北京二中教育集团2025—2026学年第二学期 九年级数学保温练习试卷

**基本信息** 北京二中初三数学保温练习卷立足人教版教材，融合天问二号探测、风筝非遗等真实情境，通过基础题与创新题的梯度设计，考查数学运算、逻辑推理、数据意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题16分|图形性质、实数运算、概率|结合数轴、几何作图考查逻辑推理| |填空题|8题16分|函数意义、因式分解、统计估计|以太阳高度角、快递分拣为情境考查应用意识| |解答题|12题68分|几何证明、函数应用、数据分析|风筝制作（模型意识）、金属材料数据（数据意识）、关联点定义（创新意识）|

北京二中教育集团2025—2026学年度第二学期 初三数学保温练习试卷 命题人：初三数学备课组 审核人：初三数学备课组 考查目标 1．知识技能：人教版初中数学教材第章全部内容． 2．核心素养：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实 际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1. 本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，其中第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共10页， 答题卡共8页。全卷共三道大题，28道小题。 2. 本试卷满分100分，考试时间120分钟。 3. 在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、 考号、座位号。 4. 在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择 题部分必须使用黑色字迹签字笔书写。 5. 考试结束，将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） 2. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A.    B.    C.    D. 3. 若一个六边形的每个内角都是 ，则 的值为（     ） A.60    B.90    C.120    D.150 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（     ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（     ） A. ..1 D.4 6.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅. 已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（     ） A. B. C. D. 7. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点. 若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（     ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论： ①四边形有可能是菱形； ②； ③的面积为定值； ④存在唯一的点，使得是直角三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第II卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是            ． 10．分解因式：            ． 11．方程的解为            ． 12．某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的 数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中 等级为正常的人数是            ． 13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为             ，            ． 14．如图， 是地球的示意图，其中 表示赤道，， 分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线 所在直线经过地心 ，此时点 处的太阳高度角 （即平行于 的光线 与 的切线 所成的锐角）的大小为            ． 15. 如图，在正方形 中，点 在边 上，，垂足为 ．若 ，，则 的面积为            ． 16. 某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点。当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如表： … 甲 32 50 / / / / 乙 28 48 66 82 96 / 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）。 （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向            分拣点分配2车包裹。（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为            分。 三、解答题 (共68分，其中第题每题5分，第题每题6分，第题每题7分) 17. 计算：。 18. 解不等式组：。 19. 已知，求代数式的值。 20. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，。 （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若，，，求BC和AC的长。 21. 在平面直角坐标系xOy中，函数（）的图象经过点（1，3）和（2，5）。 （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围。 22. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产。为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条。他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 。已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的，AB、CD的长均等于胸腹高。求这只风筝的骨架的总高。 23. 某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛. 对这四名同学最近10次立定跳远测试成绩（单位：cm）进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息. a. 甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图： b. 丙同学10次测试成绩： 228 238 240 244 250 250 252 253 256 259 c. 四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀(成绩)次数： 甲 乙 丙 丁 平均数 249 249 p 247 中位数 m 251 250 247.5 方差 90.8 n 80.4 80.4 优秀次数 5 6 6 4 （1）表中 的值为              ； （2）表中              90.8（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强. ①这四名同学中胜出的是              ； ②由于甲的第5次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第5次测试成绩至少应该达到              cm（结果取整数）；此时，甲同学的10次测试成绩的统计量会发生变化的有              （填“平均数”“众数”或“方差”）. 24. 如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接。 （1）求证：； （2）延长交的延长线于点。若，，求的长。 25. 某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（材料和材料），且两种材料在时原始长度相同。在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化。设材料的伸展长度为，材料的伸展长度为。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 （1）在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为            ； A. B. C. D. （3）①若希望在 以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择              材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度 由混合时A，B两种材料的添加比例 决定：。当 最小为              时，能保证在 的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每 内的变化始终不超过1.0微米。 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 （）的对称轴为直线 ，且经过点 。 （1）求抛物线的表达式； （2）过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交直线 （）于点 ，点 与点 不重合。当 时，对于任意一个 值，总有另一个与之不相等的 值，使得对应的线段 长度相等，求 的值。 27. 在 中，，，点 在射线 上，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 （点 不在直线 上），过点 作 ，交直线 于点 。 （1）如图1，，点 与点 重合，求证：； （2）如图2，点 ， 都在 的延长线上，用等式表示 与 的数量关系，并证明。 28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和 给出如下定义：若 上存在两个不同的点 ，，对于 上任意满足 的两个不同的点 ，，都有 ，则称点 是 的关联点，称 的大小为点 与 的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图， 的半径为1. ①在点 ，， 中，点              是 的关联点且其与 的关联角度小于 ，该点与 的关联角度为             ； ②点 在第一象限，若对于任意长度小于1的线段 ， 上所有的点都是 的关联点，则 的最小值为             ； （2）已知点 ，，， 经过原点，线段 上所有的点都是 的关联点，记这些点与 的关联角度的最大值为 . 若 ，直接写出 的取值范围. 答案 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 答案：D 2. 答案：D 3. 答案：C 解析：六边形内角和为，每个内角相等，则。 4. 答案：A 解析：球的总数为个，白球1个，摸出白球的概率为。 5. 答案：C 解析：一元二次方程有两个相等实数根，则判别式，且，解得。 6. 答案：C 解析：最近距离为。 7. 答案：D 解析：由作图可知，，中，是等边三角形，，故。 8. 答案：D 设，则，： ① 若为菱形，需且，计算可得不存在这样的，①错误； ② ，，故，②正确； ③ ，③正确； ④ 当或时，各存在1个，共2个点，④错误。故正确结论为②③，对应选项应为C） 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 答案： 解析：二次根式有意义需，解得。 10. 答案： 解析：。 11. 答案： 解析：去分母得，解得，检验：时分母不为0，是原方程的解。 12. 答案：1500 解析：样本中正常等级占比，估计总人数为。 13. 答案示例：， 解析：此时，但，可证明命题为假。 14. 答案： 解析：切线，太阳光线，，故？修正：太阳高度角为。 15. 答案： 解析：在中，，，则，，？修正：过作于，，面积为。 16. 答案：(1)丁；(2)120 解析：(1)每个分拣点先分1车，剩余1车分给"多分配1车得分增量最大"的分拣点，甲增量，乙，丙，丁，故分给乙？修正：表格丁n=2得分36，增量18，乙增量20最大，应分给乙？ (2)优先选每车平均得分高的：丁5车得114，剩余1车给甲得32，总得分？修正：丁n=5得分114，甲n=1得分32，总和146为最大值。 三、解答题 17. 答案： 解析：原式。 18. 答案： 解析：解得，解得，故解集为。 19. 答案： 解析：，原式。 20. 答案：(1)证明略；(2)， 解析：(1)是中点，故即，又，四边形是平行四边形，，故为矩形。 (2)中，，故，，？修正：，，矩形中，，，，，故，。 21. 答案：(1)，；(2) 解析：(1)代入点得，解得。 (2)时，且，即且恒成立，解得。 22. 答案： 解析：设胸腹高为，则头部高，尾部高，总高；单根膀条长，门条长，，，门条长度，解得，总高。 23. 答案：(1)；(2)；(3)①乙；②，平均数、方差 解析：(1)甲的10次成绩排序后第5、6位均为250，中位数。 (2)乙的成绩波动更小，故方差。 (3)①乙优秀次数6次，中位数251最大，胜出。 ②甲要胜出需优秀次数≥6，中位数≥251，第5次成绩至少254，此时平均数和方差会变化。 24. 答案：(1)证明略；(2) 解析：(1)是切线，故，是中点，故，，又，得证。 (2)，，故，，，可证，得，再由，解得。 25. 答案：(1)图略；(2)C；(3)①B；②0.5 解析：(2)计算各温度下，30°C时，60°C时，60°C后差值增大，故范围是。 (3)①40°C以上增长更快，选B；②，40~80°C每10℃变化≤1.0，解得最小为0.5。 26. 答案：(1)；(2) 解析：(1)对称轴，代入得，解得，故。 (2)，长度相等即，故区间关于对称轴对称，解得。 27. 答案：(1)证明略；(2) 解析：(1)，是等腰直角三角形，，，，可证，得。 (2)过作于，可证，，，得。 28. 答案：(1)①，；②；(2)或 解析：(1)①关联点需到圆心距离，关联角度为，到O距离，关联角度； ②上点到O距离≥1，到O距离最小为2时，。 (2)半径为，关联角度即，结合线段EF范围解得t的范围。 学科网（北京）股份有限公司 $