预习13 函数与方程、不等式间的关系（4知识点+7题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习13 函数与方程、不等式间的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：函数的零点 零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 知识点 2 ：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 与轴的交点个数 2个 1个 0个 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 （1）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 拓展：高次不等式的概念：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. （2）穿根引线法的步骤： ①将最高次项系数化为正数； ②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 知识点 3 ：函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 知识点 4 ：二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 【题型1 求函数的零点】 1．函数的零点为（   ） A． B．和 C．和1 D．1 2．若在上定义运算，则的零点为（   ） A．0和2 B．和1 C．和2 D．和0 3．若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 4．若函数的图象如图所示，则函数的零点是 ． 【题型2 函数零点所在区间的判断】 5．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （    ） A． B． C． D． 6．对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 8．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 15 10 6 则函数在区间上的零点可能有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型3 判断函数的零点（方程的根）个数】 10．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 11．称方程的根为函数的“点”，则函数的“点”为（    ） A． B．或 C．或1 D． 12．已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（多选）设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 14．若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为 ． 【题型4 求解高次不等式】 15．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．不等式的解集为 ． 17．解不等式：． 【题型5 已知函数零点（方程根）个数求参数】 18．设．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k可取（   ） A． B． C．0 D．1 19．已知函数至少有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．若函数只有一个零点，则实数a的值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 21．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 ． 22．若关于的方程有3个解，求实数的值. 【题型6 已知零点所在区间求参数】 23．已知函数，在区间内存在，使，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 26．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【题型7 二分法近似求函数零点或方程的根】 27．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 28．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   29．用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 30．用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个精确度为的正实数零点的近似值可取（   ） A． B． C． D． 31．用二分法求方程的正实数解的近似值为 .（精确度为0.1） 32．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【题型8 零点之和问题】 33．已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 34．已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（    ） A．的范围为 B． C． D． 35．已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 . 37．（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 一、单选题 1．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 4．不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 5．若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设定义在上的函数，若关于的方程 有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．对任意两个实数a，b，定义若，则下列关于两数的说法正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数有三个零点 C．函数在区间上单调递减 D．函数的最小值为 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．，使得偶函数 B．都不是上的单调函数 C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则 三、填空题 11．用二分法求方程在内的近似解时，记，若，据此判断，方程的根应落在区间 内. 12．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 13．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 . 14．已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ． 四、解答题 15．用二分法求函数的零点.（精确到0.1） 16．函数的两个零点为2，3． (1)求b，c的值； (2)若函数的两个零点分别在区间内，求m的取值范围． 17．已知函数是定义域为的奇函数， 当时， . (1)求函数的解析式; (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习13 函数与方程、不等式间的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：函数的零点 零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 知识点 2 ：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 与轴的交点个数 2个 1个 0个 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 （1）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 拓展：高次不等式的概念：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. （2）穿根引线法的步骤： ①将最高次项系数化为正数； ②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 知识点 3 ：函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 知识点 4 ：二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 【题型1 求函数的零点】 1．函数的零点为（   ） A． B．和 C．和1 D．1 【答案】C 【详解】由得． 2．若在上定义运算，则的零点为（   ） A．0和2 B．和1 C．和2 D．和0 【答案】B 【详解】由题意，令，得或． 3．若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D 4．若函数的图象如图所示，则函数的零点是 ． 【答案】和 【详解】由函数的图象可知，2和3是方程的两根，所以，即，所以函数．令，得或，所以函数的零点是和． 【题型2 函数零点所在区间的判断】 5．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时， 在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误. 在，，连续，且单调递减，下面证明： 设，则. 对其进行化简： ， 因为，所以，，，，那么. 所以，即，也就是. 根据函数单调性的定义，函数在上是减函数. 当时，，当，， 当，，当，. 根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确. 在区间， 没有零点，故B选项错误. 在区间，也没有零点，故D选项错误. 故选：C 6．对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ， 因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ， 结合选项知函数的零点所在的区间为， 故选：B． 7．已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【详解】根据题意，若， 则中两正一负，或者三负， 只有当时， 才能得到方程在和内至少各有一个解， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不充分条件； 反之，若方程在内至少有两个解，无法确定的符号， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不必要条件， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的非充分非必要条件. 故选：D 8．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且，，，， 所以，由零点存在性定理可知一定包含零点的区间是． 故选：C. 9．已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 15 10 6 则函数在区间上的零点可能有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】BCD 【详解】由题表可知，又因为的图象为连续不断的曲线，故在区间上至少有3个零点． 【题型3 判断函数的零点（方程的根）个数】 10．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【详解】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 11．称方程的根为函数的“点”，则函数的“点”为（    ） A． B．或 C．或1 D． 【答案】D 【详解】当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）. 综上函数的“点”为. 故选：D. 12．已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 13．（多选）设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 【答案】ACD 【详解】对于A：当时，,，故A选项正确； 对于B：当作出的图像，由图像知只有2个零点，故B选项错误； 对于C：易知满足的解一定是的解， 而当时，，而方程一定有负根，故C选项正确； 对于D：令，当时，有2个零点； 当时， 在且)的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位， 即可得到在的图像，的零点问题等价于区间有几个整数问题， 零点有个； 一共有零点个，故D选项正确. 故选：ACD 14．若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【详解】由已知可得，. 又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，，， 所以有. 又， 两式相加化简可得，. 两式相减化简可得，. 所以，. 解可得，或. 所以，函数的零点个数为2. 故答案为：2. 【题型4 求解高次不等式】 15．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以， 所以，即， 解得或， 故的取值范围为． 故选：D． 16．不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 17．解不等式：． 【答案】． 【详解】的零点从左到右依次为， 当时，当时，当时，当时． 所以不等式：为． 【题型5 已知函数零点（方程根）个数求参数】 18．设．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k可取（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】CD 【详解】因为，所以作出函数的图象如图所示．由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点． 所以当时，方程有三个不同的实数解．结合选项知C，D正确． 19．已知函数至少有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即，可得， 令，，原题意等价于曲线与至少有一个交点， 如图，注意到与的对称轴均为，可得，即，即，. 故选：B. 20．若函数只有一个零点，则实数a的值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】BC 【详解】当时，，显然成立；当时，则，解得． 21．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】有三个零点，可转化为与有三个交点， 函数是定义域为的奇函数，所以图象关于原点对称， 再由当时，，可画出下图： 由图可知：，即. 故答案为：. 22．若关于的方程有3个解，求实数的值. 【答案】 【详解】因为关于的方程有3个解，所以函数与有3个交点， 作出函数的图象，如图，      由图可知：函数与有3个交点时，. 【题型6 已知零点所在区间求参数】 23．已知函数，在区间内存在，使，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1  由题意可知，由可得，所以，解不等式可得． 解法2  因为在上存在，使，所以，即，解得． 24．已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 25．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 由题意得，在上有交点， 又，易知，在上分别单调递增、单调递减， 所以，只需，即，可得的范围为. 故选：B 26．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【题型7 二分法近似求函数零点或方程的根】 27．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解． 28．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 29．用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，对于函数在区间上，有，所以函数在上有零点．取区间的中点．因为计算得，所以函数在上有零点，故． 30．用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个精确度为的正实数零点的近似值可取（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以零点在区间内．因为，又零点是精确度为的正实数，所以零点的近似值可取上的任意一个值． 31．用二分法求方程的正实数解的近似值为 .（精确度为0.1） 【答案】2.4 【详解】令，，， 又在上单调递增， 故在内有唯一的零点，记作， 由对称性可知，在内有一个零点，不满足正实数解，舍去， 取区间中点，∵，∴； 再取区间的中点，∵，∴； 再取区间的中点，∵，∴， 此时； 再取区间的中点，∵，∴， 此时且. 故方程的正实数解的近似值可取为2.4. 故答案为：2.4 32．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 【题型8 零点之和问题】 33．已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【详解】关于的方程，解得或， 由函数图象如下， 当时，原方程有三个实根，其中一个根为，另两个根关于直线对称，则； 当时，原方程有两个实根，设为，，这两个根关于直线对称，则． 所以原方程一共有5个不同的实根， 所以， 故选：B 34．已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（    ） A．的范围为 B． C． D． 【答案】D 【详解】作出函数与的图象如下图所示：    当时，， 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 故实数的取值范围是，A错； 对于B选项，因为二次函数图象的对称轴为直线， 由图可知，点、关于直线对称，则，的值不确定，B错； 对于C选项，由图可知，， 由可得，即，即， 所以，，C错； 对于D选项，由C选项可知，， 由可得，则， 因为双勾函数在区间上单调递减， 因为，则，D对. 故选：D. 35．已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出的图象，如下，    设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：A 36．设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然关于对称，则， 另一个交点位于直线上，在中，当时，，即， 因此，所以. 故答案为： 37．（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 【点睛】关键点睛：求函数零点和的取值范围问题，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解. 一、单选题 1．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【详解】由，得函数有2个零点． 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 3．已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【详解】判断n次时，区间长度为，由，得，得，即． 4．不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，解得， 对于A：由，即，解得， 所以是不等式成立的充要条件，故A错误； 对于B：由，即，解得， 因为真包含于， 所以是不等式成立的必要不充分条件，故B错误； 对于C：由，解得， 所以是不等式成立的充要条件，故C错误； 对于D：由，解得或， 因为真包含于， 所以是不等式成立的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 5．若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数与函数的图象有交点，所以方程有解， 由，所以在上有解，记， 则实数a的取值范围是函数的值域， 令，则，当时，； 当时，，当且仅当即时，等号成立， 又，所以， 综上，，所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. ①当时，在上递减，在上递减，在上递增， 因为在处连续，所以在上递减，在上递增， 且,所以在，分别有一个零点，即不可能有三个零点，不合题意； ②当时，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， 且,作出两段抛物线的图象如图 此时只有两个零点不满足题意； ③当时，， 作出两段抛物线的图象如图： 此时恰有三个零点满足题意； ④当时，，在有两个零点， 且当时两段抛物线的函数值相等， 若要有三个零点，则，在有一个零点，两段抛物线的图象如图： 此时，满足题意， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 7．设函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时， 当时，当且仅当时等号成立， 则，且在上递增，在上递减， 当时，单调递增，且，作出函数的图象，如下， 观察图象，当且仅当，函数有三个不同的零点， 当时，，当时，令，则，有，， 因此，而函数在上递减，则， 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：分析分段函数的性质并画出草图，将题设的零点问题转化为与的交点问题，应用数形结合的思想，求出关于的解析式，由单调性求范围. 8．设定义在上的函数，若关于的方程 有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的一元二次方程，， ①时，则方程无解，不符合题意； ②时，方程有唯一解，即， 作出函数的图象如图， 若关于的方程有3个解，则，即，此时， 则，，； ③时，方程有两个不同解，记作或， 由图象可知，的根可能有个，个，个， 若关于的方程有3个解，则且， 即，满足以上关系的有很多值， 此时，则，； 综上可知，ABD正确，C错误. 故选：C． 二、多选题 9．对任意两个实数a，b，定义若，则下列关于两数的说法正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数有三个零点 C．函数在区间上单调递减 D．函数的最小值为 【答案】ABD 【详解】由，作图如下： 则，可作图如下： 由图可知函数为偶函数，故A正确； 由图可知函数有三个零点，故B正确； 由图可知函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 由图可知函数的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．，使得偶函数 B．都不是上的单调函数 C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则 【答案】ABC 【详解】当时，，定义域为，且，此时为偶函数，故A正确．当时，，开口向上，对称轴为；当时，开口向上，对称轴为．所以且，，即在分段处函数值相等，由于的对称轴在的对称轴的左侧，故都不是上的单调函数，故B正确．当时，若，则，当时，令，解得，当时，令，解得，均符合要求，所以，使得函数有3个零点，故C正确．由B可知的最小值在或处取到，当时，函数最小值在处取到，由，解得，满足题意；当时，函数最小值在处取到，由，解得，满足题意，当时，函数最小值在或处取到，此时恒成立，恒成立，都不满足题意，舍去．综上，若的最小值是，则，故D错误． 三、填空题 11．用二分法求方程在内的近似解时，记，若，据此判断，方程的根应落在区间 内. 【答案】 【详解】根据题意可得在R上单调递增，且， 所以函数的零点所在的区间为. 故答案为：. 12．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 【答案】 【详解】由函数的零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点， 根据二分法，第二次计算. 故答案为： 13．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出的图象如下图所示： 不妨设， 当时，，对称轴为， 当时，令，解得， 则， 令，则，， ，则， 则， 由图知，对称轴，则在上单调递增， 则其范围为 故答案为：. 14．已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ． 【答案】 【详解】因，则0不是的解. 时，. 令， 依题意函数的图象与直线有两个公共点. 时，时，， 于是得， 由对勾函数知，在上递减，在上递增，且. 又在上递减，在上递增，且. 如图： 直线与的图象有两个公共点，； 直线与的图象有两个公共点，. 从而得函数的图象与直线有两个公共点时或. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．用二分法求函数的零点.（精确到0.1） 【答案】1.2. 【详解】解：易知函数在R上递增， 又，且， 所以在上存在唯一的零点， 又，且， 所以在上存在唯一的零点， 又， ， 由精确度为0.1得：需计算， 又， 所以的零点精确到0.1约是1.2. 16．函数的两个零点为2，3． (1)求b，c的值； (2)若函数的两个零点分别在区间内，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意2，3为方程的两根， ． （2）， 依题意即，解得， 故实数m的取值范围是． 17．已知函数是定义域为的奇函数， 当时， . (1)求函数的解析式; (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， 所以， 所以 ， 设，则， ，又， 所以， 的解析式为 （2）， ①当时，，， 方程可化为， 即，方程的判别式， 所以方程有两个根，设其根为， 则，所以一正一负， 所以方程在上有解，符合题意.                 ②当时，，解得或（舍），符合题意. ③当时，，， 令，对称轴为， 因为方程在上有解， 所以，解得或， ，                                    综上所述，的取值范围是.或. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$