精品解析：山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

新泰中学2024级高一下学期第一次大单元测试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知点，，向量，则向量（ ） A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （3，6） D. （﹣3，﹣5） 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（    ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，且，则的形状为（ ） A 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知中，,点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为 A B. C. D. 7. 已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知三个非零向量，，共面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则存在实数，使 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 对于任意向量，，必有 C. 平行向量不一定共线向量 D. 若，满足且与同向，则 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是充要条件 C. 若a=1，b=2，A=30°，则解此三角形必有两解 D. 若是锐角三角形，则A+B>cosA+cosB 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 三、填空题 12. 若点、的坐标分别为、，向量，且，则的值为________． 13. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是______． 14. 外接圆圆心为，，，分别为，，所对的边，若，则的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知，，且． （1）若，求的值； （2）求与夹角的余弦值． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． 求A； 若，求的面积． 17. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD的长； （2）的大小． 18. 已知锐角△中的三个内角分别为，，． （1）设，判断△的形状； （2）设向量，，且，若，求的值． 19. 如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. （1）求客轮的速度； （2）若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） （3）现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰中学2024级高一下学期第一次大单元测试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知点，，向量，则向量（ ） A. （1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （3，6） D. （﹣3，﹣5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件利用向量的减法和向量的坐标运算即可得解． 【详解】设点，所以，即，解得， 于是得点，因此，， 所以向量. 故选：A 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可. 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 3. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得， . 故选：B. 4. 已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】如图， ，， 所以 . 故选：A 5. 在中，已知，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可； 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 6. 已知中，,点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，写出点坐标，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，所以是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，如图， 则,,设，则,,所以，当时取最小值.故选C. 【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用，几何图形中向量的运算优先使用向量的坐标形式. 7. 已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解. 【详解】因为 ， ，， 又与的夹角为， 所以，即， 解得：. 故选：D. 8. 在锐角中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 二、多选题 9. 已知三个非零向量，，共面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则存在实数，使 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的传递性，平面向量数量积的定义，平面向量共线定理，对选项逐个判断，找出正确选项. 【详解】对于选项A，，，根据向量的传递性得，故选项A正确； 对于选项B，若，，因为它们为共面向量，则，故选项B正确； 对于选项C，由得，因为，，是三个非零向量， 所以得，无法推出，故选项C错误； 对于选项D，因为，为非零向量，由平面向量共线定理可知，若，则存在唯一的实数，使，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 对于任意向量，，必有 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 若，满足且与同向，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于C：根据共线向量的定义即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断. 【详解】对于A，单位向量模都为1，方向不一定相同，故A错误； 对于B，若方向相同，则， 若方向相反，则， 若不共线，根据向量加法三角形法则及两边之和大于第三边可知. 综上可知对于任意向量，必有，故B正确； 对于C，平行向量就是共线向量，故C错误； 对于D，两个向量不能比较大小，故D错误. 故选：ACD. 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是充要条件 C. 若a=1，b=2，A=30°，则解此三角形必有两解 D. 若是锐角三角形，则A+B>cosA+cosB 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断ABC，利用三角函数性质判断D． 【详解】选项A．若，又由正弦定理得，，，∴，不能得出，A错； 选项B，，结合正弦定理得，反之也成立，B正确； 选项C，若a=1，b=2，A=30°，则由正弦定理和，是三角形内角，则，三角形只有一解，C错； 选项D，若是锐角三角形，则，， 所以，，所以，D正确． 故选：BD． 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 三、填空题 12. 若点、的坐标分别为、，向量，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，即可求得实数的值. 【详解】由已知条件可得， 因为，则，解得. 故答案为：. 13. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】向量，，由与的夹角是锐角，得且不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围是且. 故答案为：且 14. 外接圆圆心为，，，分别为，，所对的边，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于D，于E，则由外心的性质知，D，E分别为AC，AB的中点，从而有，同理，，代入条件，即可求得取值范围. 【详解】作于D，于E，则由外心的性质知，D，E分别为AC，AB的中点， 则， 同理， 故 又，即，， 故， 故答案为： 四、解答题 15. 已知，，且． （1）若，求的值； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可； （2）根据向量夹角公式直接计算即可. 【小问1详解】 由已知， 则，解得； 【小问2详解】 由已知， 且， 所以. 16. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，． 求A； 若，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角形的内角和，结合特殊角的三角函数求解即可．（2）利用余弦定理求出c，然后求解三角形的面积即可． 【详解】，可得， ，， 因为，，，所以， 【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于基础题. 17. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD的长； （2）的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【小问1详解】 设，， 则. ， ． 【小问2详解】 设，则向量与的夹角为． ， ，即． 18. 已知锐角△中的三个内角分别为，，． （1）设，判断△的形状； （2）设向量，，且，若，求的值． 【答案】（1）等腰三角形．（2） 【解析】 【详解】（1）因为，所以， 又，∴， 所以， 所以， 所以，即， 故△为等腰三角形． （2）∵，∴， ∴，即， ∵为锐角，∴，∴，∴， ∴，∴， 又，且为锐角， ∴，∴． 考点：向量与三角综合 【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 19. 如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. （1）求客轮的速度； （2）若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） （3）现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 【答案】（1）20海里/小时 （2）海里/小时 （3）至少需385元 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，，，由余弦定理可求得，进而可求客轮的航行速度； （2）由余弦定理可得，可求得，利用，可求小艇的速度的最小值； （3）由已知可得，进而可求得，利用正弦定理可得，小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为，可求费用的最小值. 【小问1详解】 根据题意得：，，，. 在中，由余弦定理得， 所以客轮的航行速度（海里/小时） 【小问2详解】 因，所以， 所以. 在中，由余弦定理得，， 整理得：，解得或（舍去）. 所以客轮从E处到岛A所用的时间小时， 小张若能赶上这班客轮，则满足，解得. 所以，小艇的速度至少为海里/小时. 【小问3详解】 在中，，， 所以. 由正弦定理，解得， 所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为 ， 当且仅当，即时，（元） 所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需385元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$