第二单元 角的度量（培优讲义）数学人教版四年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过单元知识框架图系统构建“角的度量”知识体系，核心知识梳理涵盖角的定义、分类、度量单位与工具、画角方法及综合应用等九大知识点，以导图形式呈现知识脉络，清晰展现锐角、直角、钝角等概念的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“典例精讲+真题演练”的分层设计，如“度量的本质”例题通过对比长度、面积、角的测量原理，培养量感与几何直观，“有序数角”规律推导（n条射线总个数公式）渗透推理意识。精选名校真题与易错题，基础学生可夯实基础，培优学生能突破拓展，为教师提供精准教学支持。

知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第二单元 角的度量（培优讲义） （原卷版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为人教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：角的定义 1.从静态角度认识角： 从一个点引出两条射线得到的图形是角。 2.从动态角度认识角： 角也可以从旋转的角度来认识，角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 知识点二：角的分类及特征 1.周角：一条射线绕它的端点旋转1周，形成周角，1周角=360°。 2.平角：一条射线绕它的端点旋转周，形成平角，1平角=180°。 3.直角：一条射线绕它的端点旋转周，形成直角，1直角=90°。 4.锐角：一条射线绕它的端点旋转不到周，形成锐角，度数范围为0°<锐角<90°。 5.钝角：一条射线绕它的端点旋转超过周、不到周，形成钝角，度数范围为90°<钝角<180°。 知识点三：各类角的关系 1.大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角 2.换算关系：1周角=2平角=4直角 知识点四：角的度量单位 要准确测量一个角的大小，应该用一个合适的角作单位来量。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。 由此可推导：1周角=360°，1平角=周角=180°，1直角=周角=90° 知识点五：角的度量工具 为了方便测量，人们制作了度量角的工具——量角器。量角器是把半圆分成180等份制成的，包含中心、0°刻度线，设有内外两圈刻度。 知识点六：角的度量方法 1.把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。 2.角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 知识点七：度量的本质 测量长度、测量面积、测量角的原理一致，都是看被测量的图形包含了多少个相应的度量单位：线段的长度包含了几个1cm，长度就是几厘米；长方形的面积包含了几个1cm2，面积就是几平方厘米；角的大小包含了几个1°，度数就是多少度。 知识点八：画指定度数的角 1.画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2.在量角器对应度数刻度线的地方点一个点。 3.以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 可根据需求画出不同开口方向的指定度数的角。 知识点九：角的综合应用 1.三角尺拼角 利用一副三角尺上的固定角度（30°、45°、60°、90°），通过角度相加或相减，可以拼出多种不同度数的角，例如75°、105°、120°、135°、15°等。 2.对顶角的性质 两条直线相交形成4个角，其中相对的两个角为对顶角，对顶角的度数相等。 3.有序数角 数角时按照固定顺序，依次数出单个小角、两个组合的角、多个组合的角，最终算出总个数。 规律为：从同一点引出n条射线，角的总个数为（n – 1）+（n – 2）+ ···+ 1。 4.生活实际应用 角度在生活中有广泛应用，例如指挥机器人送餐时，可以通过控制机器人左转/右转指定角度、直行指定格数，规划精准的行走路线，完成送餐任务。 三、典例精讲巩固 知识点一：角的定义 【例1】（25-26·河北邢台·期末）从一点引出两条射线所组成的图形叫作( )，把它也可以看作是由一条射线绕着它的( )，从一个位置( )另一个位置所形成的图形。 【例2】（19-20·天津东丽·期末）下列关于角的说法，正确的有（    ）个。 ①两条射线组成的图形叫做角 ②角的两条边越长，角就越大 ③一条射线绕着它的端点旋转一周就形成了一个周角 ④角可以看作是由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二：角的分类及特征 【例3】（24-25·广东河源·期中）把下面的角动手分一分。 48°   92°   180°   126°   75°   135°   270°   90°   89° (1)是锐角的有( )； (2)是直角的有( )； (3)是钝角的有( )； (4)是平角的有( )。 【例4】（24-25·全国·期末）连一连。 知识点三：各类角的关系 【例5】（25-26·甘肃酒泉·期末）下面关系正确的是（    ）。 A．1个平角＝4个直角 B．1个钝角＝2个直角 C．1个平角＝3个直角 D．1个周角＝4个直角 【例6】（25-26·陕西西安·期末）比直角大20°的角是( )°；比平角小45°的角是( )°；比周角小78°的角是( )°。 知识点四：角的度量单位 【例7】（24-25·山东·期中）把圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作( )度，记作( )°，通常用( )作为度量角的单位，那么15份所对的角的大小是( )°。 【例8】（25-26·河南南阳·期末）判断题：“角”的概念来自美索不达米亚的巴比伦文明。巴比伦人发现，春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径。受此启发，他们定义圆周为360度，平角为180度。角度的符号“°”最早就是代表太阳。下列关于角的说法正确的是①。( ) ①将圆平均分为360份，每份所对应的角是1°②一条直线就是平角 ③大于或等于90°的角叫作钝角    ④角的大小与边的长短有关 知识点五：角的度量工具 【例9】 （22-23·甘肃张掖·期中）测量角的大小，我们所用的工具是( )，单位是( )。 【例10】（23-24·江西赣州·期末）判断题：量角器上的内外两圈刻度是为了方便测量开口方向不同的角。( ) 知识点六：角的度量方法 【例11】（25-26·山东菏泽·期中）在使用量角器测量角时，要做到“两重合”，即量角器的中心与角的（    ）重合，0°刻度线与角的一条边重合。 A．端点 B．顶点 C．中点 D．任意点 【例12】（21-22·四川成都·期末）关于量角器，以下说法正确的有：①使用量角器量角时，角的顶点必须与量角器中心重合；②量角器的0刻度线因磨损而无法辨认时，该量角器也有可能量得角的大小；③用量角器量角时，为了便于读出角的度数，有时需要将角的两边延长；④量角器上有内圈度数和外圈度数，读数更方便，不用区分；⑤老师用量角器比学生用量角器大多了，同一个角，前者量出的角度也要大一些。（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ 知识点七：度量的本质 【例13】（25-26·辽宁沈阳·期末）对比观察，你发现了什么？ (1)图中线段的长度包含了( )个1cm，它的长度是( )cm。 (2)图中长方形的面积包含了( )个1cm2，它的面积是( )。 (3)图中角的大小包含了( )个1°，它的角度是( )°。 (4)我发现：测量长度、测量面积、测量角都是看被测量的图形包含了多少个相应的( )。 【例14】（22-23·重庆·期末）将圆平均分成360份，将每一份所对的角的大小作为度量角的单位，它的大小是( )，一个平角里包含了( )个这样的单位。 知识点八：画指定度数的角 【例15】（25-26·陕西咸阳·期末）用量角器画出下列各角。 【例16】（25-26·陕西榆林·期末）画出一个比直角大40°的角，并标出角的度数。 知识点九：角的综合应用 【例17】（25-26·河北石家庄·期末）用一副三角板拼一拼，可以拼出不同度数的角，下面图（    ）拼出的角是105°。 A． B． C． D． 【例18】（25-26·河北邢台·期末）先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 【例19】（25-26·河南南阳·期中）数一数，下面图形各有几个角。 ( )个         ( )个 【例20】（25-26·河北邢台·期末）如图，已知∠1＝38°，则∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 四、真题演练提升 1．（25-26·陕西汉中·期末）量一量，填一填。 ∠2＝( )°，是( )角。 2．（25-26·江西赣州·期末）军军用量角器量角时，其中一条边没有与0°刻度线对齐，但与10°刻度线对齐了，角的另一条边对着90°刻度线，这个角的度数是( )°。 3．（25-26·河北邯郸·期末）如下图。 ∠2＝35°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 4．（25-26·河北邯郸·期末）钟面上，3时整，时针与分针组成的较小的夹角是( )°；6时整，时针和分针成( )角；10时整，时针与分针组成的较小的夹角是( )角。 5．（25-26·甘肃酒泉·期末）求下列角的度数。 ∠1＝( )°      ∠2＝( )°     ∠3＝( )° 6．（25-26·河北石家庄·期末）图中，有( )个锐角，( )个钝角。 7．（24-25·安徽合肥·期末）一个锐角加上一个钝角，它们的和一定（    ）。 A．小于平角 B．大于平角 C．小于270度 D．大于270度 8．（25-26·浙江杭州·期末）下面度量角的方法和结果都正确的是（    ）。 A． B． C． D． 9．（25-26·山东济南·期末）一副三角尺不能一次拼出（   ）的角。 A．75° B．105° C．115° D．135° 10．（25-26·陕西渭南·期末）观察下面的钟面，时针和分针所形成的角是平角的是（    ）。 A． B． C．D． 11．（25-26·江西南昌·期末）下面各图中，是周角的是（    ）。 A． B． C． D． 12．（25-26·福建福州·期末）下图中，能比较合理地表示右边量角器中角的大小的点是（    ）。 A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 13．（23-24·湖北·期末）连一连。 锐角＋锐角得到锐角               一定 直角＋锐角得到钝角               可能 锐角＋锐角得到平角              不可能 钝角－锐角得到直角 14．（21-22·全国·期末）连一连。 15．（25-26·河北沧州·期末）根据给定的顶点和一条边，画一个115°的角。 16．（25-26·河北张家口·期末）以点O为顶点，画一个比直角大15°的角。 17．（25-26·河北保定·期末）用量角器画一个100°的角，用一副三角尺画一个15°的角。（保留作图痕迹） 18．（25-26·河北保定·期末）图中∠1是（    ）°。在图中画一个比∠1大55°的角。 19．（25-26·陕西渭南·期末）在下边画出一个比平角小75°的角，并标出角的度数。 20．（25-26·陕西安康·期末）量一量，画一画。 (1)图中∠1＝( )°，是一个( )角。 (2)以O为顶点，射线OA为一条边，画一个100°的角。 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第二单元 角的度量（培优讲义） （解析版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为人教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：角的定义 1.从静态角度认识角： 从一个点引出两条射线得到的图形是角。 2.从动态角度认识角： 角也可以从旋转的角度来认识，角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 知识点二：角的分类及特征 1.周角：一条射线绕它的端点旋转1周，形成周角，1周角=360°。 2.平角：一条射线绕它的端点旋转周，形成平角，1平角=180°。 3.直角：一条射线绕它的端点旋转周，形成直角，1直角=90°。 4.锐角：一条射线绕它的端点旋转不到周，形成锐角，度数范围为0°<锐角<90°。 5.钝角：一条射线绕它的端点旋转超过周、不到周，形成钝角，度数范围为90°<钝角<180°。 知识点三：各类角的关系 1.大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角 2.换算关系：1周角=2平角=4直角 知识点四：角的度量单位 要准确测量一个角的大小，应该用一个合适的角作单位来量。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。 由此可推导：1周角=360°，1平角=周角=180°，1直角=周角=90° 知识点五：角的度量工具 为了方便测量，人们制作了度量角的工具——量角器。量角器是把半圆分成180等份制成的，包含中心、0°刻度线，设有内外两圈刻度。 知识点六：角的度量方法 1.把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。 2.角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 知识点七：度量的本质 测量长度、测量面积、测量角的原理一致，都是看被测量的图形包含了多少个相应的度量单位：线段的长度包含了几个1cm，长度就是几厘米；长方形的面积包含了几个1cm2，面积就是几平方厘米；角的大小包含了几个1°，度数就是多少度。 知识点八：画指定度数的角 1.画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2.在量角器对应度数刻度线的地方点一个点。 3.以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 可根据需求画出不同开口方向的指定度数的角。 知识点九：角的综合应用 1.三角尺拼角 利用一副三角尺上的固定角度（30°、45°、60°、90°），通过角度相加或相减，可以拼出多种不同度数的角，例如75°、105°、120°、135°、15°等。 2.对顶角的性质 两条直线相交形成4个角，其中相对的两个角为对顶角，对顶角的度数相等。 3.有序数角 数角时按照固定顺序，依次数出单个小角、两个组合的角、多个组合的角，最终算出总个数。 规律为：从同一点引出n条射线，角的总个数为（n – 1）+（n – 2）+ ···+ 1。 4.生活实际应用 角度在生活中有广泛应用，例如指挥机器人送餐时，可以通过控制机器人左转/右转指定角度、直行指定格数，规划精准的行走路线，完成送餐任务。 三、典例精讲巩固 知识点一：角的定义 【例1】（25-26·河北邢台·期末）从一点引出两条射线所组成的图形叫作( )，把它也可以看作是由一条射线绕着它的( )，从一个位置( )另一个位置所形成的图形。 【答案】 角 端点 旋转到 【详解】根据角的定义：角是从一点引出两条射线所组成的图形，也可以看作一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 【例2】（19-20·天津东丽·期末）下列关于角的说法，正确的有（    ）个。 ①两条射线组成的图形叫做角 ②角的两条边越长，角就越大 ③一条射线绕着它的端点旋转一周就形成了一个周角 ④角可以看作是由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，原说法错误； ②角的大小与角叉开的大小有关，与两条边的长度无关，原说法错误； ③周角是一条射线沿它的端点旋转一周所形成的角，原说法正确； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，原说法正确。 【详解】根据分析可知，③和④说法正确。 故答案为：B 【点睛】本题是关于角的基本知识，要熟练掌握。 知识点二：角的分类及特征 【例3】（24-25·广东河源·期中）把下面的角动手分一分。 48°   92°   180°   126°   75°   135°   270°   90°   89° (1)是锐角的有( )； (2)是直角的有( )； (3)是钝角的有( )； (4)是平角的有( )。 【答案】(1)48°、75°、89° (2)90° (3)92°、126°、135° (4)180° 【分析】锐角是大于0°且小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角，平角是180°的角，逐一判断每个角的类型即可。 【详解】（1）是锐角的有48°、75°、89°； （2）是直角的有90°； （3）是钝角的有92°、126°、135°； （4）是平角的有180°。 【例4】（24-25·全国·期末）连一连。 【答案】见详解 【分析】直线没有端点，是可以无限延伸的； 射线只有一个端点，可以向一端无限延伸； 线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段。 小于90°的角是锐角； 等于90°的角是直角； 大于90°而小于180°的角是钝角； 等于180°的角是平角； 等于360°的角是周角。据此解答。 【详解】根据分析，连线如下图： 知识点三：各类角的关系 【例5】（25-26·甘肃酒泉·期末）下面关系正确的是（    ）。 A．1个平角＝4个直角 B．1个钝角＝2个直角 C．1个平角＝3个直角 D．1个周角＝4个直角 【答案】D 【分析】1个平角等于180°，1个直角等于90°，1个钝角大于90°而小于180°，1个周角等于360°，据此解答。 【详解】A．1个平角＝180°，4个直角＝360°，1个平角≠4个直角； B．1个钝角大于90°小于180°，2个直角＝180°，1个钝角≠2个直角； C．1个平角等于180°，3个直角＝270°，1个平角≠3个直角； D．1个周角等于360°，4个直角＝360°，1个周角＝4个直角。 【例6】（25-26·陕西西安·期末）比直角大20°的角是( )°；比平角小45°的角是( )°；比周角小78°的角是( )°。 【答案】 110 135 282 【分析】直角是90°，平角是180°，周角是360°。求比直角大20°的角，就是用直角的度数加上20°；求比平角小45°的角，就是用平角的度数减去45°；求比周角小78°的角，就是用周角的度数减去78°。 【详解】90°＋20°＝110° 180°－45°＝135° 360°－78°＝282° 比直角大20°的角是110°；比平角小45°的角是135°；比周角小78°的角是282°。 知识点四：角的度量单位 【例7】（24-25·山东·期中）把圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作( )度，记作( )°，通常用( )作为度量角的单位，那么15份所对的角的大小是( )°。 【答案】 1 1 度 15 【分析】将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度（记作1°），通常用“度”作为角的计量单位，几份所对的角的大小就是几度；据此即可解答。 【详解】把圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作：1°，通常用度作为度量角的单位，那么15份所对的角的大小是15°。 【例8】（25-26·河南南阳·期末）判断题：“角”的概念来自美索不达米亚的巴比伦文明。巴比伦人发现，春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径。受此启发，他们定义圆周为360度，平角为180度。角度的符号“°”最早就是代表太阳。下列关于角的说法正确的是①。( ) ①将圆平均分为360份，每份所对应的角是1°②一条直线就是平角 ③大于或等于90°的角叫作钝角    ④角的大小与边的长短有关 【答案】√ 【分析】①将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作 1°。该说法符合定义，正确。 ② 平角是一条射线绕它的端点旋转半周形成的角，它有顶点和两条边；直线没有端点，向两端无限延伸。平角不等于直线。该说法错误。 ③ 钝角是指大于 90°且小于 180°的角；等于 90°的角是直角，原题说等于90°的角是钝角，说法错误。 ④ 角的大小与角的两边张开的大小有关，与两边的长短无关。该说法错误。 综上所述，只有说法①正确。 【详解】根据分析可知： 下列关于角的说法正确的是①，说法正确。 故答案为：√ 知识点五：角的度量工具 【例9】（22-23·甘肃张掖·期中）测量角的大小，我们所用的工具是( )，单位是( )。 【答案】 量角器 度 【详解】角的度量工具是量角器。角的计量单位是“度”，用符号是“°”。量角器为半圆形状，被平均分为180份，每一份所对应的角的大小是1度，记作1°。则测量角的大小，我们所用的工具是量角器，单位是度。 【例10】（23-24·江西赣州·期末）判断题：量角器上的内外两圈刻度是为了方便测量开口方向不同的角。( ) 【答案】√ 【分析】量角器上有两圈刻度，是为了测量开口方向不同的角度。 【详解】量角器上的内外两圈刻度是为了方便测量开口方向不同的角。原题说法正确。 故答案为：√ 知识点六：角的度量方法 【例11】（25-26·山东菏泽·期中）在使用量角器测量角时，要做到“两重合”，即量角器的中心与角的（    ）重合，0°刻度线与角的一条边重合。 A．端点 B．顶点 C．中点 D．任意点 【答案】B 【分析】使用量角器测量角时，“两重合”的具体内容是：量角器的中心要与角的顶点重合，同时0°刻度线要与角的一条边重合。据此解答。 【详解】A．量角器中心与角的端点重合不符合量角器测量角的“两重合”要求，A错误。 B．量角器中心与角的顶点重合，满足“两重合”中关于中心重合的要求，B正确。 C．量角器中心与角的中点重合不是量角器测量角时的正确重合方式，C错误。 D．量角器中心与角的任意点重合不符合测量规范，D错误。 故答案为：B 【例12】（21-22·四川成都·期末）关于量角器，以下说法正确的有：①使用量角器量角时，角的顶点必须与量角器中心重合；②量角器的0刻度线因磨损而无法辨认时，该量角器也有可能量得角的大小；③用量角器量角时，为了便于读出角的度数，有时需要将角的两边延长；④量角器上有内圈度数和外圈度数，读数更方便，不用区分；⑤老师用量角器比学生用量角器大多了，同一个角，前者量出的角度也要大一些。（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ 【答案】A 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；如果角的起始边不是与0刻度线重合，角的度数为两条边所对的刻度之差。 【详解】①根据角的度量方法可知，使用量角器量角时，角的顶点必须与量角器中心重合，原说法正确； ②根据角的度量方法可知，量角器的0刻度线因磨损而无法辨认时，该量角器也可以量得角的大小，原说法正确； ③角的大小与两边的长短无关，所以用量角器量角时，为了便于读出角的度数，有时需要将角的两边延长，原说法正确； ④量角器上有内圈度数和外圈度数，读数更方便，但要根据起始边来选用哪个读数，所以要区分，原说法错误； ⑤老师用量角器比学生用量角器大多了，同一个角，量出的角的度数是一样大，原说法错误； 故答案为：A。 【点睛】本题主要考查学生用量角器测量角的方法的掌握。 知识点七：度量的本质 【例13】（25-26·辽宁沈阳·期末）对比观察，你发现了什么？ (1)图中线段的长度包含了( )个1cm，它的长度是( )cm。 (2)图中长方形的面积包含了( )个1cm2，它的面积是( )。 (3)图中角的大小包含了( )个1°，它的角度是( )°。 (4)我发现：测量长度、测量面积、测量角都是看被测量的图形包含了多少个相应的( )。 【答案】(1) 3 3 (2) 8 8 (3) 30 30 (4)计量单位 【分析】（1）线段一个端点对齐0刻度，另一个端点对齐3，就是3个1厘米（cm），也就是3厘米（cm）。 （2）长方形里包含了8个1平方厘米的小正方形，也就是8平方厘米。 （3）角的一条边对齐0刻度，另一条边对齐30°的刻度，所以包含了30个1°，也就是30°。 （4）发现测量长度、面积、角度时都是看测量图形包含了多少个计量单位。 【详解】（1）图中线段的长度包含了3个1cm，它的长度是3cm。 （2）图中长方形的面积包含了8个1cm2，它的面积是8。 （3）图中角的大小包含了30个1°，它的角度是30°。 （4）我发现：测量长度、测量面积、测量角都是看被测量的图形包含了多少个相应的计量单位。 【例14】（22-23·重庆·期末）将圆平均分成360份，将每一份所对的角的大小作为度量角的单位，它的大小是( )，一个平角里包含了( )个这样的单位。 【答案】 1度/1° 180 【分析】圆周角的度数是360度，把圆平均分成360份，其中的l份就是l度角。平角的度数是180度。据此解答。 【详解】由分析可知，将圆平均分成360份，将每一份所对的角的大小作为度量角的单位，它的大小是1度，一个平角里包含了180个这样的单位。量角器就是根据这制造而成的，量角器能够度量180度以内的角。 【点睛】本题主要考查角的大小和角的分类，属于基础知识，要熟练掌握。 知识点八：画指定度数的角 【例15】（25-26·陕西咸阳·期末）用量角器画出下列各角。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角，先画一条射线，作为角的一条边，射线的端点就是角的顶点。把量角器的0°刻度线和射线的边重合。在量角器对应度数的刻度线位置，点一个小点。从角的顶点出发，过标记的小点，再画一条射线，这条射线就是角的另一条边。在角的开口处，写上对应的度数。 【详解】 【例16】（25-26·陕西榆林·期末）画出一个比直角大40°的角，并标出角的度数。 【答案】 【分析】直角是90°，90°＋40°＝130°，即用量角器画一个130°的角即可；画角时，先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在130°的刻度上点一点，然后以射线的端点为起点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角，并在图上标出130°。 【详解】略 知识点九：角的综合应用 【例17】（25-26·河北石家庄·期末）用一副三角板拼一拼，可以拼出不同度数的角，下面图（    ）拼出的角是105°。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一副三角板中分别有°、°、°和°的角，分析每个选项中的角是由哪两个角拼成的，找出拼出的角是°的即可。 【详解】A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意。 【例18】（25-26·河北邢台·期末）先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 【答案】 【分析】（1）先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器85°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角； （2）一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，因为60°＋90°＝150°，据此拼出即可。 【详解】略 【例19】（25-26·河南南阳·期中）数一数，下面图形各有几个角。 ( )个         ( )个 【答案】 10 8 【分析】 如图：单个角有4个，由2个角组成的角有3个，由3个角组成的角有2个，由4个角组成的角有1个，4＋3＋2＋1＝10（个），共有10个角。 如图：单个角有6个，由2个角组成的角有2个，6＋2＝8（个），共有8个角。 【详解】 【例20】（25-26·河北邢台·期末）如图，已知∠1＝38°，则∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 142 38 142 【分析】平角＝180°，∠1和∠2可以组成一个平角，∠2和∠3可以组成一个平角，∠3和∠4可以组成一个平角，据此解答。 【详解】∠2：180°－∠1 ＝180°－38° ＝142° ∠3：180°－∠2 ＝180°－142° ＝38° ∠4：180°－∠3 ＝180°－38° ＝142° 四、真题演练提升 1．（25-26·陕西汉中·期末）量一量，填一填。 ∠2＝( )°，是( )角。 【答案】 125 钝 【分析】用量角器量角的度数：首先把量角器放在所画角的上面，然后找到角的顶点，使量角器的中心位置和角的顶点重合，然后使角的一边和零刻度线重合（两个重合很重要）。然后找到角的另外一边，看角的另外一边落在量角器的哪个刻度上，此时这个角的度数就是多少； 大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，据此解答即可。 【详解】 ∠2＝125°，是钝角。 2．（25-26·江西赣州·期末）军军用量角器量角时，其中一条边没有与0°刻度线对齐，但与10°刻度线对齐了，角的另一条边对着90°刻度线，这个角的度数是( )°。 【答案】80 【分析】用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，看准内圈还是外圈，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数。 角的一条边没有与0刻度线对齐，而是与10°的刻度线对齐了，这样一个角被他量成了90°的角，用90°减10°才是这个角的度数。 【详解】90°－10°＝80° 这个角度数是80°。 3．（25-26·河北邯郸·期末）如下图。 ∠2＝35°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 【答案】 90 55 125 55 【分析】如图，∠1和∠2以及∠3组成一个平角，平角是180°。∠1是直角，直角是90°。用180°减去90°，再减去∠2的度数，就是∠3的度数。∠3和∠4组成平角，用180°减去∠3的度数，就是∠4的度数。∠4和∠5组成平角，用180°减去∠4的度数，就是∠5的度数。 【详解】180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° 180°－55°＝125° 180°－125°＝55° 所以，∠2＝35°，∠1＝90°，∠3＝55°，∠4＝125°，∠5＝55°。 4．（25-26·河北邯郸·期末）钟面上，3时整，时针与分针组成的较小的夹角是( )°；6时整，时针和分针成( )角；10时整，时针与分针组成的较小的夹角是( )角。 【答案】 90 平 锐 【分析】钟面一圈是360°，被平均分成12个大格，所以每个大格的度数是： 360°÷12 ＝ 30°。 【详解】3时整：时针指向3，分针指向12，中间有3个大格 3×30° ＝ 90° 。- 6时整：时针指向6，分针指向12，中间有6个大格 6×30° ＝ 180°，180°的角是平角 。 10时整：时针指向10，分针指向12，中间有2个大格 2×30° ＝ 60°，60°的角是锐角 。 5．（25-26·甘肃酒泉·期末）求下列角的度数。 ∠1＝( )°      ∠2＝( )°     ∠3＝( )° 【答案】 105 150 75 【分析】本题主要考察三角尺的度数及平角的度数。 常见的三角尺有两种：一种是等腰直角三角尺，角度为90°、45°、45°；另一种是直角三角尺，角度为90°、60°、30°。平角的度数是180°。据此解答。 【详解】如图，∠1＝60°＋45°＝105°； ∠2＝180°－30°＝150°； ∠3＝180°－45°－60°＝75° 6．（25-26·河北石家庄·期末）图中，有( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 10 2 【分析】小于90°的角叫做锐角，90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，据此解答即可。 【详解】根据分析，数角如下： 7．（24-25·安徽合肥·期末）一个锐角加上一个钝角，它们的和一定（    ）。 A．小于平角 B．大于平角 C．小于270度 D．大于270度 【答案】C 【分析】锐角＜90度，90度＜钝角＜180度，一个锐角加上一个钝角一定小于（90度＋180度）。 【详解】90＋180＝270（度） 即它们的和一定小于270度。 8．（25-26·浙江杭州·期末）下面度量角的方法和结果都正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据用量角器量角的方法，把量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，从这条0°刻度线数起，看角的另一条边对着的刻度，就是这个角的度数。据此解答。 【详解】A．量角器的中心点未与角的顶点重合，图中度量方法错误； B．量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边对着的刻度是75，所以∠1＝75°，图中度量结果错误； C．量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边对着的刻度是100，所以∠1＝100°，图中度量结果错误； D．量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边对着的刻度是20，所以∠1＝20°，图中度量方法和结果正确。 所以，度量角的方法和结果都正确的是。 9．（25-26·山东济南·期末）一副三角尺不能一次拼出（   ）的角。 A．75° B．105° C．115° D．135° 【答案】C 【分析】一副三角尺的角度有30°、45°、60°、90°。能拼出的角是这些固定角度相加或相减得到的度数，把每个选项的度数和能拼出的角度进行对比。 【详解】A．30°＋45°＝75°，能一次拼出，不符合题意； B．45°＋60°＝105°，能一次拼出，不符合题意； C．无法用这些角度相加或相减得到，所以不能一次拼出，符合题意； D．45°＋90°＝135°，能一次拼出，不符合题意。 10．（25-26·陕西渭南·期末）观察下面的钟面，时针和分针所形成的角是平角的是（    ）。 A． B． C．D． 【答案】B 【分析】钟面上一共有12个大格，每一大格是30°，锐角大于0°小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°，平角等于180°，周角等于360°；据此解答即可。 【详解】A．当时针指向3和4之间，分针指向9时，时针和分针所形成的较小角是5个大格多一些，所以形成的角大于90°小于180°，是钝角，不是平角； B．时针指向6，分针指向12，时针与分针在一条直线上，间隔6个大格，形成的角是180°，是平角； C．当时针指向9和10之间，分针指向3时，时针和分针所形成的较小角是5个大格多一些 ，所以形成的角大于90°小于180°，是钝角，不是平角； D．时针和分针都指向12，时针与分针重合，时针和分针形成的角是周角。 11．（25-26·江西南昌·期末）下面各图中，是周角的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于360°，据此找出周角即可。 【详解】A．该角是锐角，不符合题意； B．该角是周角，符合题意； C．该角是钝角，不符合题意； D．该角是直角，不符合题意。 是周角的是。 12．（25-26·福建福州·期末）下图中，能比较合理地表示右边量角器中角的大小的点是（    ）。 A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】通过观察 可以发现量角器上角的一条边对着量角器外圈上60°刻度线，另一条边对着量角器外圈上130°刻度线，所以这个角的度数是130°－60°＝70°。通过观察线段图可以看出，丙和丁在90°和180°之间，所以丙和丁表示的角度大于90°，小于180°；甲和乙在0°和90°之间，所以甲和乙表示的角度大于0°，小于90°，通过线段图可以看出乙表示的角度最接近70°，由此解答。 【详解】130°－60°＝70° 根据分析可知，下图中，能比较合理地表示右边量角器中角的大小的点是B点。 13．（23-24·湖北·期末）连一连。 锐角＋锐角得到锐角               一定 直角＋锐角得到钝角               可能 锐角＋锐角得到平角              不可能 钝角－锐角得到直角 【答案】见详解 【分析】锐角＋锐角可能得到锐角，20°＋20°＝40°；直角＋锐角一定得到钝角，因为直角已经是90°角，再加任何度数的锐角就是钝角；锐角＋锐角不可能得到平角，因为两个角都小于90°，相加不可能达到180°；钝角－锐角可能得到直角，135°－45°＝90°，据此解答即可。 【详解】 14．（21-22·全国·期末）连一连。 【答案】见详解 【分析】小于90°的角，是锐角；等于90°的角是直角；大于90°而小于180°的角，是钝角；根据锐角、直角、钝角的定义判断即可。 【详解】根据分析连线如下： 【点睛】正确理解钝角、直角、锐角的含义，是解答此题的关键。 15．（25-26·河北沧州·期末）根据给定的顶点和一条边，画一个115°的角。 【答案】 【分析】把量角器的中心对准左边的顶点，量角器的0°刻度线对准题目给出的那条边，在量角器上找到外圈115°的刻度线，在这个位置轻轻点上一个点。以顶点为起点，经过刚画的点，画出一条新的射线，这就是角的另一条边。在角的内部标上符号，并写上115°。 【详解】略 16．（25-26·河北张家口·期末）以点O为顶点，画一个比直角大15°的角。 【答案】 【分析】先计算要画的角的度数：直角是90°，因此要求的角的度数为：90°＋15°＝105°，我们需要画顶点为O的105°角。画法步骤（题目已给出顶点O和一条边： ① 把量角器的中心和点O重合，让量角器的0刻度线和图中已有的射线重合；② 在量角器 105°刻度线的位置点一个点；③ 从O点出发，过这个点画出一条新的射线，就得到符合要求的角。 【详解】90°＋15°＝105° 画图略 17．（25-26·河北保定·期末）用量角器画一个100°的角，用一副三角尺画一个15°的角。（保留作图痕迹） 【答案】 【分析】用量角器画，先画射线，把量角器的中心与射线的顶点重合，0度刻度线与射线重合，在量角器上表示与已知角度数相等的刻度画与原来射线是公共顶点的射线，两射线所成的角就是与已知角相等的角。 已知一副三角板上的角的度数有90°、45°、45°和90°、60°、30°，且15°＝60°－45°，所以可以先用三角板上的60°画一个角，再以所画角的顶点为顶点，以60°角的一条边为边，再用三角板的45°角，在60°里面画一个45°的角，即画出一个15°的角；据此作图。 【详解】略 18．（25-26·河北保定·期末）图中∠1是（    ）°。在图中画一个比∠1大55°的角。 【答案】 70； 【分析】先确定量角器的读数规则，确认∠1的一条边与量角器零刻度线对齐的位置，读取另一条边对应的刻度得到∠1的度数。 利用加法计算出比∠1大55°的角的度数。按照画角的步骤，先画顶点和一条边，将量角器中心与顶点对齐、零刻度线与边对齐，找到目标度数对应的刻度标记点，连接顶点与该点画出所求角。 【详解】∠1是70°； 比∠1大55°的角是70°＋55°＝125°。 19．（25-26·陕西渭南·期末）在下边画出一个比平角小75°的角，并标出角的度数。 【答案】见详解 【分析】平角是180度的角，则这个角的度数是180－75＝105（度）；画角时先画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器上找到105度刻度线的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此画出105度的角，并在图中标记度数。 【详解】180－75＝105（度），作图如下： 20．（25-26·陕西安康·期末）量一量，画一画。 (1)图中∠1＝( )°，是一个( )角。 (2)以O为顶点，射线OA为一条边，画一个100°的角。 【答案】(1) 40 锐 (2)见详解 【分析】（1）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此量出∠1的度数。小于90°的是锐角，等于90°的是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的是平角，等于360°的是周角，据此判断。 （2）量角器画角的方法：将量角器的中心与顶点O重合，0刻度线与射线OA重合，根据所画角的度数在100°刻度线处点一个点，以O点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。（画法不唯一） 【详解】（1）经过测量，图中∠1＝40°，小于90°，这个角是个锐角。 （2）作图如下： 8 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $