2026年中考数学真题完全解读（山东省烟台卷）

该初中数学中考复习讲义覆盖数与式、函数、几何、统计概率四大核心模块，按中考命题规律构建知识体系，通过考点细目表明确各题型分值与关键能力。设计“考情分析-真题解读-方法归纳-分层训练”教学流程，结合烟台卷特色真题突破二次函数多结论判断、相似旋转探究等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于将科技与红色文化情境融入教学，如第20题长征文创销售问题培养模型观念，第18题AI满意度调查强化数据意识。采用“避坑提醒”规避易错点，设置基础、中档、压轴题分层练习，配合5分钟限时真题训练，助力学生提升推理能力与应用意识，教师可依此精准把控复习节奏，实现高效备考。

2026年山东省烟台市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年山东省烟台市中考数学试卷共24题，考试时间120分钟，满分120分；其中选择题10题（30分）、填空题6题（18分）、解答题8题（72分）。试卷整体结构稳定，基础题、中档题、压轴题层次分明。烟台卷突出科技、文化与实际应用情境：第3题以百度文心5.0大模型参数为背景考查科学记数法，第18题以智慧自习教室AI模型满意度调查为统计情境，第20题以长征胜利90周年文创产品为销售利润问题，第21题以无人机测量广告牌面积为综合与实践主题。整卷函数与几何并重，第10题二次函数图象性质综合、第23题相似三角形旋转探究、第24题抛物线与直线综合体现较高的思维区分度。 试题亮点 1. 科技成就与红色文化情境交织，彰显时代育人导向：第3题以百度发布文心5.0大模型“24千亿参数”为背景考查科学记数法；第18题以学校智慧自习教室“数字人模型”“助教模型”满意度调查为情境，综合考查平均数、中位数、众数与概率；第20题以庆祝长征胜利90周年文创产品销售为背景，建立一次函数与一元二次方程模型。三题分别对应数据意识、模型观念与应用意识，体现数学与科技、红色教育的融合。 2. 函数主线贯穿中高档题，数形结合与代数推理并重：第9题将一次函数与反比例函数图象综合，通过线段比例关系求面积；第10题围绕二次函数图象开口、对称轴、与坐标轴交点设置四个结论判断，考查学生从图象中提取信息并进行代数推理的能力；第20题通过一次函数模型建立销售量与售价关系，再用一元二次方程求解最大利润；第24题抛物线与直线综合，涉及距离、最值与“胡不归”型转化。函数思想成为全卷核心工具。 3. 几何推理稳中有新，尺规作图、旋转探究与综合实践拓宽考查维度：第2题一笔画图形中的轴对称与中心对称；第7题纸带两次折叠中的平行线与折叠性质；第14题正五边形与圆中的扇形面积；第15题菱形平移规律中的坐标循环；第16题矩形动点函数图象分析；第19题尺规作旋转图形并求线段长；第22题圆的切线与线段关系证明；第23题相似三角形旋转探究与最值；第24题抛物线中距离与最值。几何题既保留传统推理，又强化作图、动态分析与探究表达。 命题趋势 1. 科技成就与红色文化情境将持续入题，应用意识考查常态化：第3题文心5.0大模型、第18题AI助教满意度、第20题长征文创产品，均选取具有时代感或国家重大主题的素材。未来烟台卷将继续挖掘人工智能、航天成就、红色教育、地方文旅等素材，引导学生在真实情境中提取数量关系并建立数学模型。 2. 函数与几何深度融合，中高档题成为区分主战场：第9、10、20、24题均体现函数思想，其中第10题二次函数图象多结论判断、第24题抛物线距离与最值，要求学生既能进行代数运算，又能结合图形性质进行推理。预计未来函数与几何交叉题目将继续占据次压轴与压轴位置，数形结合与分类讨论能力要求进一步提高。 3. 统计与概率注重数据解读与决策解释，实际应用色彩浓厚：第3题科学记数法、第6题古典概型、第18题统计量计算与概率、第20题销售数据分析，体现从数据收集、描述、分析到决策解释的完整统计思维链。未来统计概率题将更强调从图表中提取信息、比较统计量并用样本推断总体。 4. 几何探究与尺规作图要求提升，思维过程成为压轴区分核心：第7题折叠、第14题正五边形与圆、第15题坐标规律、第16题函数图象分析、第19题尺规作图、第22题切线证明、第23题相似旋转探究、第24题抛物线最值，均要求学生不仅掌握结论，更要呈现推理、构造与分类讨论的思维过程。未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化探究路径与作图表达。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→相反数的概念 运算能力 2 单选 3 图形的变化→图形的对称→轴对称图形与中心对称图形 几何直观 3 单选 3 数与式→科学记数法→大数的科学记数法表示 运算能力 4 单选 3 图形的性质→三视图→简单几何体的三视图 空间观念、几何直观 5 单选 3 数与式→整式的运算→同底数幂的乘法、除法、幂的乘方 运算能力 6 单选 3 统计与概率→概率→古典概型 数据观念 7 单选 3 图形的性质→平行线与折叠→平行线性质与折叠性质 推理能力、几何直观 8 单选 3 方程与不等式→不等式组与分式方程→一元一次不等式组整数解、分式方程非负解 运算能力、推理能力 9 单选 3 函数→一次函数与反比例函数→函数图象交点、线段比例与面积 推理能力、几何直观 10 单选 3 函数→二次函数→二次函数图象与系数关系、多结论判断 推理能力、几何直观 11 填空 3 数与式→二次根式与分式→二次根式与分式有意义的条件 运算能力 12 填空 3 数与式→实数运算→零指数幂、立方根与实数混合运算 运算能力 13 填空 3 方程与不等式→二元一次方程组→古代数学问题中的方程组建模 模型观念、运算能力 14 填空 3 图形的性质→正多边形与圆→正五边形性质、圆周角定理与扇形面积 推理能力、几何直观 15 填空 3 图形的变化→平移与规律→菱形平移中的坐标循环规律 推理能力、几何直观 16 填空 3 函数→函数图象分析→矩形动点与函数图象综合 推理能力、几何直观 17 解答 6 数与式→分式化简→分式的化简求值 运算能力 18 解答 8 统计与概率→统计量与概率→平均数、中位数、众数与列表法或树状图求概率 数据分析、数据观念 19 解答 7 图形的变化→旋转→尺规作旋转图形、相似三角形与线段计算 几何直观、推理能力 20 解答 8 函数→一次函数与一元二次方程→待定系数法、一次函数模型与一元二次方程应用 模型观念、应用意识 21 解答 8 综合与实践→解直角三角形→俯角测量与矩形广告牌面积计算 模型观念、应用意识 22 解答 10 图形的性质→圆→圆的切线、相似三角形与线段关系证明 推理能力、几何直观 23 解答 12 图形的性质→相似三角形→相似三角形旋转探究、四点共圆与最值 创新意识、推理能力 24 解答 13 函数→二次函数综合→抛物线表达式、点到直线距离与最值 创新意识、推理能力 考点模块占比分析 数与式模块（约24%，29分）：重点考查第1、3、5、11、12、17题，涵盖相反数、科学记数法、幂的运算、二次根式、实数混合运算与分式化简，突出基础运算能力。 函数模块（约27%，32分）：重点考查第9、10、16、20、24题，覆盖一次函数与反比例函数综合、二次函数图象性质、函数图象分析、一次函数模型与抛物线最值，体现函数建模与数形结合思想。 图形的性质模块（约31%，37分）：重点考查第2、4、7、14、19、22、23题，涉及轴对称与中心对称、三视图、平行线与折叠、正多边形与圆、旋转、圆的切线、相似三角形综合，几何推理内容丰富。 图形的变化与综合实践模块（约5%，6分）：主要考查第15题菱形平移规律、第21题无人机测量广告牌面积等；第19、23题虽以旋转、相似为背景，但核心求解仍以几何推理为主，综合实践意识贯穿其中。 统计与概率模块（约12%，14分）：重点考查第6、18题，包括古典概型、平均数、中位数、众数及概率计算，强调数据观念与统计决策。 核心复习策略 1. 夯实数与式、方程不等式基础 （1）系统梳理相反数、科学记数法、幂的运算、二次根式、零指数幂、立方根、分式化简等核心内容，确保第1、3、5、11、12、17题等基础题得分稳定。 （2）强化一元一次不等式组、二元一次方程组、分式方程的综合训练，特别关注第8题含参数整数解与分式方程非负解的边界分析。 2. 强化函数主线，提升数形结合与建模能力 （1）将一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质与几何图形结合训练，重点突破第9、10、20、24题，理解系数对图象位置的影响。 （2）通过第20题销售利润、第21题测量等实际问题，培养“读图—建模型—解方程—解释结果”的完整应用意识，学会把文字与图表信息转化为函数或方程关系。 3. 重视几何推理与尺规作图，积累模型与探究经验 （1）系统复习轴对称与中心对称、三视图、平行线、三角形、四边形、圆的性质与判定，熟练掌握第2、4、7、14、22题中的常用定理。 （2）针对第15题规律探究、第16题函数图象分析、第19题尺规作图、第23题相似旋转与四点共圆、第24题抛物线最值进行专题训练，培养“遇折叠思对称、遇旋转思相似、遇切线连半径”的解题直觉。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。 ×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。 ×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：相反数的概念 ►命题分析： （1）情境创设：以具体数字为背景，直接考查相反数的定义。 （2）问题设计：题目给出一个数，要求判断其相反数，选项设置围绕符号变化展开。 （3）考查目标：考查学生对相反数概念的记忆与直接应用，属于基础层次的信息提取与运算能力。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 知识总结 ① 核心概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。② 解题方法：求一个数的相反数，只需改变其符号。③ 易错点：不要与倒数、绝对值混淆。 2．一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：轴对称图形与中心对称图形 ►命题分析： （1）情境创设：以“一笔画图形”为数学文化情境，考查图形的对称性。 （2）问题设计：题目给出四个一笔画图形，要求选择既是轴对称图形又是中心对称图形的一个。 （3）考查目标：考查几何直观，要求学生能识别两种对称图形的特征。 答案与解析 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意． 知识总结 ① 轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两旁部分能够重合。② 中心对称图形：绕某一点旋转180°后能与自身重合。③ 常见既是轴对称又是中心对称的图形：圆、正方形、矩形、菱形、正偶数边形等。 3．2026年1月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.0正式版，该模型参数达24千亿，实现原生的全模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队．24千亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：以百度文心5.0大模型参数为科技情境。 （2）问题设计：题目给出“24千亿”参数，要求用科学记数法表示，考查单位换算。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能从科技信息中提取有效数字并正确表示。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：亿， 则千亿， 则千亿． 知识总结 ① 科学记数法形式为a×10^n，其中1≤|a|＜10。② 注意单位换算：1千亿=10^11。③ 大数表示时n等于整数位数减1。 4．如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：简单几何体的三视图 ►命题分析： （1）情境创设：以双耳罐器具为传统文化情境，考查左视图。 （2）问题设计：题目给出双耳罐立体图，要求判断其左视图，需区分主视图、俯视图与左视图。 （3）考查目标：考查空间观念与几何直观，要求学生熟悉三视图观察方向。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据三视图的定义，主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形. 结合实物图及“从正面看”的提示，判断各选项，进而推断左视图． 【详解】解：左视图是从物体左侧向右观察得到的视图，题干给出的是双耳罐的立体图，两个耳分别在罐身的左右两侧． 选项A、从左侧观察双耳罐时，两个耳沿左右方向分布，会重合在视图的中间位置；由于双耳有厚度，因此会在视图顶部中间呈现出两条平行的竖线，罐身轮廓保持罐子的外形，符合左视图特征． 选项B、左右带耳，是主视图． 选项C、呈现同心圆与耳的横向轮廓线，是俯视图． 选项D、没有画出双耳线条，未体现耳的存在；错误． 知识总结 ① 主视图从前向后看，左视图从左向右看，俯视图从上向下看。② 双耳罐左右两耳在左视图中会重合为中间线条。③ 复杂器物可通过想象观察方向或借助模型判断。 5．下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：同底数幂的乘法、除法、幂的乘方 ►命题分析： （1）情境创设：以纯数学运算题为背景，考查幂的运算法则。 （2）问题设计：题目给出四个算式，要求选择结果为指定形式的一项。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生熟练掌握幂的运算法则。 答案与解析 【答案】A 【分析】本题考查幂的基础运算法则，根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方对应运算法则计算各选项结果，即可得到答案． 【详解】选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，符合要求； 选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，不符合要求； 选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，不符合要求； 选项D：和不是同类项，不能合并，结果不为，不符合要求． 知识总结 ① 同底数幂相乘：a^m·a^n=a^(m+n)。② 同底数幂相除：a^m÷a^n=a^(m-n)。③ 幂的乘方：(a^m)^n=a^(mn)。④ 合并同类项时字母及指数必须相同。 6．如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：古典概型 ►命题分析： （1）情境创设：以行李箱齿轮密码为生活情境。 （2）问题设计：题目给出三位密码最后一位忘记，要求一次成功打开的概率。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能计算等可能事件的概率。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据题意，在10个数中选择一个，结合概率的计算即可求解． 【详解】解：每一位数都是中的一个数字， ∵共有10个数，在其中选择一个数， ∴打开该行李箱的概率是 ． 知识总结 ① 古典概型概率=所求事件包含的基本事件数/基本事件总数。② 每一位数字0~9共10种等可能结果。③ 注意题目只关注最后一位，不要被三位密码干扰。 7．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平行线性质与折叠性质 ►命题分析： （1）情境创设：以纸带两次折叠为操作性情境。 （2）问题设计：题目给出纸带一组对边平行，两次折叠后已知两个角，要求求第三个角的度数。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能综合运用平行线性质与折叠性质。 答案与解析 【答案】C 【分析】如图，延长到点F，由平行线的性质求出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：如图，延长到点F， ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴． 知识总结 ① 折叠前后对应角相等。② 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。③ 复杂折叠图形可通过延长线构造平行线或三角形求解。 8．若整数使关于的一元一次不等式组，有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一元一次不等式组整数解、分式方程非负解 ►命题分析： （1）情境创设：以含参数的不等式组与分式方程为纯数学情境。 （2）问题设计：题目要求整数m使不等式组有且只有3个整数解，且分式方程解为非负数，求符合条件的整数和。 （3）考查目标：考查运算能力与推理能力，要求学生能准确求解含参数不等式组与分式方程，并综合考虑各种限制条件。 答案与解析 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的范围，再解分式方程，根据解为非负数且分母不为0进一步确定的取值，最后，找出所有符合条件的整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得 ， 解不等式得 ， ∴原不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的3个整数为， ∴． 解得 ． 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理，得 ． ∵分式方程的解为非负数，且分母不为0， ∴，即，解得 且 ． 综上，的取值范围为 ，且， ∵为整数， ∴符合条件的整数为． ∴符合条件的所有整数的和为 ． 知识总结 ① 先求不等式组解集，根据整数解个数确定参数范围。② 解分式方程需去分母、检验，确保分母不为零。③ 非负解条件即解大于或等于0，注意排除使分母为零的值。 9．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一次函数与反比例函数图象综合 ►命题分析： （1）情境创设：以平面直角坐标系中直线与双曲线交点为函数情境。 （2）问题设计：题目给出直线与坐标轴交点、与反比例函数交点及线段比例关系，要求求三角形面积。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能利用函数解析式与几何条件综合求解。 答案与解析 【答案】B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 知识总结 ① 点在函数图象上则坐标满足解析式。② 轴平行线上点的纵坐标相同。③ 求不规则三角形面积常用割补法或坐标公式。 10．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 命题透视 ►核心考点：二次函数图象与系数关系、多结论判断 ►命题分析： （1）情境创设：以二次函数部分图象为背景，考查图象信息提取与代数推理。 （2）问题设计：题目给出抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置，设置四个结论，要求判断正确结论。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能从图象中读取a、b、c符号及相互关系。 答案与解析 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 知识总结 ① 开口方向决定a的符号；对称轴x=-b/(2a)决定a、b关系；与y轴交点决定c的符号。② 特殊点函数值常代入x=1、x=-1等。③ 多结论判断需逐一验证，避免以偏概全。 二、填空题 11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 命题透视 ►核心考点：二次根式与分式有意义的条件 ►命题分析： （1）情境创设：以含二次根式与分式的代数式为背景。 （2）问题设计：题目给出代数式，要求求实数取值范围使式子在实数范围内有意义。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握二次根式被开方数非负与分母不为零的双重限制。 答案与解析 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得 知识总结 ① 二次根式√a有意义的条件是a≥0。② 分式有意义的条件是分母不为0。③ 同时含二次根式与分式时，需同时满足两个条件。 12．计算的结果为__________． 命题透视 ►核心考点：零指数幂、立方根与实数混合运算 ►命题分析： （1）情境创设：以纯数学计算题为背景。 （2）问题设计：题目给出一个包含零指数幂、立方根等运算的算式，要求计算结果。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握特殊运算的值与实数混合运算顺序。 答案与解析 【答案】 【详解】解：原式=1−8+4=−3． 知识总结 ① 任何非零数的零次幂等于1，即a^0=1(a≠0)。② 立方根：³√a³=a。③ 按运算顺序逐步计算，注意符号。 13．路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列关于，的方程组为__________． 命题透视 ►核心考点：古代数学问题中的方程组建模 ►命题分析： （1）情境创设：以古代诗歌形式的“马车行人”问题为数学文化情境。 （2）问题设计：题目给出车辆与人数的两种分配方式，要求列出二元一次方程组。 （3）考查目标：考查模型观念与运算能力，要求学生能从文字描述中提取两个等量关系。 答案与解析 【答案】 【分析】根据五人同车三车空，四人同车九步行，列方程组即可解决． 【详解】解：设有辆车，个人，由题意得， ． 知识总结 ① 设车辆数为x，总人数为y。② “五人同车三车空”即y=5(x-3)。③ “四人同车九步行”即y=4x+9。④ 根据总人数相等列方程组。 14．如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 命题透视 ►核心考点：正五边形性质、圆周角定理与扇形面积 ►命题分析： （1）情境创设：以正五边形与圆组合为几何情境。 （2）问题设计：题目给出正五边形边长，以某对角线为直径作圆，要求求阴影部分扇形面积。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能综合运用正多边形内角、圆周角定理与扇形面积公式。 答案与解析 【答案】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 知识总结 ① 正五边形每个内角为108°，各边相等。② 直径所对圆周角为90°。③ 扇形面积公式：S=(nπr²)/360，需确定圆心角与半径。 15．如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________． 命题透视 ►核心考点：菱形平移中的坐标循环规律 ►命题分析： （1）情境创设：以菱形 repeatedly 平移构造为规律探究情境。 （2）问题设计：题目给出一系列全等菱形沿x轴平移，要求求某点坐标，需发现周期规律。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能通过计算前几项坐标发现循环规律。 答案与解析 【答案】 【分析】如图，过点作于点H，从开始，每8个点记为1组，根据得到的位置和第1组中的位置相同，然后求出，，，发现规律求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵所以菱形都两两全等 ∴从开始，每8个点记为1组， ∵ ∴的位置和第1组中的位置相同， ∵ ∴ ∵菱形的边长为2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， 由平移得， ∴ ∴， ∵菱形与菱形全等 ∴同理可得，，， ∴ ∴ ∴． 知识总结 ① 先计算前几个关键点的坐标。② 观察坐标变化是否呈现周期性。③ 利用周期规律将大下标转化为小下标求解。④ 菱形边长与内角决定纵坐标高度。 16．如图1，点从矩形的顶点出发，沿的方向运动至点停止，连接，为的中点，连接．设点的运动路程为，线段的长为，图2表示点从运动到的过程中与的函数关系．当点运动到中点时，的长度为__________． 命题透视 ►核心考点：矩形动点与函数图象综合 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形边上动点与函数图象为动态几何情境。 （2）问题设计：题目给出点P运动路程x与某线段长y的函数图象，要求当P运动到中点时求某线段长度。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能从函数图象中提取关键点信息，还原几何图形尺寸。 答案与解析 【答案】 【分析】根据函数图象可知，当点P运动到点B时，取得最小值，当点P运动到点C时，长度为5，利用直角三角形斜边中线性质求出和的长，进而求出的长，确定矩形边长，当点P在中点时，延长，，相交于点E，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由图2可知，当时，y取得最小值3，此时点P运动到点B， ∵点P与点B重合，且点Q是的中点， ∴， ∴； ∵当时，，此时点P运动到点C， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，，． 延长，，相交于点E， ∵点Q是的中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴，． ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∵， ∴． 知识总结 ① 函数图象的最低点、转折点常与特殊位置（端点、中点）对应。② 利用直角三角形斜边中线性质求线段长。③ 结合矩形性质与相似三角形建立方程。 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中． 命题透视 ►核心考点：分式的化简求值 ►命题分析： （1）情境创设：以纯数学计算题为背景。 （2）问题设计：题目要求先化简分式，再代入具体数值求值，注意代入值使原式有意义。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握分式化简与代入求值。 答案与解析 【答案】 化简结果为，值为 【详解】解：， ∵， ∴， 当时，原式无意义； 当时，原式． 知识总结 ① 分式化简常用因式分解、通分、约分。② 代入求值前需确保代入值使原分式分母不为零。③ 注意题目给出的多个取值中可能有的会使原式无意义。 18．技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0~10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 助教模型 8 8 请根据上述信息解答下列问题： (1)填空： __________， __________，__________， __________； (2)运营商准备对“助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率． 命题透视 ►核心考点：平均数、中位数、众数与概率 ►命题分析： （1）情境创设：以智慧自习教室AI模型满意度调查为科技应用情境。 （2）问题设计：第（1）问根据统计图求平均数、中位数、众数及扇形百分比；第（2）问用列表法或树状图求概率。 （3）考查目标：考查数据分析与数据观念，要求学生能从统计图表中提取信息并进行推断与概率计算。 答案与解析 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）利用求平均数的公式求出，利用中位数和众数的定义求出分别求出，，先求出扇形统计图中分所占百分比，用整体1减去其他各部分的百分比即可求解； （2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； 一共个数据从小到大排列，第和个数据的平均数是中位数， 由柱状图知第和个数据都是， ∴中位数为， 即； 由扇形统计图可知“助教模型”中分出现次数最多， ∴； ∵扇形统计图中分占百分比为：， ∴， 即； （2）解： 共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由种， ∴(抽到2名男生)． 知识总结 ① 平均数=总和/个数；中位数是排序后中间位置的数；众数是出现次数最多的数。② 扇形统计图中各部分百分比之和为100%。③ 两步试验常用列表法或树状图列举等可能结果。 19．如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 命题透视 ►核心考点：尺规作旋转图形、相似三角形与线段计算 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形中三角形旋转为几何变换情境。 （2）问题设计：第（1）问要求用尺规作出旋转后的图形；第（2）问在已知边长条件下求线段长，需利用相似三角形对应边成比例。 （3）考查目标：考查几何直观与推理能力，要求学生掌握尺规作图步骤与旋转性质。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心为半径画弧，两弧相交于，作射线，以为圆心，长为半径画弧交于，则即为所求；有作图可知，所以，且旋转角为； （2）可证，利用对应边成比例可求，则可求． 【详解】（1）解：略； （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识总结 ① 旋转作图：以旋转中心为圆心，原顶点距中心长度为半径画弧，按旋转角确定对应点。② 旋转前后对应线段相等、对应角相等。③ 求线段长常利用相似三角形或勾股定理。 20．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 命题透视 ►核心考点：待定系数法、一次函数模型与一元二次方程应用 ►命题分析： （1）情境创设：以长征胜利90周年文创产品销售为红色文化情境。 （2）问题设计：第（1）问用待定系数法求销售量与售价的一次函数关系；第（2）问根据每天盈利条件列一元二次方程求售价。 （3）考查目标：考查模型观念与应用意识，要求学生能建立函数模型并解决销售利润问题。 答案与解析 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 知识总结 ① 待定系数法求一次函数：设y=kx+b，代入两点坐标列方程组。② 利润=（售价-成本）×销售量。③ 一元二次方程若有多个解，需结合实际意义（如让利顾客取较小值）取舍。 21．【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 命题透视 ►核心考点：俯角测量与矩形广告牌面积计算 ►命题分析： （1）情境创设：以无人机测量矩形广告牌面积为综合与实践情境。 （2）问题设计：题目给出无人机飞行速度、时间、俯角及参考数据，要求求矩形广告牌面积。 （3）考查目标：考查模型观念与应用意识，要求学生能将俯角转化为直角三角形中的角度，并利用三角函数求边长。 答案与解析 【答案】矩形广告牌的面积约为平方米 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形，依题意，，，，，，分别在中求得，根据，建立方程，求得进而求得的长，再求得矩形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 依题意，，，，， ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴ ∴的面积 答：矩形广告牌的面积约为平方米 知识总结 ① 俯角是从水平线向下看目标的夹角，常通过作水平线构造直角三角形。② 解直角三角形时选择合适三角函数（正弦、余弦、正切）。③ 矩形面积=长×宽，注意结果按要求精确。 22．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 命题透视 ►核心考点：圆的切线、相似三角形与线段关系证明 ►命题分析： （1）情境创设：以圆中切线与三角形为几何情境。 （2）问题设计：第（1）问证明两条线段相等；第（2）问探究三条线段之间的数量关系并证明，需构造垂线、利用相似。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟练运用切线性质、相似三角形与线段和差。 答案与解析 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 知识总结 ① 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。② 证明线段相等可考虑等角对等边或全等三角形。③ 探究线段关系常构造垂线，将斜线段转化为直角边，利用相似或三角函数。 23．【尝试发现】 (1)如图1，，．当点 ， 分别在边和 上时，的值是__________； 【变式探究】 (2)如图2，将（1）中的 绕点 按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接 ，， 与交于点 ， 与的延长线交于点 ． ①求的值； ②写出 和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形 中， ， ，点 在边上且，连接． 是直线上的动点，作，连接， ． ①当点 在线段 的延长线上，且时，求的长； ②当的长度最小时，直接写出此时的长． 命题透视 ►核心考点：相似三角形旋转探究、四点共圆与最值 ►命题分析： （1）情境创设：以相似三角形旋转为探究性情境，分“尝试发现”“变式探究”“联系拓广”三层次。 （2）问题设计：题目从特殊位置入手，逐步旋转、探究比值与线段关系，最后在矩形背景下求线段长与最值，需综合运用相似、四点共圆、勾股定理等。 （3）考查目标：考查创新意识与推理能力，要求学生能发现不变量、进行类比迁移并解决复杂几何问题。 答案与解析 【答案】(1) (2)①； ②，证明如下： 连接 ， ， 由①得， ∴，即， ∴点 、 、 、 四点共圆， ∴； (3)①；② 【分析】（1）由相似三角形的性质可得，从而可得，，再结合，，计算即可得出结果； （2）①由相似三角形的性质可得， ，从而得出，，再证明，即可得出结果；②连接 ，由①得，由相似三角形的性质得出，即点 、 、 、 四点共圆，最后再由圆周角定理即可得证； （3）①由矩形的性质得 ，由勾股定理得，由相似三角形的性质得，，，证明点 、 、 、 四点共圆，求出，从而可得，由正切的定义得出，设，则，结合勾股定理求出，从而可得，即可得出结果；②由主动点 在直线上，得出点 在直线 上运动，当时，的长度最小，为，此时点 在处，由①得，结合正切的定义得出，设，则， 由勾股定理求得，，作于 ，由等面积法得出，再证明，由相似三角形的性质计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵点 ， 分别在边和 上， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略； （3）解：①∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴，，， ∵点 在线段 的延长线上， ∴， ∴点 、 、 、 四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴； ②∵主动点 在直线上， ∴从动点 必须在某一直线上， ∵当点 在点 时，点 在点 的位置， ∴点 在直线 上运动， 当时，的长度最小，为，此时点 在处， 由①得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得（负值不符合题意舍去）， ∴，， 作于 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上所述，当的长度最小时，此时的长为． 知识总结 ① 相似三角形旋转中，对应角相等、对应边成比例，比值常保持不变。② 四点共圆常用判定：同侧等角对同弦、对角互补。③ 求最值常将动点轨迹转化为直线或圆，利用垂线段最短或圆外一点到圆上点距离最值。 24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 命题透视 ►核心考点：抛物线表达式、点到直线距离与最值 ►命题分析： （1）情境创设：以抛物线与直线交点为函数综合情境。 （2）问题设计：第（1）问求抛物线表达式；第（2）问求抛物线上到定直线距离为定值的点的横坐标；第（3）问求线段和的最小值，需进行“胡不归”型转化。 （3）考查目标：考查创新意识与推理能力，要求学生能结合抛物线性质、直线平移与最值转化方法。 答案与解析 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解； （2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解； （3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ∴， 设抛物线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点到直线的距离为 ∴在上， ∵平行， ∴的解析式分别为， 联立 消去得， 解得： 联立 消去得， 解得： ∵点横坐标为， ∴或或 （3）∵ ∴ 如图，过点作使得，则， ∴，，， ∴， 过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值，最小值为． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 知识总结 ① 待定系数法求抛物线表达式，注意利用对称轴求与x轴另一交点。② 点到直线距离为定值，可转化为与已知直线平行的两条直线与抛物线交点问题。③ 求形如PA+k·PB的最小值，常通过构造相似或三角函数将k·PB转化为某条线段，再利用“两点之间线段最短”求解。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $