精品解析：2026年上海市上海市静安区上海田家炳中学中考前模拟数学试题

2026届田家炳特色实验课程实验班初中学业水平性考试模拟 数学 试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．本卷选择题均为单选题 2．试卷共8页，在试卷上准确填写个人考号 3．不可以使用科学计算器 一、选择题（6题，每题均为4分，共24分） 1. 下列属于正有理数的是（ ） A. B. C. 54 D. 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“直角梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 5. 将直线 的图像绕原点旋转一周，不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 请你利用研究函数的经验研究：的性质，下列说法中错误的是（ ） A. 该函数的图象关于直线对称 B. 该函数图象在轴上方且该函数图象没有最低点； C. 若和是该函数图象上两点，则； D. 将该函数向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的函数解析式是 二、填空题（11题，每题均为4分，共44分） 7. 计算：_________． 8. 方程组的解是_________． 9. 已知：和是同类项，则_________． 10. 已知整式分解因式的结果为，则______． 11. 如图，在正五边形中，是的中点，连接，作交于点G，则的度数是______． 12. 如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 13. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 14. 若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 15. 如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 16. 如图，在中，，，点M，N分别在边上，将沿直线翻折，点C恰好落在边上，记为点，如果与相似，那么折痕的长为_________． 17. 已知实数为方程 的根，且的值中有且仅有1，2，3，4，则的方差的最大值为_________． 三、解答题（7题，共82分） 18. 舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． （1）已知关于的方程：有增根，求：； （2）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 19. 比，是两数相除的简约表达，揭示部分间的量级关系．比的妙用在于化繁为简． （1）已知某地图的比例尺为，其中80000用科学记数法表示为____________，该地图上代表实际距离____________m． （2）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为5，四个黄金分割点组成的正方形的边长为_________． （3）若正数，满足：，试将按照从小到大的顺序排列． 20. 已知：如图，在中，平分劣弧，与交于点E，点D在延长线上，，连接． （1）求证：平分； （2）连接、，延长交于点F，如果，求证：四边形是正方形． 21. 理解与转化： 不等式是量化某个未知量限制条件的重要工具，在现实生活中我们往往会在范围允许的情况下，选择整数方便运算，也常利用数形集合的方式理解． 【直接求解】：正确解不等式组是我们解决不等式问题的基本计算要求． （1）解不等式组：，并直接写出其自然数解； 【数形结合】：许多不等式具有其几何意义． （2）结合数轴，请直接写出的几何意义，并直接将解集标在数轴上； （3）结合函数图象解决问题： [问题]：一个数的倒数比其相反数离数轴原点的距离近，求：这个数的取值范围； [列出不等式]：_______________； [数形结合]：利用正比例函数和反比例函数的图象（请作图在下方），解得这个数的取值范围为__________． 22. 综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率． 材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单： （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： （1）根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． （2）根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 23. 定义：若的三个顶点都在二次函数的图象上，且存在x轴上的一点满足：，则称为“平稳三角形”． 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． （1）求：二次函数的表达式； （2）若为“平稳三角形”，存在x轴上的一点满足：，求证：为的重心； （3）若为“平稳三角形”，中线交x轴于点G，求：的面积； （4）在（3）的条件下，若平面直角坐标系中有一点使得四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 24. 探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． （1）小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（ ） A．逆命题，必然事件 B．逆命题，不可能事件 C．同义命题， 必然事件 （2）三角形内切圆的圆心是三角形（ ） A．内角平分线的交点 B．中线的交点 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． （3）当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； （4）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6 D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届田家炳特色实验课程实验班初中学业水平性考试模拟 数学 试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．本卷选择题均为单选题 2．试卷共8页，在试卷上准确填写个人考号 3．不可以使用科学计算器 一、选择题（6题，每题均为4分，共24分） 1. 下列属于正有理数的是（ ） A. B. C. 54 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式． 3. 现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“直角梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据中心对称图形和轴对称图形的定义，确定符合条件的图形个数，再根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：∵总共有5种等可能的抽取结果，逐一判断各图形性质：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，直角梯形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，只有菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴符合条件的结果共2种，根据概率公式可得，从中任意抽取一张既是中心对称图形又是轴对称图形的概率． 4. 如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F， 则，根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； 对于B，根据直角三角形的两锐角互余，可逐步证明，即可根据等腰三角形的判定证明结论； 对于C，根据含角的直角三角形的性质，可得，所以，即得，即可判断； 对于D，设，根据勾股定理可逐步求得，即可证明结论． 【详解】解：对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F， 则， 平分， 即是的角平分线， 故选项A正确，不符合题意； 对于B， ，， ， 平分， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 对于C， ，， ， ， ， ， 故选项C错误，符合题意； 对于D， 设，则， ， ， ， ， ， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，等腰三角形的判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5. 将直线 的图像绕原点旋转一周，不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出原点到直线的距离，再根据一次函数的图象绕原点旋转一周所得区域内各点到原点的距离大于等于，用两点间的距离公式计算每一个到原点的距离即可判断． 【详解】解：令，则；令，则， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，如图： 过点O作于点C， ∵， ∴， ∴， ∴直线上所有点到原点的最短距离为， 将一次函数的图象绕原点旋转一周所得区域内个点到原点的距离大于等于， ∴； ； ； ； ∴不会经过的点是． 6. 请你利用研究函数的经验研究：的性质，下列说法中错误的是（ ） A. 该函数的图象关于直线对称 B. 该函数图象在轴上方且该函数图象没有最低点； C. 若和是该函数图象上两点，则； D. 将该函数向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的函数解析式是 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简原函数，再逐一分析每个选项，利用函数对称性、取值范围、函数值比较、平移规律判断对错． 【详解】解：，原函数为，． 选项A：对任意，， 函数图象关于直线对称，A正确． 选项B：，，图象在轴上方，恒成立， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 函数没有最小值，即没有最低点，B正确． 选项C：∵的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ∵关于对称的点为 ∵， ∴ ∴，C错误． 选项D：根据平移规律“左加右减，上加下减”，原函数向左平移2个单位得：，再向下平移4个单位得：，不是，D错误． 综上，错误的选项是C和D． 二、填空题（11题，每题均为4分，共44分） 7. 计算：_________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式 ． 8. 方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为． 9. 已知：和是同类项，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类项的定义，得到关于和的一元一次方程，求解得到和的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：与是同类项， ，， 解得，， 将，代入得． 10. 已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 11. 如图，在正五边形中，是的中点，连接，作交于点G，则的度数是______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】连接、．先证，得到，由等腰三角形的“三线合一”性质，可得，再结合平行线的性质以及多边形内角和计算公式，求得的度数． 【详解】解：连接、． ∵正五边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵正五边形， ∴该五边形内角和为：， 又∵正五边形， ∴， ∴． 12. 如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 14. 若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题需分类讨论函数类型，分时函数为一次函数、时函数为二次函数两种情况，分别根据一次函数和二次函数与轴交点的性质求解的值即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 15. 如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过角平分线和垂直证明三角形全等，得到和，再利用三角形中位线定理，直接求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 为的中点， ． 16. 如图，在中，，，点M，N分别在边上，将沿直线翻折，点C恰好落在边上，记为点，如果与相似，那么折痕的长为_________． 【答案】5或 【解析】 【分析】分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出比例线段可求出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴，， 由折叠的性质知， 要使与相似，即与相似， ∵， ∴是的垂直平分线，设与交于点O， ∴， 如图所示：当时，则， ∴， ∴； 如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴， 设中，边上的高为， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴； 故答案为：5或． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 17. 已知实数为方程 的根，且的值中有且仅有1，2，3，4，则的方差的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，五个数中不同值只有1，2，3，4，即其中四个数为1，2，3，4，一个数重复，设重复的数为，结合方差公式，；得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出方差的最大值． 【详解】解：设重复的数为， 1或2或3或4． 五个数的和为： ， 平均数． ∵ ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴直线越远的点，函数值越大， ∴当 或 时，取得最大值， 将 代入得：， 即的方差的最大值为． 三、解答题（7题，共82分） 18. 舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． （1）已知关于的方程：有增根，求：； （2）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先，解分式方程得，再由分式方程有增根，得，解得或，最后，再分别代入计算即可； （2）设6、7月相同的增长率为x，再根据增长率公式：，列出关于x的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：，整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵关于的方程：有增根， ∴，即或，解得或， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，k的值为； 【小问2详解】 解：设6、7月相同的增长率为x， 根据题意，得，解得(不合题意，舍去)， 答：增长率为． 19. 比，是两数相除的简约表达，揭示部分间的量级关系．比的妙用在于化繁为简． （1）已知某地图的比例尺为，其中80000用科学记数法表示为____________，该地图上代表实际距离____________m． （2）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为5，四个黄金分割点组成的正方形的边长为_________． （3）若正数，满足：，试将按照从小到大的顺序排列． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值大于1时，为正整数，确定和的值，即可求解；根据比例尺图上距离：实际距离，即可求解； （2）根据黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是，即可求解； （3）由是正数可知，，，，，再利用不等式的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：； 比例尺表示图上代表实际距离． 【小问2详解】 解：如图，，是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴，即， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 【小问3详解】 解：∵是正数， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，． 20. 已知：如图，在中，平分劣弧，与交于点E，点D在延长线上，，连接． （1）求证：平分； （2）连接、，延长交于点F，如果，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵平分劣弧， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 证明：在优弧上任取一点N，连接、，如图，    根据圆内接四边形的性质可得：， ∵平分劣弧， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平分劣弧可得，即有，再根据垂直可得，问题即可得证； （2）在优弧上任取一点N，连接、，根据圆内接四边形的性质可得：，根据平分劣弧可得，，证明，可得，即可证明，则有，进而可得，问题随之得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定以及圆内接四边形的性质等知识，掌握并灵活运用垂径定理是解答本题的关键． 21. 理解与转化： 不等式是量化某个未知量限制条件的重要工具，在现实生活中我们往往会在范围允许的情况下，选择整数方便运算，也常利用数形集合的方式理解． 【直接求解】：正确解不等式组是我们解决不等式问题的基本计算要求． （1）解不等式组：，并直接写出其自然数解； 【数形结合】：许多不等式具有其几何意义． （2）结合数轴，请直接写出的几何意义，并直接将解集标在数轴上； （3）结合函数图象解决问题： [问题]：一个数的倒数比其相反数离数轴原点的距离近，求：这个数的取值范围； [列出不等式]：_______________； [数形结合]：利用正比例函数和反比例函数的图象（请作图在下方），解得这个数的取值范围为__________． 【答案】（1），自然数解有0，1 （2）数轴上表示数x的点到表示和π的点的距离之和小于等于5， （3）， 或 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式组即可得出结果； （2）不等式的几何意义为：数轴上表示x的点到表示和表示π的两个点的距离之和小于等于5，分情况讨论绝对值不等式的情况，再综合得出解集，进而将解集表示在数轴上即可； （3）根据题意列出不等式，结合图象即可表示出对应的解集． 【小问1详解】 解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 其自然数解为0，1． 【小问2详解】 解：表示数轴上x到点的距离，表示数轴上x到点π的距离， ∴不等式的几何意义为：数轴上表示x的点到表示和表示π的两个点的距离之和小于等于5， 当时：，， 代入不等式得：， 解得：， ∵， ∴； 当时：，， ∴，不等式恒成立， ∴整个区间都满足：； 当时：，， 代入不等式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴不等式解集为． 【小问3详解】 解：设这个数为， ∵离原点的距离为绝对值， ∴列出不等式：，即， 由图象可知，与的交点为和， ∴不等式对应图象在下方的区域， 解得：或． 22. 综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率． 材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单： （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： （1）根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． （2）根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 【答案】（1）1.33 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，根据题意得，，，推出，则有，证明四边形是矩形，得到，，再根据正弦的定义求出，，最后结合题意即可求出水的折射率的值； （2）①设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，证明，则有，进而解直角三角形，即可求解； ②设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； ③作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，再根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图4，过点作交于点， ∵为一圆柱形敞口容器的纵切面， ∴，， ∵水面到达容器高度一半， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴，， 由题意得，入射角，折射角， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：①如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 由光的反射定律可知，， 又 ∴， ∴， ∴， ∵入射角为， ∴， ∴， 即点到平面镜的距离是厘米； ②如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴入射角的度数为； ③如图3，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即的长度是厘米； 23. 定义：若的三个顶点都在二次函数的图象上，且存在x轴上的一点满足：，则称为“平稳三角形”． 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． （1）求：二次函数的表达式； （2）若为“平稳三角形”，存在x轴上的一点满足：，求证：为的重心； （3）若为“平稳三角形”，中线交x轴于点G，求：的面积； （4）在（3）的条件下，若平面直角坐标系中有一点使得四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）证明：设边上的中点分别为，连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴三点共线， ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴在的中线上， 同理可得，在的中线上，在的中线上， ∴是三条中线的交点， ∴为的重心； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设边上的中点分别为，连接，根据中点的定义得到，利用向量的加减法得出，结合可得，推出三点共线，则在的中线上，同理可得：在的中线上，在的中线上，再利用重心的定义即可证明； （3）由（2）中的结论得，G是的重心，设交x轴于点，利用中点坐标公式求出和，进而求出直线的表达式为，得到，最后利用三角形的面积公式即可求解； （4）设点的坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，列出关于的方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为“平稳三角形”，中线交x轴于点G， ∴由（2）中的结论得，G是的重心， 设交x轴于点， ∴是的中线， ∴点是的中点， 设点A的坐标为，其中， 又， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∵是的中线， ∴为的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的表达式为， 将与代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则，解得， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分， 由（3）得，，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 24. 探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． （1）小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（ ） A．逆命题，必然事件 B．逆命题，不可能事件 C．同义命题， 必然事件 （2）三角形内切圆的圆心是三角形（ ） A．内角平分线的交点 B．中线的交点 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． （3）当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； （4）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6 D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 【答案】（1）A （2）A （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了勾股定理的运用，掌握圆的性质是做题的关键． （1）根据圆的性质得到相关结论． （2）根据三角形内切圆的定义得到三角形内切圆的圆心是三角形的内心． （3）利用三角形的内切圆半径公式分别表示出 和 的内切圆半径，进而求解 的长． （4）根据三角形内切圆的性质求解． 【小问1详解】 原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”．根据圆的性质，若中线等于边的一半，则该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件．所以A选项是正确的． 【小问2详解】 三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角平分线的交点(到三边距离相等)．中线交点是重心，垂直平分线交点是外心．所以A选项是正确的． 【小问3详解】 已知在直角三角形 中， ， ， ， 则 ， 设 ，则 ， 由题意知 是直角三角形，其内切圆半径为， 因为，所以， 由题意知 的面积为， 的半周长， 其内切圆半径为，即， 令，化简得方程 ，解得（ 时 不存在，舍去），因此． 【小问4详解】 对于选项A，点H在 上， 的内切圆在三角形内部，H到内切圆圆心的距离需等于半径，但只有当H与B重合时成立(此时 不存在)，故A错误． 对于选项B，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，移动 上的H点时，随 大小变化、随 大小变化，当两个内切圆都与相切与同一点时，两圆可能相切，B正确． 对于选项C，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，到 的距离相等，到 的距离相等，当H靠近B时，靠近B，偏大；当H靠近C时，靠近C，偏大；当H在中间某位置时， 圆心距可取到中间值6，C正确． 对于选项D，如图所示： 两圆公切线共4条，其中为一条，除外最多有3条公切线，D正确． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $