精品解析：2025年四川省达州市中考真题数学试题

达州市2025年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平卷 数学 本考试为闭卷考试，考试时间120分钟，满分150分．本试卷分为第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分．第I卷1-2面．第II卷3-8页，共8页． 温馨提示： 1．答题前、考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后、再认真体对条形码上的信息与自己的准考证正确信息是否一致． 2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂，如需改动，用橡皮排擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效．在草稿纸、试题卷上作答无效． 3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡、不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁． 4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回． 第I卷（选择题共40分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 中位数是6 C. 平均数是6 D. 极差是3 7. 《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 若有意义，则x的取值范围是全体实数 D. 三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 9. 如图，在 中，，线段的垂直平分线交于点E，交 于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 10. 如图，抛物线与x轴交于点，点 ，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 因式分解：_______． 12. 已知关于的方程的一个根是 ，则的值为_______． 13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 14. 化简：_______． 15. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中， 经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. （1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 17. 项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是_______； （2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； （3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 18. 开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得 为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或 ，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证． 已知 ，求证： 平分． 19. 如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，，求点P的坐标． 20. 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为 ，当工作人员沿正前方向划行 米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 21. 归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙： （1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质 ①____________________________________________________________________________； ②____________________________________________________________________________； ③____________________________________________________________________________． （2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是 的中点， ， ，试帮他判断四边形 的形状，并证明你的结论． 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在中， 是弦，是的切线，，点，，分别是线段 ，， 上的动点，连接 ，，． （1）试判断 与的位置关系，并说明理由； （2）若，试求与半径 的数量关系． 24. 如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 ，过第四象限内抛物线上一点作 的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当 时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上， 上的动点P满足的值最小时，求的面积． 25. 综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在 中， ， 是 边上一点，过点 作于，于，过点作于．连结 ，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2， 是等边三角形，，点是 边上一点，连结 ．将线段 绕点逆时针旋转 得，连结交 于 ，过点 作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知 是半圆的直径， ，是弦，， 是 上一点，，垂足为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市2025年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平卷 数学 本考试为闭卷考试，考试时间120分钟，满分150分．本试卷分为第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分．第I卷1-2面．第II卷3-8页，共8页． 温馨提示： 1．答题前、考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后、再认真体对条形码上的信息与自己的准考证正确信息是否一致． 2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂，如需改动，用橡皮排擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效．在草稿纸、试题卷上作答无效． 3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡、不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁． 4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回． 第I卷（选择题共40分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正确理解正负的相对性是解题的关键； 根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可. 【详解】解：如果收入100元记作元，那么支出40元应记作元； 故选：C. 2. 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是关键； 根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可. 【详解】解：大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形的主视图是： 故选：B. 3. “悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 根据题意可得，然后根据平行线的性质结合角的和差即可求解． 【详解】解：如图，根据题意可得， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 5. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 中位数是6 C. 平均数是6 D. 极差是3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和极差等知识，熟练掌握统计的基本概念是解题的关键； 根据众数、中位数、平均数和极差的定义逐项判断即可得解. 【详解】解：在这组数据中，5出现了两次，最多，所以这组数据的众数是5，故选项A说法正确； 将这种数据从小到大排列：3，4，5，5，6，7，中间第3和第4个数的平均数是5，所以这组数据的中位数是5，故选项B说法错误； 这组数据的平均数，故选项C说法错误； 这组数据的极差是，故选项D说法错误； 故选：A. 7. 《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出相等关系是关键； 设每头牛值x金，每只羊值y金，根据：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，即可列出方程组. 【详解】解：设每头牛值x金，每只羊值y金， 可列方程组为：； 故选：D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 若有意义，则x的取值范围是全体实数 D. 三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、平行四边形的中心对称性、二次根式有意义的条件和三角形的中位线等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键； 根据两点之间线段最短、平行四边形的中心对称性、二次根式有意义的条件和三角形的中位线定理等知识逐项判断即可得解. 【详解】解：A. 两点之间线段最短，故本选项说法正确； B. 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项说法错误； C. 若有意义，则x的取值范围是，故本选项说法错误； D. 三角形的中位线将三角形分成两部分，其中小三角形和四边形的面积比为，故本选项说法错误； 故选：A. 9. 如图，在 中，，线段 的垂直平分线交 于点E，交 于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段 的垂直平分线交 于点E，交 于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，点 ，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点 ，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点 ，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴ ，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键； 原多项式根据提公因式法因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 已知关于的方程的一个根是 ，则 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将 代入原方程，得出关于 的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是 ， ∴ 解得：， 故答案为： ． 13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键； 根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算求解即可． 【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长； 故答案为：． 14. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键． 先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中， 经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点 作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点 作轴， ∵ 为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. （1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）2 （2） 数轴表示为： 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等知识点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和有理数的平方以及计算绝对值，再进行加减计算； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得： ， ∴原不等式的解为： ， 17. 项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是_______； （2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； （3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，样本估计总体，列表法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据 的人数除以占比得到总人数，根据 的占比乘以总人数得到 的人数，进而根据总人数减去其他组的人数求得 的人数，进而补全统计图，根据的占比乘以 即可得出意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数； （2）根据样本估计总体，用 乘以样本中 的占比，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为 （人） 参加 研学基地人数为（人） ∴参加 研学基地人数为：（人） 补全统计图如图， 意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 故答案为： ． 【小问2详解】 解：（人） 答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人； 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 共有 种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有 种， ∴两位同学选择相同研学基地的概率为． 18. 开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得 为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或 ，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证． 已知 ，求证： 平分． 【答案】（1） ；全等三角形的对应角相等 （2） 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是 ，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，， 或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出 ，进而可得 ，根据等边对等角可得 ，等量代换可得 ，即可得证． 【小问1详解】 解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，， 或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 与中， ， ∴， ∴ ， ∴ 平分； 故答案为： ；全等三角形的对应角相等． 【小问2详解】 略 19. 如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴ ， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 20. 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的 处，工作人员所乘小船在 处测得无人机的仰角为 ，当工作人员沿正前方向划行 米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 【答案】无人机离湖面的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点 作 于点 ，设，根据题意得出 ，，在 中，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 依题意 设， 在中， ∴， ∵ ∴， 在 中， ∴ 解得： 答：无人机离湖面的高度为米 21. 归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙： （1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质 ①____________________________________________________________________________； ②____________________________________________________________________________； ③____________________________________________________________________________． （2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是 的中点， ， ，试帮他判断四边形 的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 解：直角三角形的3条性质： ① ； ②； ③ ； （2） 解：四边形 是菱形，理由如下： ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵，点D是 的中点， ∴ ， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）可写出直角三角形的性质，如勾股定理，直角三角形两锐角互余，斜边大于直角边等； （2）先证明为平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到 ，即可证明为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客， 舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时， 取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 23. 如图，在中， 是弦，是的切线，，点 ， ， 分别是线段 ，， 上的动点，连接 ，，． （1）试判断 与的位置关系，并说明理由； （2）若，试求与半径的数量关系． 【答案】（1）是的切线， 理由如下：如图，连接 ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，则 ，根据可得，根据 是的切线，可得，进而得出，即可得证； （2）根据已知条件，根据一线三等角证明得出相似比为，进而得出，过点作于点 ，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，连接 ，过点作于点 ，则， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴在 中，，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 ，过第四象限内抛物线上一点作 的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当 时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上， 上的动点P满足的值最小时，求的面积． 【答案】（1） （2）①；②的面积为2或3或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是 ，可得其外接圆的半径 ，再利用等积法求出r，即可解决问题； ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且 轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。 得，解得：， ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：①令， 解得：， ∴， ∵B，C， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ , ∴， ∴当 时，是等腰直角三角形，且 ， ∴， ∴的外接圆直径是 ， 则其外接圆的半径 ， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线 ，顶点M的坐标是， ∴直线 与x轴的交点T的坐标是， 作轴于点P，则在直角三角形中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且 轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在的内角的平分线上即时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴E、T重合， ∵B，C， ∴直线 的解析式是 ， 当 时，， ∴点P的坐标是， ∴， ∴； 当点F在的内角 的平分线上时，如图，作于点K， 则， 设，则， ∵，且, ∴， 解得：， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于， ∴点F不可能在的内角的平分线上； 当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则， ∴； 综上：的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 25. 综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在 中， ，是 边上一点，过点作于 ，于 ，过点 作于 ．连结 ，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2， 是等边三角形，，点 是 边上一点，连结 ．将线段 绕点 逆时针旋转 得，连结交 于，过点作于 ，于 ，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知 是半圆的直径，，是弦，，是 上一点，，垂足为 ，，求的值． 【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸： 【解析】 【分析】探究发现：图形面积分割法得出，根据 得出； 实践应用：过点分别作 的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含 度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得 是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解； 拓展延伸：延长交于点，过点作 于点 ，设，根据圆周角定理，得出，在 ，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解． 【详解】解：探究发现：∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 故答案为：， ，；． 实践应用：如图，过点分别作 的垂线，垂足分别为， ∵ 是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， 在中，． ∵将线段 绕点 逆时针旋转 得， ∴ ∴ 是等边三角形， ∴，则， ∴由探究发现可得：． 拓展延伸：如图，延长交于点，过点作 于点 ，连接 ， 设， ∵ 是半圆的直径， ∴， ∵， 在 中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴由探究发现可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $