A10 江苏省连云港市2025年中考数学试卷-【壹学知道】2026年江苏13大市中考数学精编28+6套卷

A10 连云港市2025年中考数学试卷 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的) 一5的绝对值是 A.5 B.-5 c.s D.5 2.2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月 球在1960000000年前仍存在岩浆活动.数据1960000000用科学记数法表示为 ( A.196×10 B.19.6×10 C.1.96×109 D.0.196×1010 曲 3.若x十1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A.x≤1 B.x≥1 C.x≤-1 D.x≥-1 录 4.下列长度（单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 ( ) 胸 A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 5.如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别 交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为 A.5 B.6 C. D.8 (第5题) (第7题) (第8题) 数 6.《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何 日相逢？”（凫：野鸭）大意为：野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，相向而行，经过多少天能够 相遇？若设经过x天能够相遇，则根据题意可列方程为 ( A7+g=1B7-g=1 ,1 C.7x+9x=1 D.9x-7x=1 p 7.如图，正比例函数y1=1x(,<0)的图像与反比例函数y2-(k,<0)的图像交于A,B两点， 点A的横坐标为一1.当y1<y2时，x的取值范围是 ( ) A.x<-1或x>1 B.x<-1或0<x<1 C.-1<x0或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂足， AD BE的 值为 ( A.23 73 c. 3 8√3 B. 3 2 D. 3 A10-1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9.计算：5a-3a= 10.分解因式：x2-9= 11.如图，ABCD,直线AB与射线DE相交于点O.若∠D=50°，则∠BOE的度数为 1.8 （第11题) (第12题) (第13题) 12.如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子的顶端的高度h 为 m. 13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则BC的长为 14.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(单位：P)是气球 体积V(单位：m3)的反比例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p= Pa. 15.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x一3)2十2.5运行，其中x是铅球离初始位置的 水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m,则铅球掷出的水 平距离OB为 m. (第15题) (第16题) 16.如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形， 则BE十BF的最小值为 三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(6分)计算：(-2)X(-5)-9-(2)°. 18.(6分)解方程x十1x 23 A10-2 3x-2<x+2, 19.(6分)解不等式组： 5x+5>2x-7. 20.(8分)一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或 列表的方法，求2次都摸到白球的概率. 21.(10分)为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理 数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表， 体重情况统计表 体重情况扇形统计图 组别 体重x/kg 频数（人数） A A类 x<49.5 10 25% D 50% B类 49.5≤x<59.5 a 20% C类 59.5x<69.5 6 D类 x≥69.5 6 根据以上信息，解答下列问题. (1)a= ,b= (2)在扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角度数是 (3)若该校八年级共有1200名学生，则体重在59.5kg及以上的学生大约有多少人？ A10-3 22.(10分)如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的 宽与正方形的边长相等. (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少 需要多少张正方形硬纸片？ 甲种纸盒 乙种纸盒 硬纸片 23.(10分)如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=6km,一艘 海轮D在岛A的正北方向，且B,D,C三点在一条直线上，DC-号BD. (1)求岛A与港口B之间的距离. (2)求tanC. (参考发据si血37r=号cos37r=号tam37=) 24.(10分)已知二次函数y=x2十2(a十1)x十3a2-2a十3，a为常数 (1)若该二次函数的图像与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围. (2)若该二次函数的图像与x轴有交点，求a的值. (3)求证：该二次函数的图像不经过原点. A10-4 25.(12分)有一块直角三角形木板ACB,它的一条直角边BC长2m,面积为1.5m2. (1)甲、乙两人分别用它按图1、图2设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形的面积较大. (2)丙、丁两人分别用它按图3、图4设计一个长方形桌面，请分别求出图3、图4中长方形的面积 y(单位：m2)与DE的长x(单位：m)之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值， 图1 图2 图3 图4 26.(12分)已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圆. (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆.（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，若⊙0的半径为R,求证：R=AC:AB 2AD· (3)如图3，延长AD交⊙O于点E,过点E的切线交OC的延长线于点F.若BC=7,AD=3√3， ∠ACB=60°，求CF的长. D D 图1 图2 图3 A10-5 27.(12分)综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB,BC上分别取点E,F,且AE=BF,AF交DE于 点O.连接AC,过点F作FG⊥AC,垂足为G,连接GD,GE,DE交AC于点P,GE交AF于点Q. 【活动猜想】 (1)GD与GE的数量关系是 ,位置关系是 【探索发现】 (2)证明(1)中的结论. 【实践应用】 (3)若AD=3,AE=1,求QF的长. 【综合探究】 (4)若AD=3,则当AP= 时，△DPG的面积最小. E A10-628.解析：本题考查了矩形的性质、解直角三角 形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性 质、勾股定理及等边三角形的判定与性质，作辅助线构 造全等三角形是解题的关键.(1)在Rt△ABC中利用 三角函数即可求得∠ACB的度数，过点E作EK⊥ CD于点K,易证△ABMD△EKH,进而得到EA AM EK_BC_3y3=3.(2)设AF=FM=x,先根据 ABAB 3 ∠FAG=60°及(1)中结论分别表示出FG,EH的长， 得EF十GH=√3x,再根据勾股定理求出AM的长， 进而求出x的值，即可求出EF十GH的值.(3)①要证 明MG=PG,很显然可以构造全等三角形来证明，过 点M作MK∥AB交EH于点K,则可构造出两对全 等三角形来解决问题；②要求线段DQ的最小值，先考 虑点Q的运动轨迹，利用相似证得∠DCQ=30°，进而 证明点Q的运动轨迹是线段. (1)解：，在Rt△ABC中，AB=3,BC=3√3， ∴.tan∠ACB= 提-g-号∠ac8-时 如图1，过点E作EK⊥CD于点K,则∠EKH= 90°，.∠AEK=90°，∠B=∠EKH,.∠BAM= 90°-∠AEH=∠KEH. .△ABM∽△EKH, :EH-EK-BC-33-月. AM ABAB 3 故答案为30；W3, (2)解：：EH垂直平分线段AM,∴.AF=FM. 设AF=FM=x,则AM=2x. FG :tan∠FAG=AF' ,∴.FG=AF·tan∠FAG=xtan60°=√3x. 由(1)知，EH=√3AM=2√3x, ∴.EF+GH=EH-FG=2√3x-√3x=3x. AB=3,BM=1,∴.AM=√AB2+BM= √3+T下=0，即2x=0,x= 2， 六EF+GH-5x=So 2 (3)①证明：如图2，过点M作MK∥AB交EH于 点K,则∠EAF=∠KMF,∠AEF=∠MKF. 又.AF=MF,∴.△AEF≌△MKF, ..EF=KF. 由(2)可知，FG=EF+GH,.KG=GH. MK∥AB,CD∥AB,∴.MK∥CD, ∴.∠KMG=∠P,∠MKG=∠PHG, ∴.△MKG≌△PHG,∴.MG=PG. ②解：如图3，连接AP,MQ,CQ,过点Q作QK⊥ BC交BC的延长线于点K. 易证△GFM≌△GTP,△GFA≌△GTQ,且 △GAM是等边三角形，.GA=GM=GP=GQ, .四边形AMQP是矩形且MQ:AM=√3， ∴.∠AMQ=∠B=∠K=90°. 由“一线三直角”模型可知△ABM∽△MKQ, OK-MQ-MK-/5. BM AM AB ∴.MK=√3AB=3√3=BC,.CK=BM, iam∠@cK-8-后，∠acK-6o .∠DCQ=30°，即点Q在∠DCQ=30°的边CQ 上运动， ∴.当DQ⊥CQ时，DQ取得最小值，最小值为 13 CD·sin30°=3×2=2： H 图1 图2 H G N O D ------ 图3 A10连云港市2025年中考数学试卷 1.A解析：本题考查了绝对值.一5的绝对值是 5. 2.C解析：本题考查了用科学记数法表示较大 的数.用科学记数法表示较大的数的一般形式为a× 10,其中1≤|a<10,n等于原数的整数位数减1. .1960000000=1.96×109. 3.D解析：本题考查了二次根式有意义的条件. 若√x十1在实数范围内有意义，则x十1≥0，x≥ 一1. 4.B解析：本题考查了三角形的三边关系. ,1十2=3，∴.长度为1,2,3的三根小木棒不能搭成三 角形，故A选项不符合题意；2十3>4，.长度为2， 3,4的三根小木棒能搭成三角形，故B选项符合题意； .3十5=8，∴.长度为3,5,8的三根小木棒不能搭成三 角形，故C选项不符合题意；，4+5<10，.长度为4， 5,10的三根小木棒不能搭成三角形，故D选项不符合 题意 5.C解析：本题考查了线段垂直平分线的性质. ,DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,.AE=BE, AG=CG,∴.AE+EG+AG=BE+EG十CG=BC= 7,即△AEG的周长为7. 6.A解析：本题考查了由实际问题抽象出一元 一次方程，理解两者相向而行，相遇时路程之和为全程 (即整体1)是解题的关键.野鸭从南海飞到北海需 7天，故其速度为；大雁从北海飞到南海需9天，故 其速度为)，设经过x天能够相遇，根据题意列方程 为7x十x=1 1 7.C解析：本题考查了反比例函数与一次函数 的交点问题.：正比例函数y1=k1x的图像与反比例 函数y,=的图像交于A,B两点，且点A的横坐标 为一1，点B的横坐标为1，结合图像可知，当y1<y2 时，x的取值范围是一1<x<0或x>1. 8.A解析：本题考查了含30°角的直角三角形的 性质、角平分线的性质、解直角三角形.，∠ACB= 90°，∠CAB=30°，∴.AB=2BC,AC=√3BC.设BC= x,则AB=2x,AC=√3x.:AD平分∠CAB, ∠ACB=90°，.点D到AC,AB的距离相等，均为CD 2AC·CD 的长，∠CAD=∠BAD,Sa2 2AB·CD cD·AC 一BC= 2BD·AC 品G-cm=2 2+√3 (23-3)x,AD=√AC2+CD=(32-√6)x. :BE⊥AD,∠CAD=∠BAD,.sin∠CAD= 如/BAD,0船即有--盟 3V2-6=2z,BE 6-2,AD_(32-6)x=25 2xBE= √6-√2 2 9.2a解析：本题考查了合并同类项.5a一3a= (5-3)a=2a. 10.(x一3)(x+3)解析：本题考查了用平方差 公式分解因式.x2-9=x2-32=(x-3)(x十3). 11.130°解析：本题考查了平行线的性质、邻补 角的定义.AB∥CD,∴∠AOE=∠D.,∠D=50°， .∠AOE=50°，.∴.∠BOE=180°-∠AOE=180° 50°=130°. 12.2.4解析：本题考查了勾股定理.由勾股定 理得h=√/32-1.82=2.4(m). 13.π解析：本题考查了圆周角定理、弧长的计 算.如图，连接OB,OC.,∠BAC=45°，∴.∠BOC= 2∠BAC=2X45=90,BC的长为90T2=元， 14.16000解析：本题考查了反比例函数的应用 以及用待定系数法求函数表达式.设力与V之间的函 数表达式为力=又(k为常数，且≠0)，将V=1.2, D=20000代入，得20000=1,2：解得k=24000,心p 与V之间的函数表达式为p= 40当v-1.5 24000 时，p= =16000(Pa). 1.5 15.8解析：本题考查了二次函数的应用、用待 定系数法求函数表达式.由题意可知，点A的坐标为 (0,1.6),将点A的坐标代入y=a(x-3)2+2.5,得 1.6=a(0-3)2+2.5,解得a=-0.1,.y= -0.1(x-3)2+2.5.令y=0,得0=-0.1(x-3)2+ 2.5,解得x1=一2（不符合题意，舍去），x2=8,点B 的坐标为(8,0)，即OB为8m. 16.√13解析：本题考查了菱形的性质、平行四 边形的判定与性质、勾股定理以及两点之间线段最短， 添加恰当的辅助线，将求BE+BF的最小值转化为求 BF十FM的最小值是解题的关键.如图，连接DE :在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,∴.AC⊥BD, 0M=0C=号AC=2.0B=0D-号BD=1,即Ac垂 直平分BD,.DE=BE.,四边形DAEF是平行四边 形，.AD∥EF,AD=EF.过点F作FM∥DE,交AD 的延长线于点M,即四边形DEFM是平行四边形， .'DE=FM,DM=EF,.'BE FM,DM=AD, .BE+BF=FM+BF≥BM,当B,F,M三点共线 时，FM十BF取得最小值，即BE十BF的最小值就是 BM的长.过点M作MP⊥BD交BD的延长线于点 P,则PM∥AC,.∠PMD=∠DAO.:∠P= ∠AOD=90°，DM=AD,∴.△PDM≌△ODA(AAS), .PD=OD=1,PM=OA=2,..PB=PD+BD= 1+2=3.在Rt△BPM中，BM=√PB2+PM= √3+2=√I3,即BE十BF的最小值为√I3. P-M 17.解析：本题考查了实数的混合运算.先分别对 有理数的乘法、算术平方根、零指数幂进行化简，然后 计算即可. 解：原式=10-3-1=6. 18.解析：本题考查了解分式方程.先将分式方程 转化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验这个整 式方程的解是否是原分式方程的增根即可. 解：去分母，得2x=3(x十1)， 去括号，得2x=3x十3， 移项、合并同类项，得一x=3, 系数化为1，得x=一3. 检验：当x=一3时，x(x十1)=6≠0， .x=一3是原分式方程的解. 19.解析：本题考查了解一元一次不等式组.先求 出每个不等式的解集，再求出这两个解集的公共部分 即可. 解：解不等式3x-2<x+2,得x<2. 解不等式5.x+5>2x-7,得x>-4. ,.原不等式组的解集为一4<x<2 20.解析：本题考查了用列表法或画树状图法求 事件的概率、概率公式.(1)直接根据概率公式即可得 出答案；(2)列表或画树状图得出所有等可能的结果数 以及2次都摸到白球的结果数，再根据概率公式即可 得出答案. 解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中任 意摸出1个球，摸到红球的结果只有1种，.摸到红球 的概率是 故答案为4 (2)记红球为A,3个白球分别为B,C,D,画树状 图如图所示.由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中2次都摸到白球的结果有9种，，∴.2次都摸到白球 的概率为。 开始 第1次 B D 第2次 A B C D A B C D A B C D A B C D 21.解析：本题考查了频数分布表、扇形统计图以 及用样本估计总体.(1)根据A类的人数和所占的百 分比求出总人数，然后用总人数乘B类所占的百分比， 即可求出a的值，进而可求出b的值；(2)用360°乘C 类所占的百分比即可；(3)用八年级的学生人数乘对应 的比例即可. 解：(1)抽取的总人数是10÷25%=40（人）， B类的人数a=40×50%=20(人)， D类的人数b=40-10-20-8=2(人). 故答案为20,2. (2)360°X20%=72°. 故答案为72° (31200×8+2=300(人). 40 答：体重在59.5kg及以上的学生大约有300人. 22.解析：本题考查了二元一次方程组、一元一次 不等式以及一次函数的应用.(1)设恰好能制作甲种纸 盒x个，乙种纸盒y个，然后根据题目中的等量关系 列出方程并求解即可；(2)先设制作乙种纸盒m个，需 要心张正方形硬纸片，根据题意列出)关于m的函 1 数表达式，然后由m≥2(100一m)求出m的取值范 围，最后根据一次函数的性质即可得出答案， 解：(1)设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒 y个. 根据题意，得 工+2)=20：解得z=40, 4x+3y=400, y=80. 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个. (2)设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬 纸片， 则心=2m+(100一m)=100+m. 1>0,∴.w随m的增大而增大， .当m取最小值时，有最小值. 100 根据题意，得m≥2(100-m),解得m≥ 3 又m为正整数，m的最小值为34， 即当m=34时，w取最小值，此时w=100十34= 134. 答：至少需要134张正方形硬纸片. 23.解析：本题考查了解直角三角形的应用、相似 三角形的判定与性质.(1)过点B作BM⊥AD,垂足为 M,先证明△BDMO△CDA,得曲-邵从面求 出BM的长，再在Rt△AMB中用锐角三角函数即可 求出AB的长；(2)先在Rt△AMB中用锐角三角函数 求AM的长，再由△BDM△CDA,得出光-号， 从而求出AD的长，最后在Rt△DAC中根据锐角三 角函数的定义即可得出答案 解：(1)如图，过点B作BM⊥AD,垂足为M. 由题意，得AC⊥AD,∴.BM∥AC, 2 △BDM△cDA,2x-8品 叉：DC=2BD,AC=6km,BM= 5 km. 5 在Rt△AMB中，Sin∠BAD=BM AB=sin37°≈ 3 12 .AB≈3 =4(km), 5 答：岛A与港口B之间的距离约为4km. (2)在Rt△AMB中，AM=AB·cos37°≈4X 416 5=5(km). 由I)知，△BDM△CDA,:DM_BD_=2, AD CD 5' AD-DM. 又：AD+DM=AM, AAD=5AM=号×号-9km), 5、1616 16 AD 7 8 在Rt△DAC中，tanC=AC=6=21 北 C 24.解析：本题考查了二次函数的图像与x轴的 交点问题、二次函数的图像与性质.(1)由二次函数的 图像与直线y=2a2有两个交点，可知二次函数的最小 值小于2a2,列不等式求解即可；(2)由二次函数的图 像与x轴有交点，可知一元二次方程x2十2(a十1)x十 3a2-2a十3=0的根的判别式不小于零，列不等式求 解即可；(3)当x=0时，得出函数值y>0即可得证. (1)解：，二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2- 2a+3中，1>0， 二次函数的图像开口向上. :二次函数的图像与直线y=2a2有两个交点， ∴，二次函数的最小值小于2a2. :二次函数的最小值为4(3a-2a十3)-4a+1) 4 2a2-4a十2， 2a2-4a+2<2a2,解得e>号 (2)解：，二次函数的图像与x轴有交点， .方程x2+2(a十1)x十3a2-2a十3=0有解， .4(a+1)2-4(3a2-2a+3)=-8a2+16a- 8=-8(a-1)2≥0， .8(a-1)2≤0. 又.8(a-1)2≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明：当x=0时，y=3a2-2a+3=3(a- 》°+8>0… 该二次函数的图像不经过原点， 25.解析：本题考查了相似三角形的判定与性质、 勾股定理、正方形和矩形的性质、二次函数的应用. (1)根据题意分别计算出AC和AB的长，然后根据相 似三角形的性质分别求出图1和图2中正方形的边 长，进行比较即可；(2)根据相似三角形的性质，分别用 含x的代数式表示出图3和图4中矩形的长与宽，然 后列出长方形的面积y与DE的长x之间的二次函数 表达式，结合二次函数的图像与性质求出最大值即可. 解：(1)BC=2m,Rt△ABC的面积为1.5m2, AC=1.5=1.5(m. x 在Rt△ACB中，AB=√BC2+AC= √22+1.5=2.5(m). 在题图1中，设正方形CDEF的边长为am. 四边形CDEF是正方形， .'DE//CF,DE=CD=a m,AD=(1.5-a)m, DE AD ·Rt△ADECRt△ACB,CB-AC' 即台=1552得a=号 在题图2中，设正方形DEFG的边长为bm, ,四边形DEFG是正方形， .DE∥GF,DE=DG=bm, ∴Rt△DCE∽Rt△ACB,.A=5, 86-2是号nc-6m ∴AD=Ac-Dc=(g号b)m ,∠A=∠A,∠AGD=∠C=90°， R△AGDR:AACB,A0-BC. 33 即25b b 30 2.5一=2，解得6= 37 :号一器器…题图1中的正方形面积较大。 (2)在题图3中，四边形CDEF是长方形， .DE∥CF,∠ADE=∠C=90°，DE=CF=xm, DE AD ·.Rt△ADEORU△ACB,CB-AC' D-CAD- 3 4xm, DC=Ac-AD=(径-+)m, .题图3中长方形的面积y=DE·DC=x· (名-)=-红-1+ :-是<0，当2=1时，长方形的面积有最大 值为m 在题图4中，同理题图2可得，Rt△DCE∽ R△ACB,ACAB' .DC DE 6品6-号nc 5 x m, AD=AC-DC=(号g)m 同理题图2可得，R△AGD∽Rt△ACB,:AP AB DG.DG BC 2 4 BC,. ADAB2.55’ DG=4AD=（2-号)m, 4/331 .题图4中长方形的面积y=DE·DG=x· 号<0，当=时，长方形的积有级大 值，为m 26.解析：本题考查了尺规作图一三角形的外 接圆的作法、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、 切线的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角 形.(1)分别作AB,BC的垂直平分线交于点O,以OA 的长为半径作圆，⊙O即为所求；(2)连接AO并延长 交⊙O于点M,连接BM,证明△ABM∽△ADC,根据 相似三角形的性质即可证得结论；(3)连接OE,根据 EF为⊙O的切线，得出∠OEF=90°，进而证明 △OEC是等边三角形，进一步得出CE=CF=R,在 Rt△ADC,Rt△ADB中分别求得AC,AB的长，然后 代入(2)的结论求出R的值即可得出CF的长. (1)解：如图1，⊙O即为所求. (2)证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于点M, 连接BM, 则AM为⊙O的直径，∴.∠ABM=90°，AM=2R. ,AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，.∠ABM= ∠ADC. '∠AMB=∠ACB,∴.△ABMD△ADC, 品把品R-A0 2AD (3)解：如图3，连接OE. EF为⊙O的切线，.∠OEF=90°. ,∠ACB=60°，∠ADC=90°， ∠DAC=30°，.∠EOC=60°，∴∠F=30. ,OE=OC,.△OEC是等边三角形， .∴.CE=OE=R,∠OEC=∠OCE=60°， .∠CEF=∠OEF-∠OEC=90°-60°=30°， .∠CEF=∠F,CF=CE=R. 在Rt△ADC中，AD=3√3，∠ACB=60°， CD,即g=33 tan60°-AD, -CD,.CD=3, ∴.BD=BC-CD=7-3=4. 在Rt△ADC中，AC=√JAD2+CD= √/(33)2+32=6. 在Rt△ADB中，AB=√AD2+BD2= √(33)2+42=√43. R=AC:AB_6X43129 2AD 2×3√3 3 ·CF=V129 3 M 图1 图2 0 E 图3 27.解析：本题是四边形综合题，主要考查了正方 形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短 (1)根据图形进行猜想即可；(2)过点G作GM⊥BC于 点M,过点G作NT⊥GM分别交AB,CD于点T,N, 易证四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形， 根据正方形和矩形的性质证明Rt△DVG≌Rt△GTE, 进而可证明(1)中的猜想；(3)由题意易证Rt△DAE≌ Rt△ABF,则有∠ADE=∠BAF,AF=DE,从而可得 ∠AOE=90°，然后由勾股定理和等面积法分别求出 DE,AF,AO,OE的长，结合(2)的结论可证明△EOQ 为等膜直角三角形，得出OQ=0R=,由此即可 求得QF的长；(4)构造△DGP的外接圆⊙H,连接 DH,PH,GH,过点H作HR⊥AC于点R,设⊙H的 半径为，则有PG=Er,进而得到SA心=3 4PG, 则当PG最小时，△DPG的面积最小，即当r最小时， △DPG的面积最小，由DH+HR=r+2,=(1力 2r可知，当DH+HR最小时，△DPG的面积最 小，此时D,H,R三点共线，且DR⊥AC,易知点R与 点T重合，由此即可求得AP的长. (1)GD=GEGD⊥GE (2)证明：如图1，过点G作GM⊥BC于点M,过 点G作NT⊥GM分别交AB,CD于点T,N. ,四边形ABCD是正方形，∴.∠ACB=45°， ∠B=∠BCD=90°， .∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC=∠BCD= ∠NGM=90°， ,∴，四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正 方形， ,'.GN=GM=MC=CN=BT,∠CNT=∠BTG= 90°，BM=GT, .∠DNG=∠GTE=90°， .'DC-CN=BC-CM,DN=BM, ∴.DN=GT. .FG⊥AC,∠ACB=45°， .∠CFG=∠ACB=45°， ∴.GF=CG,.MC=MF, ∴.GN=GM=MC=CN=BT=MF .AE=BF,.'.AB-AE-BT=BC-BF-MF, ..ET=MC,.'.ET=GN, .Rt△DNG≌Rt△GTE,∴.DG=GE,∠NDG= ∠TGE. 又.∠NDG+∠NGD=90°，∴.∠TGE+ ∠NGD=90°， ∴.∠DGE=180°-（∠TGE+∠NGD)=180°- 90°=90°， .DG⊥GE. D G dM A E T B 图1 (3)解：在正方形ABCD中，AB=AD,∠DAE= ∠ABF=90°，AE=BF, .Rt△DAE≌Rt△ABF,.∠ADE=∠BAF, AF=DE, ∴.∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°， ∴.∠AOE=90°，.AF⊥DE. 在Rt△DAE中，DE=√JAE2+AD= √12+32=√10，AF=√/10. 由等面积法得号DE·A0=号AD·AE,∴A0- AD·AE_3×13√10 DE√10 10 在Rt△AOE中，OE=√AE2-AO产= -(8)-0 10· 由(2)可知，GD=GE,GD⊥GE, ∴.∠GED=45°，.△EOQ为等腰直角三角形， OQ-OE-00 QF-AF-AO-OQ- 10-3/0-10310 1010-5 (4)解：如图2，作△DPG的外接圆⊙H,连接DH, PH,GH,过点H作HR⊥AC于点R,过点D作DT⊥ AC于点T,设⊙H的半径为r. 由(2)可知，GD=GE,GD⊥GE,.∠GDP=45°， .∠PHG=2∠GDP=90. HP=HG,△HPG是等腰直角三角形， HR=PR=GR=号GP4， 22， PG=√2r ,在正方形ABCD中，AD=3,△ACD是等腰直 角三角形， AC-/AD-3/,DT-AT-CT-3/2 2 sam=oDn-2心×22-33rc, 2 .当PG最小时，△DPG的面积最小，即当r最小 时，△DPG的面积最小. DH+服=+受-1+号)， .当DH+HR最小时，△DPG的面积最小. 当D,H,R三点共线，且DR⊥AC时，DH+HR 最小，此时点R与点T重合，如图3. 则DR=(1+号)-3解得=32-3， PR=号，-6-32 27 2一 :.AP-AR-PR-AT-PR-3/2_6-3/Z_ 2 2 3√2-3. 故答案为3√2一3. 70 E 图2 图3 A11准安市2025年中考数学试卷 1.D解析：本题考查了相反数的概念.只有符号 不同的两个数互为相反数，故一3的相反数是3. 2.C解析：本题考查了轴对称图形的概念，找到 图形的对称轴是解题的关键.在A、B、D选项的图形中 都不能找到这样一条直线，使图形沿这条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，故它们都不是轴对称图 形；在C选项的图形中能找到这样一条直线，使图形沿 这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故它是 轴对称图形. 3.C解析：本题考查了用科学记数法表示较大的 数.用科学记数法表示较大的数的一般形式为a×10, 其中1≤|a<10,n等于原数的整数位数减1.，∴.24.2 亿=2420000000=2.42×10°. 4.A解析：本题考查了同底数幂的乘法与除法、 合并同类项、幂的乘方.a3÷a=a3-1=a2,故A选项符 合题意；a2·a3=a2+3=a5,故B选项不符合题意；a'与 a3不是同类项，无法合并，故C选项不符合题意； (a)3=a4x3=a12,故D选项不符合题意， 5.A解析：本题考查了面动成体.将直角三角形 绕其中一直角边所在直线旋转一周，得到的图形是圆 锥，故A选项符合题意. 6.B解析：本题考查了由实际问题抽象出二元一 次方程组，理解题意并列出相应的二元一次方程组是 解题的关键，根据题意列方程组为=400x一3400， y=300x-100. 7.B解析：本题考查了平行线的性质、正多边形 的性质.如图，过点E作ME∥a,交AB于点M,过点 D作ND∥a,交BC于点N.,'六边形ABCDEF是正 六边形，÷∠FED=∠EDC=（6-2)X180-120 6 :a∥b,∴.a∥ME∥ND∥b,∴.∠MEF=∠1=40°， ∴.∠MED=∠FED-∠MEF=120°-40°=80°， .∠NDE=180°-∠MED=180°-80°=100°， ∴.∠NDC=∠EDC-∠NDE=120°-100°=20°， ∴.∠2=∠NDC=20°. H 8.C解析：本题考查了相似三角形的判定与性 质、反比例函数图像上点的坐标特征、锐角三角函数的 定义，熟练掌握“一线三直角”模型是解题的关键.如 图，过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴 于点D,则∠ACO=∠ODB=90°，.∠CAO+ ∠AOC=90°.∠AOB=90°，.∠DOB+∠AOC= 90°，∴.∠CAO=∠DOB,∴.△ACO∽△ODB,. AC OD BDOB在R△A0B中，∠OBA=30,tan∠OBA OC AO tan30=A0-3,:AC_0C_5 OB=3ODBD=S“点B的坐标为 (1,=3),.BD1,OD=3,AC==3,AC= 3 月，0C=A(,）点A在反比例函数y (x>0)的图像上，k=3× x 3 D-B 9.a≠1解析：本题考查了分式有意义的条件. 根据题意，得a一1≠0，解得a≠1. 10.2解析：本题考查了二次根式的乘法.原 式=√12x写-4=2. 11,80°解析：本题考查了三角形内角和定理、等 腰三角形的性质.，等腰三角形的两底角相等，，此等 腰三角形的顶角的度数是180°一2×50°=80°. 12.（一1,5)解析：本题考查了坐标与图形变 换一平移，掌握平移中点的坐标的变化规律是解题 的关键.，点P(一1,1)沿y轴向上平移4个单位长度 后，其横坐标不变，纵坐标加4，.点P平移后的点的 坐标是（一1,5）. 13.4解析：本题考查了平行四边形的性质、三 角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质.在 △ABC中，AC⊥AB,E为BC的中点，.BC=2AE= 8.,四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD.又：F 为CD的中点，.OF是△BCD的中位线，.OF= 2BC=4. 14.6(答案不唯一)解析：本题考查了一次函数 的性质、旋转的性质.，直线l1:y=一x十6经过点 A(1,a),.a=-1十6=5，直线l1与x轴的夹角为 45°.当直线l1绕点A旋转a(45°<a<90)后得到直线 l2,则直线l2经过点A,且呈上升趋势，.当m>1时，