期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年北师大版七年级数学版下册

**基本信息** 北师大版七年级数学下册期末培优卷，以现实情境与文化素材为载体，通过基础-提升-创新三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、科学记数法、整式运算|结合油纸伞文化考三角形全等，以书架放三角板考几何应用| |填空题|6/18|概率、变量关系、角的计算|有机物结构式探究C与H关系，体现抽象能力| |解答题|8/72|统计、几何证明、动态问题|青少年模式调查考数据分析，声音传播速度建模考模型意识，类比探究题考推理能力|

期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年北师大版七年级数学版下册 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图案中不是轴对称图形的是（  ） A．B． C．D． 2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3010000000人一年的口粮，用科学记数法表示3010000000为（　　） A．3.01×109 B．0.301×109 C．3.1×108 D．301×107 3．下列算式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．方程，，则（    ） A．1 B．0 C．1.5 D．2 5．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式             A． B． C． D． 6．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 7．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（     ） A． B． C． D． 8．一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 9．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 10．有4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，涂上阴影设计为中心对称图形，设图中大正方形面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______． 12．已知，则的值为______． 13．一个角的余角等于它补角的，则这个角的度数是______． 14．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 15．在x+p与x2-2x+1的积中不含x，则p的值为_________． 16．约定：三个正整数m，n，a，若满足，称m，n是关于a的“和谐数组”，将这个“和谐数组”记为．如：关于3的“和谐数组”共有2组，分别是．已知关于正整数c的“和谐数组”为，其中的x，y满足，则关于正整数c的“和谐数组”的组数共有________组． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 18．如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． (1)作关于直线l对称的； (2)与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由； (3)在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 19．“项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】 (1)求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 (2)若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ (3)若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 20．科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 21．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 22．在中，，．点是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，当点在线段上时不与点重合，则 度；线段，，的数量关系为 ； (2)当点在线段的延长线上时， ①请你写出线段，，的数量关系，并证明你的结论； ②连接，，若，，请求出的面积． 23．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 24．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点，，的角平分线交于点，为线段上一动点（不与，重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转（其它点不动），旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时的值． 25．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A B A A B A A 二、填空题 11．3 12． 13．/45度 14． 15． 16．14 三、解答题 17．【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 18．【详解】（1）如图，即为所求． （2）是．如图，直线m即为所求． （3）如图，作线段BC的垂直平分线， 则点P即为所求． 19．【详解】（1）解：被调查的总人数为（人）， 则， ∴； A组人数为（人）， 补全图形如下： （2）解：（人）， 答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人； （3）解：（人）， 答：D中女生有3人． 20．【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3） ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 21．【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 22．【详解】（1）解：在中，，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 故答案为：；； （2）①线段、、的数量关系是：，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②，， ， 由①可知：， ，， 在中，，， ， ， ， ， 即， 的面积是：． 23．【详解】（1）解：由图中大正方形的面积可得，； （2）解：∵， ∴需要3张号纸片； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②令，则，， ∵， ∴， ∴，即． 24．【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， ， ，， ，， ，即， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，的值为，，，或； 由（1）可知，，，， ， ，， ①如图1，当时，与相交于点， ， ， ， ， ； ②如图2，当时， ， ， ； ③如图3，当时， ， ， ， ； ④如图4，当时， ， ， ， ； ⑤如图5，当时， ， ， ， ； 综上所述：当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，的值为，，，或． 25．（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $