专题7.2 复数的运算讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦复数运算与实系数一元二次方程复数求解两大高考核心考点，按“运算法则（加减乘除、运算律）—方程求解（判别式、虚根成对定理、韦达定理）”逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建知识体系，突破运算与方程求解难点。 资料采用“原理归纳—典例精讲—分层练习”教学策略，如复数除法教学中示范分母实数化技巧，培养学生运算能力与数学思维。设置基础到综合练习题，配合即时反馈，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题7.2复数的运算 7.2.1复数的运算法则 金知识点梳理 复数的运算：设马=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数 复数的加法运算：+z,=(a+b+(c+d)=(a+c)+(b+d)i: 复数的减法运算：马-，=(a+b)-(c+d)=(a-c)+(亿-d)i, 复数的乘法运算：马·2=(a+b(c+d=(ac-bd)+(ad+bc)i, a+bi ac+bd bc-ad 复数的除法运算：c+dic2+dPc2+d2; 加法运算律：交换律：马1+22=22+乙1： 结合律：(3+22)+=乙+(2+)： 乘法运算律：交换律：乙1·22=22·31： 结合律：(2)3=名(222)； 乘法对加法的分配率：(2，+2)=22+名3 ®典型例题 例1.已知子=-1-i,则z=（) A.-1-i B.-1+i c.1-i D.1+i 例2.设z=、1 1++,则2=() A.1-2i B.1+2i c.2-i D.2+i 1 例3.若复数z满足i·z=3-4i,则z=() A.1 B.5 c.7 D.25 例4.若z=5+i,则i(2+z)=() A.10i B.2i C.10 D.2 课后练习-巩固加强 1.设a∈R,（a+i)(1-ai)=2,则a=() A.-1B.0 C.1D.2 2.已知z=-1-i,则z=( ) A.0 B.1 c.2 D.2 3若2=-1+3i,则221=0 A.-1+3i B.-1-V3i c-1+3, 33 n1-3 33 4.设复数z满足(1+i)z=2i,则z=() A 2 B. cV2 D.2 2 5设为虚数单位，则斜=() A.5 B.5 D. 5 6.(多选)若复数z三，则() A.7=4-i B.|z=V17 C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.复数ω满足w=1,则w-的最大值为17+1 7.若zi计z=1+3i,则zZ=（) A.2 B.1 c.5 D.5 8.设1为虚数单位，复数：的共轭复数为2，若2=2 2025, 则z在复平面内对应的点位于第( ) 象限. A.一 B.二 C.三 D.四 9已知腹数2=1-1则2+2() A.95 B.10 c.2V5 D.2只10 10.已知复数a+31=4+bi 则a+bi 5+12i =() D 13 13 13 3 7.2.2实系数一元二次方程（复数范围内求解) 窗知识点梳理 对于实系数一元二次方程：aX2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0) 4 1.判别式：△=b2-4ac (1)△>0：两个不相等实数根 (2)△=0：两个相等实数根 (3)△<0：一对互为共轭的虚数根（高考核心考点）· 2通用求根公式：x=-b±/☑ 负数开方规则：V-k=Vk·i(k>0). 2a 3.核心结论（必考）：实系数方程，若有一个虚数根z,则必有另一根为共轭复数z (虚根成对定理)· 4韦达定理依然成立：X+X=-,X,飞=￡（实数根、虚数根均适用）. a ⑧典型例题 例1.解方程：x+9=0 例2.已知实系数方程x2+bx+4=0有一个虚根为2i,求另一根和实数b 课后练习-巩固加强 1.已知实系数方程x-2x+m=0一根为1+2i,求另一根与m. 2.实系数方程x+px+q=0一根为-1+3i,求p、q. 3.已知方程2x+ax+8=0有一根为2i,求实数a. 4.实系数一元二次方程一根为3-4i,求两根之和. 5.方程x2+mx+5=0有一根1-2i,求实数m. 6.已知方程X+(m-2)x+m=0有虚根，求实数m范围. 7.已知实系数方程两根为2±3i,写出这个一元二次方程. 8.己知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x+px+q=0(p,gER)的一个根，则p叶q=( A.-2 B.0 C.2 D.4 6 专题7.2 复数的运算 7.2.1 复数的运算法则 .复数的运算：设是任意两个复数. 复数的加法运算：； 复数的减法运算：； 复数的乘法运算：； 复数的除法运算：； 加法运算律：交换律：； 结合律：； 乘法运算律：交换律：； 结合律：； 乘法对加法的分配率:. 例1.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意得.故选：C. 例2.设，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意可得，则.故选：B. 例3.若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意有，故.故选：B. 例4.若，则（ ） A. B. C. D. 解：由，则.故选：A. 1.设，，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以，解得：.故选：C. 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：若，则.故选：C. 3.若，则 A. B. C. D. 解：，.，故选：C. 4.设复数满足，则 A. B. C. D. 解：由题意可得，所以，所以. 故选：C. 5.设i为虚数单位，则（　　） A．5 B． C． D． 解：∵，∴． 故选：B． 6.（多选）若复数，则（　　） A．4﹣i B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数ω满足|ω|＝1，则|ω﹣z|的最大值为 解：， 所以4+i，故A错误； ，故B正确； z在复平面内对应的点的坐标为（4，﹣1），位于第四象限，故C正确； 由复数ω满足|ω|＝1，可知复数ω在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，则|ω﹣z|的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 7.若zi+z＝1+3i，则z（　　） A．2 B．1 C． D．5 解：zi+z＝1+3i，则z（1+i）＝1+3i，故2+i， 所以z（2+i）（2﹣i）＝5．故选：D． 8.设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则z在复平面内对应的点位于第（　　） 象限． A．一 B．二 C．三 D．四 解：由，由共轭复数的定义可知，z＝1+2i，则z在复平面内对应的点（1，2）位于第一象限.故选：A． 9.已知复数，则 A. B. C. D. 解：由.故选:B 10.已知复数，则 A. B. C. D. 解：根据待定系数法可得，则.故选:A. 7.2.2 实系数一元二次方程（复数范围内求解） 对于实系数一元二次方程：. 1.判别式： （1）：两个不相等实数根. （2）：两个相等实数根. （3）：一对互为共轭的虚数根（高考核心考点）. 2.通用求根公式：，负数开方规则：. 3.核心结论（必考）：实系数方程，若有一个虚数根，则必有另一根为共轭复数（虚根成对定理）. 4.韦达定理依然成立：（实数根、虚数根均适用）. 例1.解方程： 解：，一对共轭虚根.∴. 例2.已知实系数方程有一个虚根为，求另一根和实数. 解：由虚根成对定理，另一根为； 韦达定理：，故. 1.已知实系数方程一根为，求另一根与. 解：根据实系数方程虚根成对定理，另一根为共轭复数； 韦达定理：常数项. 韦达定理：. 2.实系数方程一根为，求、. 解：根据虚根成对定理，另一根： 由韦达定理：， . ；. 3.已知方程有一根为，求实数. 解：另一根，两根之和，得. 4.实系数一元二次方程一根为，求两根之和. 解：另一根，和为. 5.方程有一根，求实数. 解：两根和：，故. 6.已知方程有虚根，求实数范围. 解：方程有虚根，等价于判别式小于0， ， 解一元二次不等式，方程两根为： . 故实数范围为：. 7.已知实系数方程两根为，写出这个一元二次方程. 解：由两根构造一元二次方程公式：， 两根和：， 两根积：， 代入得方程：. 8.已知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 解：因为1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根， 根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：1﹣i也是原方程的一个虚根， 所以（1+i）+（1﹣i）＝﹣p，（1+i）（1﹣i）＝q，解得：p＝﹣2，q＝2．所以p+q＝0． 故选：B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $