，则，为 中点，故，， 由​，得，整理得，将代入， 化简得，则， 由得或，由得或，所以或， 则， 所以 ， 该二次函数开口向上，对称轴​， 当时，该二次函数单调递减，，当时，函数递增，， 所以，故 综上，的取值范围是. 二．选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分） 13. 已知为虚数单位，复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及复数的概念可得. 【详解】，所以的虚部为1. 故选：A. 14. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出各个函数的定义域，再根据与的关系即可做出判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，所以是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为 且，所以是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为， 且， ，，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 15. 已知z为复数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若且，则对应的点在复平面的第四象限 C. 若则、 D. 若，则z为纯虚数 【答案】C 【解析】 【分析】设 则 ，然后由题设逐个判断各选项正误即可得答案. 【详解】设， 则 ，其中 . 对于A，由题设可得 ，从而 ，即为实数，故A正确； 对于B，由题设可得在复平面的第四象限，故B正确； 对于C，，则可取， 从而除了外，还可取其他形如的值，故C错误； 对于D，，则， 结合，可得，从而为纯虚数，故D正确． 16. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三角函数的图象与性质，求得，，根据向量的线性运算，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】因为函数，由，所以， 令，即，可得， 即，当时，，所以， 因为函数关于A对称，所以 关于A的对称点为，即 的中点为A， 所以， 又由为 轴正方向的单位向量，所以， 所以. 故选：D. 三．解答题（本大题满分52分） 17. 已知复数． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）当 时，复数z是实系数一元二次方程 的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解即可； （2）先计算 时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组可求得的值，进而可求解. 【小问1详解】 复数为纯虚数， 则，解得. 【小问2详解】 当 时，， z是关于x的方程的一个根， 得：，所以， 由复数相等的充要条件得：， 解得， 所以. 18. 已知向量，，，且． （1）求在方向上的投影向量的坐标； （2）求向量与夹角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用投影向量的定义计算即可求解； （2）根据，结合向量数量积的坐标运算求得 ，进而利用向量夹角的坐标运算计算可求得向量与夹角的大小． 【小问1详解】 因为，，所以， 所以在方向上的投影向量为； 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以，，所以， ，， 所以， 所以. 19. 已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． （1）求的取值范围； （2）当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数相加求出，利用复数模长公式转化为代数式，结合基本不等式求最小值，进而求出模长范围； （2）求出复数对应复平面内点坐标，利用三点共线得出斜率相等构造方程，解方程求实数a的值． 【小问1详解】 ， ，当且仅当时取等号， 故的取值范围为． 【小问2详解】 由题意知，， 当A、B、C三点共线时，直线斜率相等， ，， 则，，则，解得． 20. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池 ，矩形一边 在上，点 在圆弧 上，点在边上，且米，设． （1）求扇形区域的面积； （2）若，求 的长； （3）若矩形 的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1）平方米; （2）米; （3）当时，取得最大值，最大值为平方米. 【解析】 【分析】（1）由扇形的面积公式求解即可； （2）在中，求得，从而可得，在中，由求解即可； （3）由题意可求得，，由矩形的面积公式及三角恒等变换可得，由三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意可知扇形的半径，圆心角， 所以扇形的面积， 所以扇形区域的面积为平方米； 【小问2详解】 因为， 在中，， 又因为 为矩形，所以， 在中，，， 所以， 即 的长为米； 【小问3详解】 在中，， ， 又因为 为矩形，所以， 在中，，， 所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以当， 所以当，即时，取最大值，为， 即当时，取得最大值，最大值为平方米. 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）写出函数的“伴随向量”，并求； （2）若函数为向量的伴随函数，在 中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于 的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）直接将函数化为，再由题中所给的定义可得； （2）先由定义可得，再结合可得，再由正弦定理及余弦定理可； （3）先由定义得，代入方程化简为，将方程的根转化为与交点的个数问题，画出函数，运用图象判断可得所求值的范围. 【小问1详解】 因为， 根据定义，伴随向量​，模长. 【小问2详解】 由定义，，由得， ​ ，故，得. 在 中，由正弦定理，故，， 因此， 由余弦定理，且，， 代入得： ，即， 解得（长度为正，舍去负根）. 【小问3详解】 若函数为向量的伴随函数，则由定义， 代入原方程，， 又因为，代入化简得： . 令，分段化简： 当时，，， 当时，，. 画出的图象，如图： 其中 ， 当时，与有个交点，不符合题意； 当时，与有个交点，不符合题意； 当时，与有个交点，符合题意； 当时，与有个交点，不符合题意； 当时，与有个交点，符合题意； 当时，与有个交点，不符合题意； 当或，与有个交点，不符合题意； 因为关于 的方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以与有个交点，因此或， 解得或. 故实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $