2026年四川省达州市中考数学试卷

**基本信息** 2026年达州中考数学试卷以文化传承与生活实践为情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的分层设计，考查数学抽象、推理意识与数据观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|几何图形识别、函数性质、代数运算|以良渚文化玉勒考圆柱识别，结合盐水浓度应用题考查方程思想| |填空题|5/20|概率、全等三角形、数学文化|融入天元术考查多项式系数，体现文化传承| |解答题|10/90|统计分析、几何证明、函数探究|统计题分析交通安全竞赛数据，函数题探究"相连函数"概念，综合题结合劳动教育基地面积计算与菜苗成本问题|

2026年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）·【易】如图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 2．（4分）·【易】点A（3，2）关于y轴对称的点A'的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 3．（4分）·【易】两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若∠1＝65°，则∠2＝（　　） A．45° B．50° C．55° D．65° 4．（4分）·【较易】下列计算正确的是（　　） A．a6+a2＝a8 B．（a6）2＝a8 C．a6÷a2＝a3 D．a6•a2＝a8 5．（4分）·【较易】食盐的主要成分是NaCl，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在1%～1.5%时，汤咸淡适中，味道最佳．小明向锅里倒入1000mL水，要想烧出味美的汤，可放入盐（　　）（水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3） A．6g B．12g C．18g D．25g 6．（4分）·【易】“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（　　） ①三角形 ③x2﹣4x+3＝0一元二次方程 ↓ x﹣3＝0或x﹣1＝0一元一次方程 ④（a+b）（2a2﹣b）多项式×多项式 ＝a（2a2﹣b）+b（2a2﹣b）单项式×多项式 ＝a•2a2﹣a•b+b•2a2﹣b•b单项式×单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．（4分）·【中档】下列命题为真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和 C．带根号的数都是无理数 D．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定 8．（4分）·【较易】为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的m﹣V图象，如图，m表示质量，ρ表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（　　） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为10g时，体积为10cm3 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 9．（4分）·【较易】若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4或5 10．（4分）·【中档】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … 在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．（4分）·【易】实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示．则m　 　 n（填“＞”或“＜”）． 12．（4分）·【较易】6把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是 　 　 ． 13．（4分）·【较易】如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件　 　 ，使得△ABC≌△DEF． 14．（4分）·【易】中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作、天元术是设未知数列方程的方法．开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字．未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测图海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式144x2+5184x+2488320，则图2表示的多项式的二次项系数为　 　 ． 15．（4分）·【中档】如图，已知正六边形ABCDEF的中心为O、边心距，分别以F，C为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB，DE所围成的阴影部分面积是　 　 ． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16．（7分）·【较易】计算：． 17．（7分）·【易】化简：． 18．（10分）·【较易】为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知识竞赛活动．以下是本次竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）的数据收集、整理、分析过程． 【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取30名学生的竞赛成绩进行记录数据． 【整理数据】将收集的60名学生的竞赛成绩进行整理（成绩均不低于60分，用x表示），将成绩分为四个等级：A等级（90≤x≤100）；B等级（80≤x＜90）；C等级（70≤x＜80）；D等级（60≤x＜70）． 下面给出了部分数据： 七年级30名学生竞赛成绩的数据是： 65，65，69，72，73，74，74，75，75，78，78，79，82，83，84，84，85，85，85，86，87，88，89，93，94，96，97，97，98，100． 八年级30名学生竞赛成绩在B等级中的数据是： 89，88，87，87，85，85，83，88，82，83． 【描述数据】根据整理的数据、绘制出如图统计图表： 所抽取学生竞赛成绩得分统计表 年级 统计量 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 a b 众数 c 83 【分析数据】根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由；（言之有理即可） （3）该校八年级有学生600人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数． 19．（9分）·【中档】在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出如图思维导图帮助学生理解记忆． （1）在如图思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为 　 　 ，　 　 ； （2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形． 　 　 是正方形；（请将添加的条件填在横线上） （3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形． 20．（8分）·【较易】在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m到达B处，再沿坡角为30°的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度． （参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90．结果保留整数） 21．（9分）·【中档】已知：如图，P为⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A．连接OP，AC∥OP，BC为⊙O的直径、连接PB． （1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为，AC＝4，求PB的长． 22．（9分）·【中档】综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路AC（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（△ABC）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（△ACD）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，AD＝26米，∠ABC＝90°； 素材二 用200元购进甲种菜苗，1080元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多20%，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的4倍多200株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为75%，乙种菜苗成活率为95%． 完成以下任务 任务一 求四边形空地的面积； 任务二 求购进甲、乙两种菜苗的单价； 任务三 从成活率看，菜苗实际成本G，比较大小：G甲　 　 G乙（填“＞”“＜”或“＝”）． 23．（10分）·【较难】数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定．如判定y＝2x﹣1与的关系时，由函数表达式得，去分母得2x2﹣x﹣1＝0，因为Δ＝9＞0，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①，②y＝2x，③y＝﹣3x+1．其中①与②是“　 　 函数”，①与③是“　 　 函数”； （2）若与y2＝kx+b（k≠0）是“友好函数”，如图2，当y1＞y2时，x的取值范围是　 　 ；若与y＝2x﹣6是“相连函数”，则n的值为　 　 ； （3）如图3，过点C（0，6）的直线l1，l2对应的函数分别与，是“相连函数”，相连点分别为P，Q，l1，l2与x轴分别交于A，B两点，已知AB＝6，k1k2＝﹣18，求的值． 24．（10分）·【难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝x+m经过点C，与x轴交于点D（﹣3，0）． （1）求m的值及抛物线的函数表达式； （2）若线段EF在抛物线的对称轴上运动，且EF＝2，求四边形DCEF周长最小时点E的坐标； （3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，点G为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以A，C，G为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，说明理由． 25．（11分）·【较难】综合与探究 【方法探究】（1）如图1，直线l1∥l2，A，B两点在直线l1上，C1，C2，C3三点在直线l2上，连接AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，我们发现△ABC1，△ABC2，△ABC3面积的数量关系是　　 ，理由是　 　 ； （2）如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点（C不与A重合），D是AC的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； 【问题解决】如图3，直线AB∥CD，M是AB上一点，MN⊥CD，垂足为N，MN＝4，E是射线NC上的动点，连接EM，过点M在AB上方作射线MF⊥ME，G是MF上的一点，连接EG，S△EMG＝12，求线段NG的最大值． 2026年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D B C A A C C 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1．【答案】A 【解析】解：它的外形可以近似地看作圆柱． 故选：A． 2．【答案】B 【解析】解：点A（3，2）关于y轴对称的点A'的坐标是（﹣3，2）． 故选：B． 3．【答案】D 【解析】解：如图所示： 依题意得：AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， 根据对顶角相等得：∠2＝∠ABC，∠1＝∠ADC， ∴∠2＝∠1， ∴∠1＝65°， ∴∠2＝65° 故选：D． 4．【答案】D 【解析】解：a6与a2不是同类项，无法合并，则A不符合题意， （a6）2＝a12，则B不符合题意， a6÷a2＝a4，则C不符合题意， a6•a2＝a8，则D符合题意， 故选：D． 5．【答案】B 【解析】解：∵水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3， ∴1000mL水的质量为1000g． 设可放入xg盐， 根据题意得：， 解得：x， ∴x的值可以为12． 故选：B． 6．【答案】C 【解析】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想； ②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想； ③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想； ④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想． 综上所述，用到转化思想的是②③④． 故选：C． 7．【答案】A 【解析】解：A、对顶角相等，是真命题，符合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，原命题是假命题，不符合题意； C、带根号的数不一定都是无理数，如，原命题是假命题，不符合题意； D、一般而言，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 8．【答案】A 【解析】解：当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍，故A正确，符合题意； 当乙的质量为10g时，体积为20cm3，故B错误，不符合题意； 由图象可知，当甲和乙两种物质的体积相同时，甲的质量大，根据ρ可知甲的密度大于乙的密度，故C、D错误，不符合题意； 故选：A． 9．【答案】C 【解析】解：解不等式2x﹣5≤0，得：x≤2.5， ∴不等式2x﹣5≤0的正整数解为1，2， 依题意得：该等腰三角形的两边为1，2， 又∵1+1＝2不满足三角形两边之和大于第三边， ∴1不能是等腰三角形的腰，只能是底边， ∴该等腰三角形的腰长为2，底边长为1， 此时该等腰三角形的三边长为：2，2，1， ∴等腰三角形的周长为：2+2+1＝5． 故选：C． 10．【答案】C 【解析】解：因为 x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … ，c＜0， ∴当﹣2＜x＜0，y随x的增大而减小， ∴开口向上，a＞0，故①正确； 当x＝0，x＝2时，y为c， ∴对称轴为直线x1， 即1， 即2a+b＝0，故②正确； ∵开口向上，对称轴为直线x1， ∴当x＜1时，y的值随着x值的增大而减小，故③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，函数图象过点（﹣2，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c过x轴的另一个交点为（4，0）， ∴ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝﹣2，x2＝4，故结论④正确， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．【答案】＜． 【解析】解：由数轴得m＜n， 故答案为：＜． 12．【答案】． 【解析】解：从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率． 故答案为：． 13．【答案】AB＝DE（答案不唯一）． 【解析】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝FC， ∴BE+EC＝FC+EC， ∴BC＝EF， ①当添加AB＝DE时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； ②当添加∠A＝∠D时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ③当添加∠ACB＝∠F时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：AB＝DE（答案不唯一）． 14．【答案】3780． 【解析】解：根据题意得：图2中的天元式表示多项式3780x2+228x+1， ∴图2表示的多项式的二次项系数为3780． 故答案为：3780． 15．【答案】6． 【解析】解：如图，连接OE，OD． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠EOD60°，∠AFE＝∠BCD＝120°， ∵OE＝OD， ∴△OED是等边三角形， ∵OM⊥DE， ∴EM＝MD，∠EOM＝∠DOM∠EOM＝30°， ∴EM＝DM＝OM•tan30°1， ∴DE＝2EM＝2， ∴阴影部分的面积＝626． 故答案为：6． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16．【答案】3． 【解析】解：原式＝21+2+1 ＝1﹣1+2+1 ＝3． 17．【答案】见试题解答内容 【解析】解：原式• ． 18．【答案】（1）84，86，85； （2）八年级学生的对交通安全知识掌握得更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数大于七年级，所以八年级学生对交通安全知识掌握得更好（答案不唯一）； （3）估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数为220人． 【解析】解：（1）七年级30名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84，故中位数a ＝84， 众数c＝85， 八年级A组人数为11人， 则第15，16个数据为87，85， 故中位数b86， 故答案为：84，86，85； （2）八年级学生的对交通安全知识掌握得更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数大于七年级，所以八年级学生对交通安全知识掌握得更好（答案不唯一）； （3）600220（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数为220人． 19．【答案】（1）①相等；②相等且互相垂直； （2）邻边相等且有一个角为直角的平行四边形（答案不唯一）； （3）设AC与BD相交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且BE＝DF， ∴OB+BE＝OD+DF， ∴OE＝OF， ∴AC与EF互相垂直平分， ∴四边形AECF是菱形． 【解析】（1）解：①∵对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：相等； ②∵对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形， 故答案为：相等且互相垂直； （2）解：选择平行四边形时，则邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形， 理由如下：∵邻边相等平行四边形是菱形， 又∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件为：则邻边相等且有一个角为直角的平行四边形， 故答案为：邻边相等且有一个角为直角的平行四边形； 选择矩形时，邻边相等的矩形是正方形， ∴添加的条件为：邻边相等的矩形， 故答案为：邻边相等的矩形； 选择菱形时，则有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件为：有一个角是直角的菱形， 故答案为：有一个角是直角的菱形； （3）证明：设AC与BD相交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且BE＝DF， ∴OB+BE＝OD+DF， ∴OE＝OF， ∴AC与EF互相垂直平分， ∴四边形AECF是菱形． 20．【答案】这座小山的高度为301m． 【解析】解：过B作BM⊥AD于M，过C作CN⊥AD于N，过B作BH⊥CN于H， 则HN＝BM， 在Rt△ABM中，∵∠A＝42°，AB＝300m， ∴BM＝AB•sinA＝300×0.67＝201（m）， 在Rt△BCH中，∵∠CBH＝30°，BC＝200m， ∴CH＝BC•sin30°＝200100（m）， ∴CN＝CH+HN＝CH+BM＝100+201＝301（m）， 答：这座小山的高度为301m． 21．【答案】（1）PB与⊙O相切． 理由如下：连结OA， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， ∵AC∥OP， ∴∠POA＝∠OAC，∠C＝∠POB， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠C， ∴∠POA＝∠POB， 在△POA和△POB中， ， ∴△POA≌△POB（SAS）， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴OB⊥PB， ∵OB为⊙O的半径， ∴PB为⊙O的切线； （2）． 【解析】解：（1）PB与⊙O相切． 理由如下：连结OA，如图， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， ∵AC∥OP， ∴∠POA＝∠OAC，∠C＝∠POB， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠C， ∴∠POA＝∠POB， 在△POA和△POB中， ， ∴△POA≌△POB（SAS）， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴OB⊥PB， ∵OB为⊙O的半径， ∴PB为⊙O的切线； （2）连结AB交OP于D点，如图， ∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°， ∵OP∥AC， ∴∠BDO＝90°， ∴OD⊥AB， ∴AD＝BD， ∴OD为△ABC的中位线， ∴ODAC＝2， 在Rt△BOD中，∵OB，OD＝2， ∴BD， ∵∠BOD＝∠POB， ∴Rt△OBD∽Rt△OPB， ∴OB：OP＝OD：OB， 即：OP＝2：， 解得OP＝3， 在Rt△OPB中，∵OP＝3，OB， ∴PB． 22．【答案】（任务一）四边形空地的面积为144平方米； （任务二）购进甲种菜苗的单价是0.5元/株，乙种菜苗的单价是0.6元/株； （任务三）＞． 【解析】解：（任务一）在Rt△ABC中，AB＝6米，BC＝8米，∠ABC＝90°， ∴AC10（米）． 在△ACD中，AC＝10米，CD＝24米，AD＝26米， ∵102+242＝676＝262，即AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形空地的面积＝S△ABC+S△ACDAB•BCAC•CD6×810×24＝144（平方米）． 答：四边形空地的面积为144平方米； （任务二）设购进甲种菜苗的单价是x元/株，则购进乙种菜苗的单价是（1+20%）x元/株， 根据题意得：4＝200， 解得：x＝0.5， 经检验，x＝0.5是所列方程的解，且符合题意， ∴（1+20%）x＝（1+20%）×0.5＝0.6． 答：购进甲种菜苗的单价是0.5元/株，乙种菜苗的单价是0.6元/株； （任务三）根据题意得：购进甲种菜苗的数量是200÷0.5＝400（株）， G甲（元/株）， 购进乙种菜苗的数量是1080÷0.6＝1800（株）， G乙（元/株）， ∵0， ∴G甲＞G乙． 故答案为：＞． 23．【答案】（1）陌生；友好； （2）x＜﹣3或0＜x＜1，； （3）45． 【解析】解：（1）对于①与②，联立得， 整理得，x2+1＝0， ∵x2+1≥1， ∴该方程无实数解，即与y＝2x无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理得，3x2﹣x﹣2＝0， 解得或x＝1， ∴与y＝﹣3x+1有两个交点， ∴①与③是“友好函数”， 故答案为：陌生；友好； （2）由图可知，两个函数的交点的横坐标为﹣3和1，且在x＜﹣3和0＜x＜1部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1 ；联立与y＝2x﹣6，得， 整理得，2x2﹣6x﹣n＝0， 当x＝0时，n＝0，与n≠0矛盾， ∴x≠0， ∵与y＝2x﹣6是“相连函数”， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣n）＝0，解得， 故答案为：x＜﹣3或0＜x＜1，； （3）设直线l1的函数解析式为y＝k3x+6，直线l2的函数解析式为y＝k4x+6， 联立y＝k3x+6与，得， 整理，得， 当x＝0时，k1＝0与题意矛盾， ∴x≠0， ∵y＝k3x+6与是“相连函数”， ∴Δ＝62﹣4k3（﹣k1）＝0， ∴k1k3＝﹣9，即， ∴直线l1的函数解析式为， 将y＝O代入，得， ∴点A的坐标为， 同理，点B的坐标为， ∴，即k2﹣k1＝9， ∴． 24．【答案】（1）m＝3；抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）四边形DCEF周长最小时点E的坐标为（1，）；（3）存在以A，C，G为顶点的直角三角形，点G的坐标为（﹣2，）或（﹣2，）或（﹣2，1）或（﹣2，2）． 【解析】解：（1）∵直线y＝x+m与x轴交于点D（﹣3，0）， ∴﹣3+m＝0． ∴m＝3， ∴直线y＝x+m的解析式为y＝x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与y轴交于点C， ∴3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）将点C向下平移2个单位得到C′，连接C′F，如图， 则CC′＝2＝EF，C′（0，1）， ∵CC′∥EF， ∴四边形CC′FE为平行四边形， ∴CE＝C′F， ∵C（0，3），D（﹣3，0）， ∴OC＝OD＝3， ∴CDOD＝3， ∵EF＝2，四边形DCEF周长＝CD+EF+CE+DF， ∴当CE+DF最小时，即C′F+DF最小时，四边形DCEF周长最小， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4）． 作点C′关于直线x＝1的对称点C″，则C″（2，1）， 当点D，F，C″三点在一条直线上时，C′F+DF最小， 设直线DC″的解析式为y＝kx+n， ∴， ∴， ∴设直线DC″的解析式为y， 令x＝1，则y， ∴F（1，）， ∵点E在点F的上方，EF＝2， ∴E（1，）． ∴四边形DCEF周长最小时点E的坐标为（1，）． （3）存在以A，C，G为顶点的直角三角形，点G的坐标为（﹣2，）或（﹣2，）或（﹣2，1）或（﹣2，2）．理由： 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴OB＝3， ∵OC＝3， ∴BC＝3， ∵将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴负方向向左平移3个单位，再沿y轴正方向向上3个单位， ∴平移后的解析式为y＝﹣（x+2）2+7， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设直线x＝﹣2交x轴于点H，则OH＝2， 当∠ACG＝90°时，过点G作GM⊥OC于点M，如图， 则四边形GHOM为矩形， ∴GH＝OM，GM＝OH＝2， 设HG＝m，则CM＝OM﹣OC＝m﹣3， ∵∠ACG＝90°， ∴∠GCM+∠ACO＝90°， ∵∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠GCM＝∠CAO， ∵∠GMC＝∠COA＝90°， ∴△GMC∽△COA， ∴， ∴， ∴m， ∴G（﹣2，）． 当∠CAG＝90°时，过点G作GM⊥OC于点M，如图， ∵∠CAG＝90°， ∴∠GAH+∠CAO＝90°， ∵∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠GAH＝∠ACO， ∵∠GHA＝∠COA＝90°， ∴△GHA∽△AOC， ∴， ∴， ∴GH， ∴G（﹣2，）． 当∠AGC＝90°时，过点C作CM⊥GH于点M，如图， 则四边形HOCM为矩形， ∴OH＝CM＝2，HM＝OC＝3， 设HG＝m，则GM＝HM﹣GH＝3﹣m， ∵∠AGC＝90°， ∴∠CGM+∠AGH＝90°， ∵∠AGH+∠GAH＝90°， ∴∠CGM＝∠GAH， ∵∠GMC＝∠AHG＝90°， ∴△GMC∽△AGH， ∴， ∴， ∴m2﹣3m+2＝0， ∴m＝1或m＝2． ∴G（﹣2，1）或G（﹣2，2）． 综上，存在以A，C，G为顶点的直角三角形，点G的坐标为（﹣2，）或（﹣2，）或（﹣2，1）或（﹣2，2）． 25．【答案】【方法探究】（1）相等，它们共底边AB，且由于l1∥l2，顶点C1，C2，C3到直线l1的距离（即高）相等，故面积相等； （2） 【问题解决】8． 【解析】【方法探究】解：（1）△ABC1、△ABC2、△ABC3面积相等， 理由：它们共底边AB，且由于l1∥l2，顶点C1，C2，C3到直线l1的距离（即高）相等，故面积相等， 故答案为：相等，它们共底边AB，且由于l1∥l2，顶点C1，C2，C3到直线l1的距离（即高）相等，故面积相等； （2）如图， 点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A）． 证明：连接OD， ∵O是AB中点，D是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， 又∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴点D在以OA为直径的圆上． 又∵点A、C不重合，故点D不与点A重合， ∴点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A）； 【问题解决】过点G作GK∥ME，交CD于K，交AB于P， 由（1）可得：S△EMG＝S△EMK， ∵MN⊥CD，MN＝4，S△EMG＝12， ∴，即， 解得：KE＝6， ∵GK∥ME，AB∥CD， ∴四边形KEMP是平行四边形， ∴PM＝KE＝6， 又∵MG⊥ME，即∠GME＝90°， ∴∠MGP＝90°， ∴点G在以PM为直径的半圆弧（AB上方，不含P、M两点）上运动， 取PM中点O，则， 连接ON、OG， ∴OG+NG≥NG， 当点G在ON延长线上时，NG最大，最大值为OG+NG， ∵AB∥CD，MN⊥CD， ∴MN⊥AB，即∠OMN＝90°， ∴， ∴ON+OG＝5+3＝8， 即NG最大值为8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $