第三章 函数（暑假单元自测）新高一数学人教B版

**基本信息** 高中数学第三章函数单元自测卷，120分钟150分，覆盖函数定义域、单调性、奇偶性等核心知识，通过基础判断、实际应用及新定义问题，适配暑假复习巩固，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|值域求解（第1题）、单调性定义判断（第2题）、奇偶性与单调性综合（第4题）|基础概念辨析，强调数学思维的严谨性| |多选|3/18|同一函数判断（第9题）、函数单调性参数取值（第10题）|多角度考察知识关联性，培养推理意识| |填空|3/15|定义域求法（第12题）、不等式恒成立（第13题）、新定义函数最值（第14题）|结合抽象能力，考察数学语言表达| |解答|5/77|实际销售收入问题（第17题）、关联函数证明与应用（第19题）|创设现实情境与创新定义，发展应用意识与创新意识|

第三章 函数 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 2．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【答案】B 【解析】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 3．已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由已知， 所以. 4．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 6．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 7．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 8．若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，令，，则，A不是； 对于B，令，， 则，B不是； 对于C，令，， 则，C不是； 对于D，令，， 则，D是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 10．已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【解析】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 11．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【解析】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. 13．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 14．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【解析】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【解析】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 16．（15分） 若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象并求出函数的解析式； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1） 当时，，所以， 又是定义在上的偶函数，所以当时，， 综上，函数的解析式为； （2）若有2个不同的实数解，即函数与直线有2个交点， 所以由（1）中图象可知，实数的取值范围为或， 即. 17．（15分） 某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 【解析】（1）依题意有， ∴ ∴当时，，解得； ∴当时，，即， 又在单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 即当时，恒成立， ∴. 综上有，共27天高于6000元. （2）由（1）知当时， ∵时取最小值，∴时取最大值，. 当时， 当且仅当时，取得最大值6900， 综上可知：当时有最大值，最大值为6900元. 18．（17分） 已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数为开口向上的二次函数，当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得，解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则，而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 19．（17分） 已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【解析】（1）是关联，证明：略 （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为． （3）证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 3．已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 7．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 11．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为___________． 13．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 14．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 16．（15分） 若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象并求出函数的解析式； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 17．（15分） 某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 18．（17分） 已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $