精品解析：北京二中教育集团2025—2026学年第二学期 九年级数学保温练习试卷

北京二中教育集团2025—2026学年度第二学期 初三数学保温练习试卷 考查目标 1．知识技能：人教版初中数学教材第章全部内容． 2．核心素养：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1． 本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，其中第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共10页，答题卡共8页．全卷共三道大题，28道小题． 2． 本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3． 在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4． 在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5． 考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第II卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：_______． 11. 方程的解为_______． 12. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 16. 某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 三、解答题 （共68分，其中第题每题5分，第题每题6分，第题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 23. 某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛．对这四名同学最近次立定跳远测试成绩（单位：）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名同学次测试成绩的折线图： ．丙同学次测试成绩： 228 238 240 244 250 250 252 253 256 259 ．四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀（成绩 ）次数： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 优秀次数 （1）表中的值为________； （2）表中________（填“＞”“”或“＜”）； （3）根据这次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强． ①这四名同学中胜出的是________； ②由于甲的第次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第次测试成绩至少应该达到________（结果取整数）；此时，甲同学的次测试成绩的统计量会发生变化的有________（填“平均数”“众数”或“方差”）． 24. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 25. 某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 （1）在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A． B． C． D． （3）①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 27. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； （2）已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2025—2026学年度第二学期 初三数学保温练习试卷 考查目标 1．知识技能：人教版初中数学教材第章全部内容． 2．核心素养：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1． 本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，其中第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共10页，答题卡共8页．全卷共三道大题，28道小题． 2． 本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3． 在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4． 在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5． 考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各选项即可． 【详解】A项：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，A错误； B项：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B错误； C项：该图形不是轴对称图形，而是中心对称图形，C错误； D项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，D正确． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 3. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 6. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，，，，，再结合菱形的性质即可判断①；求出直线、的解析式，即可判断②；根据，计算即可判断③；分情况讨论并结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵点是函数图象上的一个动点， ∴设， ∵过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 若四边形为菱形，则，即， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 此时，，， 故四边形不是菱形，故①说法错误，不符合题意； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，故②正确； ，故③正确； ∵，， ∴，，， ∵， ∴或， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）； 故存在两个满足条件的点，使得是直角三角形；故④错误； 综上所述，正确的有②③． 第II卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形 中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形 为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 【答案】 ①. 乙 ②. 【解析】 【分析】（1）5车分配给四个分拣点，每个分拣点至少分配1车，因此仅一个分拣点分配2车，其余各分配1车，通过比较不同分配的总得分即可得到结果； （2）按分配车数分类讨论所有符合条件的分配，计算各分配的总得分，即可得到最大值． 【详解】（1）由题意，四个分拣点每个至少分配1车，总车数为5，因此分配形式为，即一个分拣点分配2车，其余各分配1车， 分别计算总得分：若甲分配2车，总得分； 若乙分配2车，总得分； 若丙分配2车，总得分； 若丁分配2车，总得分； ∵，即为最大值， ∴应向乙分拣点分配2车； （2）由题意，各分拣点最大容量为甲最多2车，乙，丙，丁最多5车，总分配车数为6，每个分拣点分配车数不超过5， 分类讨论得：①分配为，最大总得分：； ②分配为，最大总得分：； ③分配为，最大总得分：； ④分配为，最大总得分：； ⑤分配为，最大总得分：； ⑥分配为，最大总得分：； ⑦分配为，最大总得分：； ⑧分配为，最大总得分：； 因此总得分最大值为． 三、解答题 （共68分，其中第题每题5分，第题每题6分，第题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 22. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 23. 某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛．对这四名同学最近次立定跳远测试成绩（单位：）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名同学次测试成绩的折线图： ．丙同学次测试成绩： 228 238 240 244 250 250 252 253 256 259 ．四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀（成绩 ）次数： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 优秀次数 （1）表中的值为________； （2）表中________（填“＞”“”或“＜”）； （3）根据这次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强． ①这四名同学中胜出的是________； ②由于甲的第次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第次测试成绩至少应该达到________（结果取整数）；此时，甲同学的次测试成绩的统计量会发生变化的有________（填“平均数”“众数”或“方差”）． 【答案】（1） （2） （3）①乙同学，②，平均数、方差 【解析】 【分析】（1）将甲同学的成绩从低到高排列，即可找出中位数； （2）从折线图中读出乙同学的成绩，根据方差的计算公式计算即可； （3）①依据指定的规则比较即可解得；②甲同学要想胜出，首先至少满足有6次成绩达到优秀，即设第五次的成绩至少为x，且，根据甲同学的中位数大于乙同学的中位数列出不等式即可求解；根据数据的变化即可计算出新的平均数、方差、众数，问题随之得解． 【小问1详解】 解：甲同学的成绩从低到高排列：228，240，245，247，248，252，254，254，258，264， 则中位数为：； 【小问2详解】 从折线图中读出乙同学的成绩：250，252，242，245，254，256，244，260，255，232， 则方差为： 即， 故答案为； 【小问3详解】 ①优秀次数多的是乙同学、丙同学，其中乙同学的中位数高于丙同学， 故这四名同学胜出的是乙同学； ②剔除甲同学的第五次成绩，余下的成绩依次排列为：240，245，247，248，252，254，254，258，264， 甲同学要想胜出，首先至少满足有6次成绩达到优秀，即设第五次的成绩至少为x，且， 根据甲同学的中位数大于乙同学的中位数，即有：， 解得：， 则能够取的最小整数为：， 即甲的第次测试成绩至少应该达到； 甲同学的成绩由228，240，245，247，248，252，254，254，258，264变为：240，245，247，248，251，252，254，254，258，264， 通过计算可知甲同学新数据的平均数为：251.3，方差为：，众数不变依旧为254， 甲同学的10次测试成绩的统计量会发生变化的有平均数、方差． 24. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． （2）长为44． 【解析】 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 （1）在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A． B． C． D． （3）①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 【答案】（1）作图见解析 （2）D （3）①Ｂ② 【解析】 【分析】（1）根据题干中的数据，描点作图即可； （2）先根据数据求出相同温度的伸展长度差，再结合图象分析即可； （3）①在以上环境中，由，函数图象的变化趋势即可判断； ②在的温度区间，先求出不同温度的，再根据每内的变化始终不超过1.0微米，列不等式求解即可． 【小问1详解】 图象如下： 【小问2详解】 由题意，温度为（单位：）两种材料的伸展长度差为， 由表格中的数据， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 根据数据和图象可得，当时，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米． 【小问3详解】 ①由函数图象可得，在以上环境中，材料的伸展长度随着温度升高的增加量比材料大，即材料的伸展性随着温度升高提升得更快， 所以应选择材料制作此精密部件． ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米， 从到， 即，解得， 从到，， 解得， 从到，， 即，解得， 从到， 即，解得， 综上，当最小为时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和已知点坐标列方程组，求解得到a和b，即可得到抛物线表达式； （2）先得到P、Q坐标，推导得到长度的表达式，根据二次函数的性质，由对于任意一个m总有另一个不等于m的值，使长度相等，可得和的长度相等，列方程求解，结合k的范围即可得结果． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意可得， ，， ∴， 设，对称轴为， ∵当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等， ∴对任意一个的值在中，都有两个不同的与之对应，如图， ∴当和时，相等，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵， ∴． 27. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； （2）已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $