精品解析：山东聊城市高唐县部分校2025-2026学年高一下学期6月联考数学试题

数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章9.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量与不共线，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，用斜二测画法得到 的直观图是，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，， ，，其中.以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，则几何体与的体积的比值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为3，P为棱上更靠近A的三等分点，则平面截该正方体的截面的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一．明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东53°48′的492m处，8号门在4号门的东偏北75°48′方向，且1号门在8号门的西偏南63°18′方向，则1号门到8号门的距离约为（参考数据：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（ ） A. 2112m B. 2107m C. 2105m D. 2109m 8. 在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. 的虚部为5 D. 为纯虚数 10. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 11. 已知正方形的边长为，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（ ） A. 点不在四棱锥外接球的球面上 B. 四棱锥内切球的表面积为 C. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D. 几何体的五个面所在平面将空间分成个部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 13. 在中，，且三点共线，则___________． 14. 定义：多面体顶点的曲率等于与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）.例如：正方体每个顶点均有个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥在顶点处的曲率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学高一年级有男生560人，女生520人，李老师按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为15.6岁、15.5岁． （1）若李老师在各层中按比例分配样本，总样本量为108，分别求抽取的男生、女生人数； （2）若李老师从男生、女生中抽取的样本量分别为140和130，试估计该中学高一年级学生的平均年龄（结果精确到0.01）． 16. 已知向量． （1）证明：为定值． （2）当时，求与的夹角． （3）求函数的最大值． 17. 如图，在平面图形中，四边形为菱形， ，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接 ，得到四棱锥． （1）证明：． （2）设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 18. 的内角的对边分别为，已知为钝角，，且． （1）证明：． （2）求． （3）若的中线，求． 19. 在正三棱柱中，，点在线段上，且，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）设二面角的大小为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章9.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量与不共线，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由平面向量基本定理，不共线时，等式两边对应系数相等， 所以，得方程组，解得. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算先计算，再根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由， 所以复数在复平面内对应的点为位于第二象限. 3. 如图，用斜二测画法得到 的直观图是，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由斜二测画法可知， ，，， 由余弦定理得 故． 4. 已知两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，解得或， 但当时，，不满足题意，故， 则“”是“”的充要条件. 5. 在中，， ，，其中.以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，则几何体与的体积的比值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆锥体积公式分别求解体积即可. 【详解】设几何体与的体积分别为，，则， 因为，所以，故的取值范围是. 6. 已知正方体的棱长为3，P为棱上更靠近A的三等分点，则平面截该正方体的截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面的性质确定截面的形状，再求其面积. 【详解】如图， 取棱 上更靠近的三等分点，连接 ，. 因为，， 所以平面截正方体的截面为平行四边形. 而平面，则平面， 又平面，则 ，则该平行四边形为矩形. 因为 ，，所以该截面的面积为. 7. 明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一．明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东53°48′的492m处，8号门在4号门的东偏北75°48′方向，且1号门在8号门的西偏南63°18′方向，则1号门到8号门的距离约为（参考数据：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（ ） A. 2112m B. 2107m C. 2105m D. 2109m 【答案】A 【解析】 【分析】记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，由题意可得，，再结合正弦定理即可求解. 【详解】记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C， 则根据条件可得，. 由正弦定理可得， 得. 故选：A 8. 在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，利用线面垂直判定定理证明平面，进而得出动点的轨迹即为，再计算求出． 【详解】取中点，连接， 分别是中点， ， 又平面，则平面， 平面， ， 由正方形的性质可知， 分别是中点， ，故， 平面，， 平面，则动点平面， 是侧面内的一个动点， 动点的轨迹即为， 已知是边长为5的正方形，， 则， 分别是中点， ，即动点的轨迹长度为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. 的虚部为5 D. 为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设及复数除法计算方式可得，然后由复数模，虚部，纯虚数等概念可判断各选项正误. 【详解】由题. 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，的虚部为5，故C正确； 对于D，为纯虚数，故D正确. 10. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】若，满足，但不满足，故A错误； 若，平面内存在平行于交线的直线，这条直线与平面平行，故B错误； 若，则一个平面内任意直线与另一平面无交点，即，故C正确； 若，则不满足，故D错误． 11. 已知正方形的边长为，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（ ） A. 点不在四棱锥外接球的球面上 B. 四棱锥内切球的表面积为 C. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D. 几何体的五个面所在平面将空间分成个部分 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可将补成一个正方体，利用等体积法与内切球公式求解内切球表面积，通过割补法求解公共部分体积，并由三棱柱的几何特征直接确定空间划分个数. 【详解】将四棱锥补成一个正方体，则四棱锥的外接球为该正方体的外接球， 因为点是该正方体的一个顶点，所以点在四棱锥外接球的球面上，A错误. 四棱锥的体积， 侧面积， 表面积， 则四棱锥内切球的半径， 则该内切球的表面积为，B正确. 连接，易知，， 则四边形和四边形均为平行四边形， 设，，则，分别为，的中点， 设，的中点分别为，，连接，，，， 则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体， 其体积为四棱锥和三棱柱的体积之和， 即，C正确. 因为几何体为三棱柱， 三个侧面，，同时平行于， 此时这三个平面退化为三条两两相交的直线，共分割成7个区域， 剩下两个平行的平面将这七个区域再次分割成3部分， 即它的五个面所在平面将空间分成个部分，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 【答案】60 【解析】 【详解】由圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm， 则圆台的上、下底面的面积分别为，， 而圆台的高为6cm，则圆台的体积为， 又圆台的密度为， 所以该圆台的质量为. 13. 在中，，且三点共线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线，可得，再由题设及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因三点共线，则， 又，则（显然不为0），从而，结合，平面向量基本定理， 可得. 14. 定义：多面体顶点的曲率等于与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）.例如：正方体每个顶点均有个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥在顶点处的曲率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由底面可得，，进而得到，，再根据两角和的正切公式求得，进而结合题设定义求解即可. 【详解】如图，因为底面，底面，所以，. 因为，，， 所以，， 则. 因为，， 所以，则，而， 故三棱锥在顶点处的曲率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学高一年级有男生560人，女生520人，李老师按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为15.6岁、15.5岁． （1）若李老师在各层中按比例分配样本，总样本量为108，分别求抽取的男生、女生人数； （2）若李老师从男生、女生中抽取的样本量分别为140和130，试估计该中学高一年级学生的平均年龄（结果精确到0.01）． 【答案】（1）抽取男生56人，女生52人 （2）估计高一年级学生平均年龄为15.55岁 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样按比例分配的规则，先求抽样比再计算各层抽取人数； （2）利用分层抽样总体均值的估计方法，以各层总人数为权重计算加权平均得到结果. 【小问1详解】 由题意得：高一年级的总人数为：， 所以抽取的男生人数为：人， 抽取的女生人数为：人， 所以抽取男生56人，女生52人； 【小问2详解】 设通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为岁和岁， 所以（岁）， 所以估计该中学高一年级学生的平均年龄为15.55岁. 16. 已知向量． （1）证明：为定值． （2）当时，求与的夹角． （3）求函数的最大值． 【答案】（1），为定值； （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由向量的模的运算求解； (2) 由向量的数量积运算求解； (3) 因为，再由进行求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 当时，则， 得， 设与的夹角为，则， 由，得． 【小问3详解】 由，得， 则函数的定义域为， 由，等号成立时，共线， 则， 得，由于， 得，故函数的最大值为． 17. 如图，在平面图形中，四边形为菱形， ，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接 ，得到四棱锥． （1）证明：． （2）设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，，. 由折叠性质得，为等腰三角形，故 . 四边形为菱形且，为等边三角形，因此 . 又，平面，故 平面. 因平面，因此 ，得证. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直的方法证得. （2）（i）判断 与平面所成角，解直角三角形求得其正弦值. （ii）利用等体积法求得到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由平面 平面，平面平面，平面且 ， 故 平面，即为与平面所成的角. 由得，故， 在中，. 等边中，. 在中，，故. （ii）设点到平面的距离为，由等体积法得. 菱形中，，， 故. 三棱锥的高为， 故. 在中，，，， 由余弦定理得， 故， 因此. 由，解得. 18. 的内角的对边分别为，已知为钝角，，且． （1）证明：． （2）求． （3）若的中线，求． 【答案】（1）证明：由三角形内角和定理得，故. 由余弦和角公式展开得，代入得，解得. 则. 因为钝角，故，，即，因此，得证. （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和与余弦和差角公式，结合已知余弦乘积推导，结合角的范围完成证明； （2）联立内角和等式与的关系式，解方程组求得角； （3）通过向量中线公式建立边的方程，结合正弦定理得到两边比例，代入化简求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 联立，两式相加得，解得. 【小问3详解】 由为边上的中线，得， 两边取模长得. 代入，，，， 得，即. 由正弦定理得，故. 由得，因此. 由得，，， 故，即. 将代入得， 整理得，解得. 19. 在正三棱柱中，，点在线段上，且，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）设二面角的大小为，证明：. 【答案】（1）延长交于点，由，得，即为的中点， 因为是棱的中点，，所以， 则四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）取的中点，连接，在等边中， . 因为平面 ，平面 ，所以. 又，平面，所以平面. 设，连接，，则， 则，所以四边形是平行四边形，则， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）二面角即二面角. 取的中点，连接.易证平面，则. 过点作的垂线，垂足为，连接. 又，且，所以 平面，则， 所以二面角的平面角为. 因为.，， 所以由等面积法可得，则， 所以. 因为，所以，即. 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，再应用线面平行判定定理证明； （2）先应用线面垂直得出平面，再应用平行得出平面，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （3）先应用二面角定义得出二面角的平面角为，再应用等面积法结合边长及正切值域计算证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $