2026年重庆市中考数学试卷

**基本信息** 立足核心素养，融合重庆地域文化与数学本质，梯度设计考查运算能力、推理意识及创新应用，如重庆马拉松科学记数法、《九章算术》方程建模等情境体现数学与现实的联系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、三视图、圆、概率、规律探究|基础题占比60%，第6题醇类分子规律考查抽象能力| |填空题|6/24|平行线性质、绝对值方程、两位数乘积规律|第15题结合数论与二次函数，考查推理意识| |解答题|9/86|统计、几何作图、函数综合、几何变换|24题抛物线平移与角度综合，25题旋转翻折动态问题，突出创新应用与空间观念|

2026年重庆市中考数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）·【易】3的倒数是（　　） A．﹣3 B． C． D．3 2．（4分）·【易】四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）·【易】2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为25000人．数据25000用科学记数法表示为（　　） A．25×103 B．2.5×104 C．0.25×105 D．2.5×105 4．（4分）·【易】如图，点A，B，C在⊙O上．若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数是（　　） A．140° B．100° C．90° D．80° 5．（4分）·【易】下列事件中，一定会发生的是（　　） A．从只有白球的袋中摸出白球 B．明天一定会下雨 C．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 6．（4分）·【易】醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物，如图是这类物质的分子结构式，其中C，H，O分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 7．（4分）·【中档】在反比例函数y中，若1＜x＜2，则y的取值范围为（　　） A．y＜1 B．1＜y＜2 C．﹣1＜y D．﹣2＜y＜﹣1 8．（4分）·【中档】中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）·【较易】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）·【中档】已知整式M：a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0＜a1＜a2＜…＜an，且n+|a0|+|a1|+…+|an|＝6．下列说法： ①当n＝1时，满足条件的所有整式M的和为22x﹣7； ②当n＝2时，若函数y＝M+x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式M有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）·【中档】某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为　 　 ． 12．（4分）·【易】如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝58°，则∠2的度数是　 　 ． 13．（4分）·【易】满足n的整数n的值可以是　 　 （写一个即可）． 14．（4分）·【易】若实数x，y同时满足x﹣|y+2|＝6，|x|﹣2y＝13，则xy的值为　 　 ． 15．（4分）·【易】自然数m与n均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且m与n的乘积为三位数．则m+n的最小值为　 　 ；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2，则满足条件的所有k的值之和为　 　 ． 16．（4分）·【中档】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，D在⊙O上，AD＝12，BE经过圆心O，且BE⊥AD，垂足为E，OE＝8．连接OC交⊙O于点F，连接FB并延长交⊙O于点G，BE＝OC，则OB的长度为　 　 ，BG的长度为　 　 ． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）·【较易】解不等式组：． 18．（8分）·【中档】先化简，再求值：，其中x＝30． 19．（10分）·【易】早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你直接写出条形统计图中m的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数； （2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ （3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．（10分）·【中档】综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在▱ABCD中，AB＜BC．用尺规完成基本作图：作出∠ABC的平分线，交AD于点E． 【问题提出】他们猜想DE，BC，AB之间存在以下数量关系：DE＝BC﹣AB． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21．（10分）·【中档】列方程解下列问题： 某企业承担了一款智能机器人的A，B两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少30个，且3天生产的A型配件的数量与1天生产的B型配件的数量相等． （1）求该企业每天生产A，B型配件的数量分别是多少个？ （2）如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少a个和2a个，那么生产200个A型配件的天数与生产700个B型配件的天数相同，求a的值． 22．（10分）·【较易】如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm．点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△BEF＝2cm2．点G与点E同时出发，以每秒2cm的速度沿折线D→C→A方向运动．设运动时间为x秒（0＜x＜8），点F与点B的距离为y1，点G与点C的距离为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24．（10分）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线ybx+c与x轴交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，1），连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为D，E是x轴上一动点，连接PE．当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PEAE的最小值； （3）将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到抛物线y′，点B的对应点为F，M是平移后抛物线y′上一点，直线AM交直线BF于点N，且∠ANB＝∠ACB﹣90°．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 25．（10分）·【较难】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，以BC为斜边在BC上方作等腰直角三角形BCD． （1）如图1，若∠ABC＝30°，BD＝3，求AC的长度； （2）如图2，连接AD，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，延长ED交BC于点F，连接CE．点G，H分别是AB，CE的中点，连接DG，GH．求证：BC﹣ACGH； （3）如图3，BC＝12，AC＝3，点P在直线BC上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接AQ．点M在直线AB上，连接DM，QM，将△DMQ沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMN，连接CN．当AQ+DQ取得最小值时，连接CQ，NQ，请直接写出△CQN面积的最大值． 2026年重庆市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B． D A D B A B D 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．【答案】C 【解析】解：3的倒数是． 故选：C． 2．【答案】C 【解析】解：从正面看，可得选项C的图形． 故选：C． 3．【答案】B． 【解析】解：25000＝2.5×104． 故选：B． 4．【答案】D 【解析】解：∵∠ACB＝40°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝80°． 故选：D． 5．【答案】A 【解析】解：A、从只有白球的袋中摸出白球是必然事件，故此选项符合题意； B、明天一定会下雨是随机事件，故此选项不符合题意； C、随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数是随机事件，故此选项不符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．【答案】D 【解析】解：由所给图形可知， 第①个图中氢原子的个数为：4＝1×2+2， 第②个图中氢原子的个数为：6＝2×2+2， 第③个图中氢原子的个数为：8＝3×2+2， …， 第n个图中氢原子的个数为2n+2． 当n＝9时， 第⑨个图中氢原子的个数为：2×9+2＝20． 故选：D． 7．【答案】B 【解析】解：由题意，∵反比例函数为y，其中k＝2＞0， ∴该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， ∴当1＜x＜2时，1＜y＜2． 故选：B． 8．【答案】A 【解析】解：根据题意得：． 故选：A． 9．【答案】B 【解析】解：设BE＝a（a＞0）， ∵CE＝2BE， ∴CE＝2a，BC＝BE+CE＝3BE＝3a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC＝3a， ∴∠ADF+∠CDE＝90°，， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°， ∴∠FAD＝∠CDE， 在△ADF和△DEC 中， ， ∴△ADF∽△DEC， ∴，即， 解得， 如图，过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥CD于点N， ∴四边形CMFN是矩形， ∴FM＝CN，FN＝CM，FN∥BC，FM∥CD， ∴△DFN∽△DEC， ∴，即， 解得，， ∴，， 又∵FM∥CD， ∴△BCG∽△BMF， ∴，即， 解得， ∴，， ∴△BEF与△CFG的面积之比为， 故选：B． 10．【答案】D 【解析】解：①当n＝1时，1+|a0|+|a1|＝6，即|a0|+|a1|＝5， ∵a0＜a1，a1为正整数， ∴|a0|+a1＝5， 当a1＝1时，则|a0|＝4，解得a0＝﹣4或a0＝4＞a1（舍去），此时M＝﹣4+x； 当a1＝2时，则|a0|＝3，解得a0＝﹣3或a0＝3＞a1（舍去），此时M＝﹣3+2x； 当a1＝3时，则|a0|＝2，解得a0＝﹣2或a0＝2，此时M＝﹣2+3x或M＝2+3x； 当a1＝4时，则|a0|＝1，解得a0＝﹣1或a0＝1，此时M＝﹣1+4x或M＝1+4x； 当a1＝5时，则|a0|＝0，解得a0＝0，此时M＝5x， 则满足条件的所有整式M的和为（﹣4+x）+（﹣3+2x）+（﹣2+3x）+（2+3x）+（﹣1+4x）+（1+4x）+5x＝22x﹣7，说法①正确； ②当n＝2时，，2+|a0|+|a1|+|a2|＝6，即|a0|+|a1|+|a2|＝4， 由题意可知，a2为正整数，a0，a1为整数，且a0＜a1＜a2， ∴|a0|+|a1|+a2＝4， ∵函数的图象关于y轴对称， ∴a1+1＝0，即a1＝﹣1， ∴|a0|+|﹣1|+a2＝4， 解得|a0|＝3﹣a2， ∵a0＜a1＜a2， ∴a0＜﹣1＜a2， ∴|a0|＞1， ∴3﹣a2＞1，解得a2＜2， 又∵a2为正整数， ∴a2＝1，|a0|＝3﹣1＝2， ∴a0＝﹣2或a0＝2＞﹣1（舍去）， ∴满足条件的整式M＝﹣2﹣x+x2，有且仅有1个，说法②正确； ③∵整式M是二次二项式， ∴n＝2，且M只有两个非零项，同②可得：|a0|+|a1|+a2＝4，a2为正整数， ∴在这个二次二项式中，a1＝0或a0＝0， （Ⅰ）当a1＝0时，，|a0|+a2＝4，a0＜0＜a2， ∴a2＝4﹣|a0|＝4+a0＞0， ∴a0＞﹣4， ∴当a0＝﹣1，a2＝3时，M＝3x2﹣1，不能在有理数范围因式分解，舍去； 当a0＝﹣2，a2＝2时，M＝2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1），能在有理数范围因式分解； 当a0＝﹣3，a2＝1时，M＝x2﹣3，不能在有理数范围因式分解，舍去； （Ⅱ）当a0＝0时，，|a1|+a2＝4，0＜a1＜a2， ∴a1+a2＝4， ∴只有a1＝1，a2＝3符合，此时M＝3x2+x＝x（3x+1），能在有理数范围因式分解； 综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个；说法③正确； 所以说法正确的个数是3个． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．【答案】． 【解析】解：∵总共五个备选节目A，B，C，D，E， ∴随机抽取一个参加展演，抽到节目A的概率为． 故答案为：． 12．【答案】58°． 【解析】解：根据“两直线平行，内错角相等”的性质， 因为a∥b， 所以∠2＝∠1＝58°， 故答案为：58°． 13．【答案】4（答案不唯一）． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵n， ∴2＜n＜6， ∴整数n可以是4， 故答案为：4（答案不唯一）． 14．【答案】﹣21． 【解析】解：∵x﹣|y+2|＝6， ∴|y+2|＝x﹣6， ∵|y+2|≥0， ∴x﹣6≥0， ∴x≥6； ∵|x|﹣2y＝13， ∴x﹣2y＝13， ∴x＝2y+13， ∴|y+2|＝2y+13﹣6， ∴|y+2|＝2y+7， ∴y+2＝2y+7或y+2＝﹣（2y+7）， 解得y＝﹣5或y＝﹣3， 当y＝﹣5时，x＝2×（﹣5）+13＝3＜6，此时不满足题意； 当y＝﹣3时，x＝2×（﹣3）+13＝7＞6，此时满足题意； ∴xy＝7×（﹣3）＝﹣21， 故答案为：﹣21． 15．【答案】29；28． 【解析】解：设两个自然数的十位上的数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位上的数字为b（0≤b≤9，且b为整数），则自然数n的个位上的数字为9﹣b， ∴m＝10a+b，n＝10a+9﹣b， ∴m+n＝（10a+b）+（10a+9﹣b）＝20a+9，mn＝（10a+b）（10a+9﹣b）＝100a2+90a+b（9﹣b）， 要使m+n＝20a+9最小，需a最小， 则当a＝1时，m+n的最小值为20×1+9＝29， 此时mn＝100+90+b（9﹣b）＝﹣b2+9b+190＝﹣（b）2， 由二次函数的性质可知，当b＝4或b＝5时，mn的值最大，最大值为或，符合题意． 当m＞n时，m﹣n＝（10a+b）﹣（10a+9﹣b）＝2b﹣9＞0， 解得b＞4.5， ∴5≤b≤9，且b为整数， ∴1≤2b﹣9≤9， ∴k2＝m2﹣n2， ∴k2＝（m﹣n）（m+n）＝（2b﹣9）（20a+9）， 又∵2b﹣9为奇数，且1≤2b﹣9≤9， ∴2b﹣9所有可能的取值为1，3，5，7，9， ①当2b﹣9＝1，即b＝5时，k2＝20a+9mn＝（10a+5）（10a+4）， ∵1≤a≤9，且a为整数， ∴当a＝2时，k2＝49， 此时正整数k＝7，mn＝（10×2+5）×（10×2+4）＝600＜1000，符合题意； 当a＝8时，k2＝169， 此时正整数k＝13，mn＝（10×8+5）×（10×8+4）＝7140＞1000，不符合题意，舍去； ②当2b﹣9＝3，即b＝6时，k2＝3（20a+9），mn＝（10a+6）（10a+3）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝3（20a+9）； ③当2b﹣9＝5，即b＝7时，k2＝5（20a+9），mn＝（10a+7）（10a+2）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝5（20a+9）； ④当2b﹣9＝7，即b＝8时，k2＝7（20a+9），mn＝（10a+8）（10a+1）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝7（20a+9）； ⑤当2b﹣9＝9，即b＝9时，k2＝9（20a+9），mn＝10a（10a+9）， 当a＝2时，k2＝9×（20×2+9）＝441＝212， 此时正整数k＝21，mn＝10×2×（10×2+9）＝580＜1000，符合题意； 当a＝8时，k2＝9×（20×8+9）＝1521＝392， 此时正整数k＝39，mn＝10×8×（10×8+9）＝7120＞1000，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的所有k的值为7和21，它们的和为7+21＝28． 故答案为：29；28． 16．【答案】5，． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝12， ∴BC＝AD＝12，AD∥BC， ∵BE⊥AD， ∴BE⊥BC， 设BE＝OC＝x（x＞0）， ∵OE＝8， ∴OB＝BE﹣OE＝x﹣8， 在Rt△BOC 中，OB2+BC2＝OC2，即（x﹣8）2+122＝x2，解得x＝13， ∴OC＝13，OB＝13﹣8＝5， 如图，过点O作OM⊥FG于点M，过点B作BN⊥OC于点N，连接OA，OG， BE经过圆心O，且BE⊥AD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BFN中，， 在Rt△FOM中，， 又∵OF＝OG，OM⊥FG， ∴， ∴， 故答案为：5，． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．【答案】x＞1． 【解析】解：将①移项，合并同类项得：2x≥﹣4， 系数化为1得：x≥﹣2， 将②去分母得：3x+5＜4x+4， 移项，合并同类项得：﹣x＜﹣1， 系数化为1得：x＞1， 故原不等式组的解集为x＞1． 18．【答案】，1． 【解析】解：原式＝（）• • ， 当x＝30＝1时， 原式1． 19．【答案】（1）m＝6；86；93； （2）154； （3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵八年级的众数93大于七年级的众数89， ∴八年级此次竞赛成绩较好； 或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵七年级的中位数86大于八年级的中位数84.5， ∴七年级此次竞赛成绩较好． 【解析】解：（1）七年级抽取20 名学生的竞赛成绩中B组人数m＝20﹣3﹣7﹣4＝6； ∵共有20个数据， ∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为（分）； ∵八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多， ∴八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93分； （2）， ∴估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人； （3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵八年级的众数93大于七年级的众数89， ∴八年级此次竞赛成绩较好； 或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵七年级的中位数86大于八年级的中位数84.5， ∴七年级此次竞赛成绩较好． 20．【答案】（1）如图，BE即所求； （2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵AE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵DE＝AD﹣AE， ∴DE＝BC﹣AB． 【解析】（1）解：如图，BE即所求； （2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵AE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵DE＝AD﹣AE， ∴DE＝BC﹣AB． 21．【答案】（1）该企业每天生产A型配件的数量是15个，每天生产B型配件的数量是45个； （2）5． 【解析】解：（1）设该企业每天生产A型配件的数量是x个，每天生产B型配件的数量是y个， 由题意得：， 解得：， 答：该企业每天生产A型配件的数量是15个，每天生产B型配件的数量是45个； （2）由题意得：， 解得：a＝5， 经检验，a＝5是原方程的解，且符合题意， 答：a的值为5． 22．【答案】（1）；； （2）1＜x＜2或3.6＜x＜8． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm． ∴∠B＝90°， ∴， ∵点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足，运动时间x秒， ∴BE＝xcm， ∴， ∴， ∴； ∵点G沿D→C→A运动，G速度为2cm/s，DC＝AB＝6cm， ∴当0＜x≤3时，y2＝6﹣2x， 当3＜x＜8时，y2＝2（x﹣3）＝2x﹣6， 综上，； （2）列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 y1 8 4 2 1 y2 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、y1的值和x、y2的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到y1和y2的图象． 由图象看出当y1＜y2时，1＜x＜2或3.6＜x＜8． 24．【答案】（1）yx+1； （2）P（2，），PEAE的最小值为； （3）（1，）或（﹣14，﹣52）． 【解析】解：（1）将，B（4，0），C（0，1）代入ybx+c中， ∴， 解得， ∴yx+1； （2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，连接PC、PB， 当△BCP的面积最大时，PD的长度取最大值， 设直线BC的解析式为y＝kx+1， ∴4k+1＝0， 解得k， ∴yx+1， 设P（t，t2t+1），则G（t，t+1）， ∴PGt2t+1t﹣1t2+t， ∴△BPC的面积（t2+t）（t﹣2）2+2， 当t＝2时，△PBC的面积最大，此时P（2，）， 当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0）， 在y轴上取点K（0，﹣1），作直线AK，则直线AK的解析式为y＝﹣x﹣1， 过E点作EH⊥AK交于H点， ∵OA＝OC＝1， ∴∠CAO＝45°， ∴∠OAH＝45°， ∴EHAE， ∴PEAE＝PE+HE≥PH， 当PH⊥AH时，PEAE的值最小， 连接AP、PK，延长PG交AK于点L， ∴△APK的面积1，即PH， ∴PH， ∴PEAE的最小值为； （3）∵抛物线沿射线CA方向平移个单位长度， ∴函数图象向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度， ∴y'x2x， ∵B（4，0）， ∴F（3，﹣1）， ∴直线BF的解析式为y＝x﹣4， 过点N作NQ⊥BF交x轴于点Q， ∴∠BQN＝∠CAO＝45°， ∵∠ANB＝∠ACB﹣90°， ∴∠ACB＝∠ANQ， ∴∠NAB＝∠CBA， ∴AN与BC的交点T在线段AB的垂直平分线上， ∴T（，）， ∴直线AM的解析式为yx， 当x+1x时，解得x＝1或x＝﹣1， ∴M（1，）； 当x﹣4x时，解得x， ∴N（，）， 过A点作AR∥NQ交BN于点R， ∴直线AR的解析式为y＝﹣x﹣1， 当﹣x﹣1＝x﹣4时，解得x， ∴R（，）， N点关于R点的对称点为N'（，）， ∴直线AN'的解析式为y＝4x+4， 当4x+4x2x时，解得x＝﹣1或x＝﹣14， ∴M（﹣14，﹣52）； 综上所述：M点坐标为（1，）或（﹣14，﹣52）． 25．【答案】（1）； （2）如图所示，连接DH， ∵线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE， ∴DA＝DE，∠ADE＝∠ADF＝90°， ∵∠CDB＝90°， ∴∠ADE+∠ADC＝∠ADC+∠CDE，即∠CDE＝∠BDA， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴CE＝BA， ∵点G，H分别是AB，CE的中点， ∴DH＝DG，∠EDH＝∠ADG， ∵∠EDH+∠HDA＝90°， ∴∠ADG+∠HDA＝90°，即∠HDG＝90°， ∴△HDG是等腰直角三角形， ∴，解得， ∵∠ADF＝∠CDB＝90°， ∴∠ADF﹣∠CDF＝∠CDB﹣∠CDF，即∠ADC＝∠FDB， ∵△BDC是等腰直角三角形， ∴DC＝DB，∠DCB＝∠DBC＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DBC＝45°， 在△ADC和△FDB中， ， ∴△ADC≌△FDB（ASA）， ∴AC＝BF，AD＝DF， ∵AD＝DE， ∴DE＝DF， ∴点D是线段EF的中点， 又∵点H是线段EC的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵CF＝BC﹣BF＝BC﹣AC， ∴； （3）． 【解析】（1）解：∵三角形BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD＝3，， 又∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴，即， 解得； （2）证明：如图所示，连接DH， ∵线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE， ∴DA＝DE，∠ADE＝∠ADF＝90°， ∵∠CDB＝90°， ∴∠ADE+∠ADC＝∠ADC+∠CDE，即∠CDE＝∠BDA， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴CE＝BA， ∵点G，H分别是AB，CE的中点， ∴DH＝DG，∠EDH＝∠ADG， ∵∠EDH+∠HDA＝90°， ∴∠ADG+∠HDA＝90°，即∠HDG＝90°， ∴△HDG是等腰直角三角形， ∴，解得， ∵∠ADF＝∠CDB＝90°， ∴∠ADF﹣∠CDF＝∠CDB﹣∠CDF，即∠ADC＝∠FDB， ∵△BDC是等腰直角三角形， ∴DC＝DB，∠DCB＝∠DBC＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DBC＝45°， 在△ADC和△FDB中， ， ∴△ADC≌△FDB（ASA）， ∴AC＝BF，AD＝DF， ∵AD＝DE， ∴DE＝DF， ∴点D是线段EF的中点， 又∵点H是线段EC的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵CF＝BC﹣BF＝BC﹣AC， ∴； （3）解：如图所示，连接BQ， ∵线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，△BDC是等腰直角三角形， ∴DB＝DC，DP＝DQ，∠BDC＝∠PDQ＝90°，∠DBP＝∠DCB＝45°， ∴∠BDC﹣∠PDB＝∠PDQ﹣∠PDB，即∠CDP＝∠BDQ， 在△CDP和△BDQ中， ， ∴△CDP≌△BDQ（SAS）， ∴∠DCP＝∠DBQ＝45°， ∴∠CBQ＝∠DBC+∠DBQ＝90°， ∴点Q在与BC垂直且垂足为点B的直线l上， ∴作点D关于直线l的对称点D′，连接AD交直线l为点Q， 此时AQ+DQ最短，如下图所示， 连接DD'交直线l于点E，过点A作AF垂直直线l，交直线l于点F， ∴四边形ACBF是矩形， ∴AF＝BC，FB＝AC＝3， 在等腰直角三角形BCD中，BC＝12， ∴，解得， 在直角三角形DEB中， ，解得DE＝EB＝6， 则EF＝EB﹣FB＝3， 由对称性可知D′E＝6， 由题意知∠AFQ＝∠D'EQ＝90°，∠AQF＝∠D'QE， ∴△AQF∽△D'QE， ∴， 又∵EF＝3， ∴FQ＝2，EQ＝1， ∴BQ＝FB+FQ＝5， 在Rt△DEQ中，， ∴在Rt△BCQ中，； ∵△DMQ沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMN， ∴点Q，N是关于直线DM的对称点， ∴点D在线段QN 的垂直平分线上， ∴DN＝DQ， ∴点N实在以D为圆心，DQ长为半径的圆上运动， 过点N作NH⊥CQ交CQ于点N， ∴， ∴△CQN面积的最大，则需要HN最大， HN过圆心时取得最大值，如下图所示， 在Rt△DHC 和 Rt△DHQ中，DC2﹣CH2＝DQ2﹣QH2， 即， 解得，， ∴， ∴， ∴△CQN面积的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $