第02讲 空间向量基本定理（3大知识点+4大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第02讲空间向量基本定理 目录 01思维导图与题型归纳2 02基础知识梳理.3 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解3 知识点2：空间向量的正交分解3 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题3 03题型精讲举一反三 4 题型一：空间向量基底的判断方法4 题型二：空间向量基底的实际运用6 题型三：空间向量的正交分解运算9 题型四：借助空间向量基本定理解几何题 11 04过关测试… .16 1/31 01 思维导图与题型归纳 如果空间中的三个向量ā，，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p 存在唯一的有序实数组y,),使得都=xa+yb+: 空间向量基本定理 其中，空间中不共面的三个向量a,万，c组成的集合a,万，c, 常称为空问向量的一组基底此时，a,b,c都称为基向量： 如果p=xa+b+c,则称a+b+c为p在基底a,五，c下的分解式. 单位正交基底 如果空问的一个基底中的三个基向呈两 空间向量基本定理 两垂直，且长度都为1 空间向量的正交分解 正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以 图形为指导是解题的关键。 (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量 的始点指向末尾向量的终点的向量。 (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型三：空间向量的正交分解运算 题型一：空间向量基底的判断方法 题型归纳 题型四：借助空间向量基本定理解几何题 题型二：空间向量基底的实际运用 2/31 02基础知识梳理 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量ā，万，不共面，那么对空间中的任意一个向量币，存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得=xā+yb+元.其中，空间中不共面的三个向量ā，万，c组成的集合{ā，万，c},常称 为空间向量的一组基底此时，ā，B,c都称为基向量；如果币=xā+yb+z元，则称xā+b+z衣为万在基 底{ā，b,c}下的分解式 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位 正交基底，常用，，表示 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： ()用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (②)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量 的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 3/31 03题型精讲举一反三 C 题型一：空间向量基底的判断方法 【例1】(25-26高二上·福建莆田期末)若{ā，五，}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个 基底的是() A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b C.a+6,B-a,c) D.a+b,a+b+c,c 【答案】c 【解析】对于A,因为6=5+小+6-小，所以6+，6,6-共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B,因为a=(a+列+{a-列，所以a,a+6,a-6共面， 不能作为空间一个基底，故B错误： 对于C,假设a+b,b-a,c共面， 则存在实数元，u使得a+万-入（石-a+uc=-a+2b+uc, 「-λ=1 又因为{ā，b,}构成空间的一个基底，则入=1，方程组无解， u=0 所以ā+b,五-a,c不共面，可以作为空间一个基底，故C正确： 对于D,因为a+b=a+b+c-c,所以a+b,a+b+c,c共面， 不能作为空间一个基底，故D错误。 【变式1-1】(25-26高二上广东清远期末)若{ā，b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是() A.a,b+,b-d B.a+b,a-b,c C.a+c,a-c,b D.a+b,a+b+c,c 【答案】D 【解析】如下图示，令a=AB,b=AD,c=AA, +=AD,6-d=AD,a+b=AC,a-b=DB,a+c=AB',a-c=A'B,a+b+c=AC', 4/31 B A:由图a=AB,6+=AD,6-c=D不共面， B:由图a+b=AC,a-b=DB,c=AA不共面， C:由图ā+c=AB,a-c=A'B,b=AD不共面， D:由图a+6=AC,a+b+c=AC,c=AA共面 故选：D 【变式1-2】(25-26高二上·浙江期末)己知空间向量a,6,c为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是 () A.a+b,b+c,c+a B.a-b,b-c,c-a C.a,b,a+b+c D.a,b+c,c+a 【答案】B 【解析】对于A,设存在实数x,y,使得a+i=x(6+c)+y(c+a),可得a+b=ya+xb+(x+y)c, x=1 所以{y=1,方程组无解，所以a+6,b+c,c+a不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； x+y=0 对于B,设存在实数x,y,使得a-b=x(b-c)+y(c-a),可得a-b=-ya+xb+(y-x)c, x=-1 所以 y=-1,解得x=-1,y=-1,所以a-6,6-c,c-a共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； y-x=0 对于C,向量a,b,a+b+c,不存在实数x,y使得a+b+c=xa+yb, 所以a,b,a+6+c不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D,设存在实数x,y,使得a=x(b+c)+y(c+a),可得a=ya+xb+(x+y)c, x=0 所以y=1,方程组无解，所以a,b+c,c+a不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. x+y=0 故选：B. 【变式1-3】(25-26高二上浙江温州期末)已知ā，五，c为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为 基底的是() A.a,a+b,a-B 5/31 B.a+b,b+c,a-c C.a+b,b+c,a-2c D.a+6+c,i+3c,3a+2b 【答案】C 【解析】对于A,因为a=a+列+a-万，所以a,a+元，a-6是共面向量， 故a,a+b,a-b不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意： 对于B,因为a+b=(石+c+(a-c,所以a+,b+c,a-c是共面向量， 故a+b,b+c,a-c不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意： 对于C,若a+bb+c,a-2c共面， 则存在实数x,y,使得a+b=xb+c+ya-2c=ya+xb+x-2y)c, y=1 因为a,b,c为空间中的一组基底，所以{x=1,无解， x-2y=0 所以a+b,b+c,a-2c不共面， 所以a+b,b+c,a-2c能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D,因为a+6+c=6+3刘)+3a+26): 所以a+b+c,b+3c,3a+2b是共面向量， 所以a+b+c,b+3c,3a+2b不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C 题型二：空间向量基底的实际运用 【例2】(25-26高二下广东·期中)四面体0ABC中，OA=a,0B=b,0C=c,且OP=2PA,BQ=QC, 则PO等于() A.-2a++8 3“20+2 2-1÷1- c.5a+26-2 D.2a-16-1 322 【答案】A 【解析】依题意，由Op=2PA,得OP=OA=名a, 3 3 6/31 由80=0c,得00=2o6+0©)=6+d), 所以P0=00-0p=-2a+6+c. 3 2 2 【变式2-1】(24-25高二下江苏宿迁期中)如图，空间四边形0ABC中，0A=a,OB=b，OC=c, OM=2MA,BN=NC,则MN=() A. + 1 c.-2a+6+c 3 2 2 2 2 【答案】C 【解析】由题意可得：瓜=M+孤+B丽=}O1+(O5-O列+)8C oi+(oi-0列+5oc-ol=-号oi+5oi+5oc. 3 所以M=-2a+b+号c 2 【变式2-2】(25-26高二下江苏泰州期中)如图，在空间四边形ABCD中，A8=2AE,DC=3DF,若 EF=xAB+yBC+zCD,x+y+z=() 4.7 c岩 D. 3 6 6 【答案】D 【解析】在空间四边形ABCD中，AB=2AE,DC=3DF, 则面=历+C+示-孤+c+而，又F-丽+y8C+:0D, 7/31 且，Bc,c而不共面，因此x=}=1,: 3 13 所以x+y+z= 6 【变式2-3】(25-26高二下·福建宁德·期中)如图，空间四边形0ABC中，点M和点N分别在OA和BC上， 且满足OM=2MA,BN=NC,则下列向量与M是共线向量的是() M A.-20-20B+10 3 3 B.-40A+30B+30C C.0A+0B-OC D.40A+40B-30C 【答案】B 【解析】由OM-2M,得OM-O,由Bm=NC,得0N-)OB+0C, 所以m=oN-om-o5+0c)号oi=号oi+05+oc, 对于心假设共线，则项-（号O-号O+号0C-小无解，A错误： 3 对于8.MW=O+08+0c-君40i+306+30C, 3 所以-40A+30B+30C与MN共线，B正确： 对于C,假设共线，则MN=2(OA+OB-OC),无解，c错误： 对于D,假设共线，则MN=240A+40B-30C,无解，D错误； 【变式2-4】(25-26高二下广西南宁期中)在三棱柱ABC-AB,C,中，E是AB的中点，GE=2CG,则用 向量AB,AC,AA,表示向量GB应为() A丽=名丽+号C+ 3 8/31 6 3 C.G丽=B-24C+A 6 3 D.G丽-5B+4C-4 6 3 【答案】c 【解析】在三棱柱ABC-AB,C中，由GE=2CG,得G正-C正，由点E是AB的中点，得EB=}AB, 所以G丽=丽+丽+丽-号+}丽+=号a++丽+ -元+画8+4=名丽-号C+瓜。 3 3 A 题型三：空间向量的正交分解运算 【例3】(25-26高二上山东青岛期末){a,6,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+26+3c,若向量 p用空间的另一个基底{a+b,a-b,c表示为p=xa+)+y(a-b)+zc,则x+y+z= 【答案】4 【解析】因为p=xa+b+ya-b+zc=x+y)a+(x-y)b+zc,且p=a+2b+3c, 3 x=- x+y=1 2 由于{a6,是空间的一个单位正交基底，所以{x-y=2,解得y=-} 2 2=3 z=3 因此x+y+z=1+3=4. 故答案为：4 【变式3-1】(22-23高二上·云南临沧阶段检测)已知{ā，6，c}是空间向量的单位正交基底，{ā+b,ā-b,3c 是空间向量的另一个基底，若向量p在基底ā+b,a-b,3c下的坐标是1,2,2)，则向量p在基底ā，b,c下 9/31 的坐标是 【答案】(3，-1,6) 【解析】：向量p在基底{a+b,ā-b,3c下的坐标是1,2,2， p=a+b+2a-b+2(3c=3a-b+6c, 所以向量p在基底{ā，b,c下的坐标是(3，-1,6). 故答案为：（3，-1,6) 【变式32】(25-26高二上广东广州期中){a,,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+26+3c, {a+b,a-b,c是空间的另一个基底，用基底{a+i,a-i,c表示向量p,则p= 【答案】引a+列-a-列+3c 【解析】设p=xa+b+ya-b+zc,则p=(x+y)a+(x-y)b+zc 3 x+y=1 x-2 1 所以{x-y=2,解得y=- 2 z=3 2=3 所以n-引a+b-a-列+3c. 故答案为： 引a+列-a-列+3c. 【变式3-3】(25-26高二上海南三亚阶段检测)已知向量ā，6，c是空间的一组单位正交基底，向量 a+b,a-b,c是空间的另一组基底，若向量p在基底a,b,c下的坐标为(2，l,3),p在基底a+b,a-b,c下的 坐标为(x,y,),则x-y+2= 【答案】4 【解析】由向量在基底a,b,c下的坐标为(2,1,3)，得p=2ā+b+3c, 由p在基底ā+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z), p=x(a+b)+y(a-b)+2c=(x+y)a+(x-y)b+2c, x+y=2 因此x-y=1,所以x-y+z=4. z=3 故答案为：4 10/31 题型四：借助空间向量基本定理解几何题 【例4】(25-26高二上江西上饶阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2, AA'=3,∠BAD=90°，∠BAA'=LDAA'=60°. D D B (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD、AC; (2)求证：BD1AC': (3)求AC'的长 【解析】(1)在△ABD中，根据空间向量的减法运算可得BD=AD-AB, AC=AC+CC=AB+AD+AA: (2)因AB=AD=2,AA'=3,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°， 则AD.AB=0,AD.AA=AB.AA=2×3×cos60°=3， 由(1)得BD·AC=(AD-ABAB+AD+AA) AD.AB+AD+AD.AA'-AB'-AD.AB-AB.AA =0+4+3-4-0-3=0, 所以BD⊥AC,即BD⊥AC'; (3)由(1)知AC=AB+AD+AA, AC=(AB+AD+A4)=4B'+AD'+44+24B.AD+24B.A4+2AD.A4 =4+4+9+0+2×3+2×3=29, 所以AC'=AC=V29 【变式4-1】(2026高二全国.专题练习)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，以顶点A为端点的三条 棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为AC与B,D,的交点，若AB=ā，AD=b,AA,=c, D D B 11/31 (1)用a,b,c表示BM和AC; 2)求cos(AB,AC: 【解析】(1)连接AB,AC,AC1,如图： D B 因为AB=a,AD=b,AA,=c, 在△AAB,根据向量减法法则可得：BA=AA-AB=c-ā， 因为底面ABCD是平行四边形， 故AC=AB+AD=a+b, 因为AC‖AC且AC=AC, 所以A,C,=AC=ā+6， 又M为线段A,C中点 所以4W=4G=a+6列， 在s4M8中，丽-丽+4-c-a+a+列-=a+5+c. 故平行四边形AA,CC中，AC=AC+AA=ā+b+c; (2)因为顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°， 故a6=l5ceas60=a.c=laos60=76-E-5ldcos60-2, 所以AC=(AC=(a+b+c) =(a+(6+(c+2a.b+2ac+2b-c =ld+万+a+2ld5lcos60°+2dcos60°+25 co60° -1+11+2×+2x+2x6,aC=6, 所以4CAB=a(a+6+d)=(a2+a-6+ac=1++}-2 2 2 所以cos(AB,AC）- AB.AC 26 AB AC 1x6 3 12/31 【变式4-2】(25-26高一下.浙江丽水期中)如图，在棱长为2的正四面体A-BCD中，P为CD上的动点， M为AB上靠近A的三等分点，N为AP的中点，BN与PM交于点Q, (1)用PA,PB表示PM; (2)若点P为CD的中点，求PO·PB的值： 若P0-p阳-将求8的做 DC 【解析】(1)在4BC中，：M=写4B, M-号6=Pi-P网列， .PM-PA+AM -3PA+3PB. (2)设PQ=1PM, :由(1)可知，P成=P成=PA+P: :PN=PA::P0=号P+PB, N,B,Q三点共线， “飘+制=1：2 5 PQ=PA+PB :PA=PB=V22+12-221=5 :由余弦定理可得 OS∠APB= (2 23√3 = PA.PB=1' 0-p丽-居m+P丽丽-号Pm-丽+Pm=1. (3)设DP=x,由余弦定理可得PA=2-2x+4 由正四面体得PA=PB=2-2x+4 13/31 cos∠APB= (Ve-2x+4+(N2-2x+4-222x2-4x+4 2Vx2-2x+4Vx2-2x+4 2(x2-2.x+4 0丽-引…如可.g8 :p0= :化简得9x2-18x+8=0, :解得-号或x产方 。4 【变式4-3】(25-26高二下江苏苏州阶段检测)如图，在四面体0ABC中： ∠AOB=60°，∠AOC=∠BOC=120°，OA=OB=OC=1,M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段 OM上，点P在线段AN上，且MN=,ON,AP=HN. 3 B (1)求AC.0B; (2)设0A=a,0B=b,0C=c· ①用向量a,b,c表示OP; ②求OP的值. 【解析】(1)由题意可知：AC=0C-OA,因为LA0B=60°，∠B0C=120°，0A=0B=0C=1, AC.0B=OC-0A).OB =OC.OB-04.0B =OC OB cos ZBOC-O OB cos ZAOB (2)由题可得：因为M是BC的中点，所以OM=)OB+OC), 且MN=0N,所以ON-号ON,又因为AP号4N, 所以or-0i+P-01+号N=0A+号o-0网)-0i+号oN 14/31 oi+ow-oi+号5o+o-oi+号丽+c 根据题意即：0下=a+2五+2。 399 易知a6=),ā证=6证=-}， 2' -13 81 所以o网-雪 【变式44】(25-26高二下.江苏扬州阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F分别在 棱BB,DD上，且BE=BB,DF=号Dn D (1)若EF=xAB+yAD+zAA,求x+y+z的值. 2若AB=4D=2AM=2,且∠A4B=∠A4D-于，AB1AD,求4C的长。 【解析】1)因为酥-F-征=而+DF-(丽+配)-0+号D而-B弧 =-AB+AD+44,EF=xAB+yAD+:44, 所以x=-1,y=1z=3 1 所以x+=-+1写 (2)因为AC=AC-AA=AB+AD-AA, AC-(AB+AD-AA)=AB'+AD'+4'+24B.AD-24B.44-2AD.AA +AD++2BADcos2cos2Cos -2+21+0-2x2x×32x2x1x}=5 2 所以，AC=5. 15/31 IE/91 04过关测试 1.(25-26高二下福建莆田期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F分别 为PB、PD的中点，若PG=GC,且AG=xAE+yAF,则x+y=（) A.2 B. 1 c 【答案】D 【解n]因为G-00,所以4G-P-C-G.可科4G=C+号币， 3 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC=AB+AD, 所以4G-号c+号P=丽+0例列+P-西+0+号亚. 3 因为点E、F分别为吸、PD的中点，所以亚丽+号币，亚-D+号亚， 所以G=证+f=}+号}而小亚时而号亚。 11 -x= 3 11 因为AB、AD、A亚不共面，所以 更之之大 3 x+y=2 23 2.(25-26高二下江苏苏州期中)点M是四面体0ABC的棱BC的中点，点N在线段OM上且MN=号0N, 点P在线段4N上且4P=2AN,若OP=xOA+OB+zOC,则r+y+:=（) 4 A.、7 B. 3 D.1 16 4 c 【答案】B 【解析】在四面体0ABC中，CM=MB,O示=OM,AP=3AN, 4 17/31 E= 则oN-号ow-号×o丽+oc列)}o5+号0c. 可得0m=0A+Ap=0A+3A=0A+30N-OA=0A+30N-30 oc0oc. 因为0=0i+06+:0c,则x=y==所以x+j+:-是 3.(25-26高二下江苏连云港期中)在空间四边形0ABC中， 01=0B=0C=4∠40C=∠B0C=受∠40B-号点M,N分别在04，C8上，且OW=3M,8丽=2c ,则MN=() A.22 B.V46 c.5V5 D.27 3 3 3 3 【答案】C 【解析】 由0M=-3MA,得oM=3oa, 由=2c,得oN-号0+号0c, 所以M=0N-0M=-30A+0B+20c, 4 3 因为OA=OB=OC=4,∠A0C=∠BOC=T,∠A0B=? 3 所以OA=0B=|0C=4,0A.0C=0,0B.0C=0,0A.0B=4×4×=8, 2 18/31 31 3 3 4.(25-26高二下浙江衢州期中)如图，在四面体OABC中，0A=ā，0B=6,0C=c,P为线段OA上一点 AP=2P0,Q为线段BC上一点，且BQ=3QC,则PQ等于() B 1 A. +5++6+c+6+5+ 4 4 【答案】B 【解折】根据题意，0P=号O1=0, 00-0丽+观-0丽+0=0丽+0c-0丽列-0丽+0c-6+, 4 p0=00-0m=6+3:-1a -a 443 5.(25-26高二下江苏徐州阶段检测)已知ā=3p-2g+r,i=p+g-r，c=5p+49+3r,且p,9,r不共 面，a,b,c共面，则μ=() A.-5 B.-3 C.0 D.1 【答案】A 【解析】由ā，b,c共面，且p,9,r不共面， 存在实数x,y使得c=xa+yb, 即5p+49+3r=x(3p-2g+r)+y(p+9-r), [5=3x+y x=2 则μ=-2x+y,解得y=-1. 3=x-y 4=-5 6.(2026湖北随州一模)如图，在四面体0ABC中，OA=a，,OB=b,OC=c,且OM=2MA, B=NC,则MN=() 19/31 2 2÷1 A.a+号6+ +号- 3 -5+ C. D.-2at167 b+二C 3 2 【答案】D 【解析】由题意可得：MN=MA+AB+BN=OA+(OB-OA+BC 0a+(o8-04+oc-0=号0a+08+0c, 2 2 +2 C. 2 7.(2026云南昆明·模拟预测)在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，M,N分别为棱BC,AB,的中点，点O在 平面DMN上，且AO=元AC,,则2的值为() B.4 C.3 D.4 8 9 【答案】D 【解析】设基底，以A为原点，令AB=a,AD=b,AA=c,则AC=ā+b+c,因此A0=(a+b+),D 点，AD=b, M是BC中点，M=a+五，因此DM=M-=a-五， 2 N是AB中点，AN=a+,因此DN=AN-AD=a-b+c, 2 因为O在平面DMN上，所以DO可表示为平面内的向量的线性组合，DO=sDM+tDN, :而而=a-列-5+小 代入0=6+，数理得：a+以-+证-气*引+小方+e, 1= s+ =久，解4分代入得1=经，即-号 2 9 九-1=- -1 2 20/31 D D B 8.(2027高三·全国：专题练习)如图，在空间四边形0ABC中，0A=0B=0C=2,∠A0C=∠BOC= 2 ∠40B=号点M,v分别在01,0B上，且oM=2M,丽=c,则网=（) N B A.V22 B.V46 C.34 D.2 3 3 3 3 【答案】A 【解折】因为oM=2,丽=NC,所以-0N-0M=o5+0C) 201=-20A+10B+0c. 3 又0A=0B=0C=2,∠A0C=∠B0C=T 3 所以01.0c-0,05.0c=0,0A.o丽=o405cos骨=2， 所以-(oi+o5+0c-号oi+o5+oc-o1ai-号0i.oc+ooc =o+406+40-o.o丽-x2+*2+*2-x2- 4 4 3 9 所以。故选：A 9.(多选题)(25-26高二下湖北鄂州阶段检测)在四面体P-ABC中，PD=DB,AE=2EC,则() A.E .正=2pm+元-P丽 3 3 C.PEPAP 3 D.DE-PA+2PC-IPB 31 3 2 【答案】AD 21/31 【解析】 B P元=元+正=Pc+Ci=c+(-P)=Pm+号PC,放A正确，c错误， DE=PE-PD=Pa+PC-)P丽，放e错误，D正确 10.(多选题)(25-26高二下江苏苏州期中)若{a,b,℃构成空间的一个基底，则下列向量共面的是() A.b+c,b,b-c B.a+b,a-b,c C.a+b,a+b+c,c D.a+b+c,a+b,b+c 【答案】AC 【解析】对于A:6=6++6-列，河以由万+c和方-c线性表示，所以共面. x=1 对于B:假设a+b=xa-b+yc=xa-xb+yc,可得{-x=l,此方程组无解， y=0 所以a+b不能用。-b和C线性表示，故不共面. 对于C:a+万+c=(a+)+c,a+b+c可以由a+b和线性表示，所以共面. 对于D:假设a++c=xa+b)+y6+c=xa+(x+y)b+yc, x=1 可得x+y=1,此方程组无解，所以a+b+c不能用a+b和6+c线性表示，故不共面. y=1 11.(多选题)(25-26高二下·江苏南京·期中)如图所示，在正四面体ABCD中，BM=MC,DN=NM,则 () 22/31 6 AA=庙+AC+A丽 B.A=A丽+AC+A丽 C.D在平面ABC内的投影向量为A应 D。而在平面48C内的投影狗量为号 【答案】BD 【解析】对于AB,由题知，M-)B+)AC, 孤=D+W)0+号通+4C+号4c+而，故A错误，8正确： 对于CD,设点D在平面ABC的投影为点O, 由正四面体ABCD得，底面ABC为等边三角形，且侧棱DA=DB=DC, 所以由正四面体的性质得，顶点D在底面的投影是底面ABC的重心，AD在平面ABC的投影向量为AO, 则A0=2AM, 3 所以D在平面ABC内的投影向量为AM,故c错误，D正确。 D M B 12.(多选题)(25-26高二下辽宁沈阳·开学考试)已知四边形ABCD为空间四边形，点E,F,G分别在边 9C,CD上，且满定福凭C8点W满足孤。丽+C+而，则下列选欢正确的是() A.AC=AB+BD+DC B.若x+y+z=1,则点M,B,C,D四点共面 C.点E,F,G,M可能共线 2 D.EG=mAC+nAD+pAB,mp=3 23/31 【答案】ABD 【解析】对于A,根据空间向量加法规则可知AC=AB+BD+DC,A正确： 对于B,因为点M满足AM=xAB+yAC+zAD,且x+y+z=1,所以根据共面向量定理得点 M,B,C,D四点共面，B正确： 对c国为熙8亚-丽+原亚c酒c-酒c不 3 3 3 G-c4G号c}c0引ac-+0-a列号西+}c+. 3 EF与FG不共线，故E,F,G不共线，因此E,F,G,M不可能共线，C错误； 对于D,因为EG=EF+FG=}4C+}AB-2B+4C+D=2AC-AB+4D 3 3 3 因为=C40+p而，所以m号兮p=有则m+8+p- =2,D正碗 3 13.(25-26高二·全国暑假作业)如图所示，点M是0A的中点，以{0A,0C,0D}为基底的向量 DM=x04+yoC+20D,(x,y,z)= D B 【答案】 【解析】：DM=D0+OM=1OA-OD=xOA+y0C+zOD, ● 1 x=2y=0,z=-1. 14.(25-26高二下.上海松江·期中)在三棱柱ABC-A,B,C,中，D为棱AA的中点.若存在x,y,zeR,满足 CD=xAB+yAA+zBC,则y= 24/31 【答案】 【解析】由题意， 而=而-C=-(丽+0)=-丽-c=-丽-(c+0 号M-4B-8C-CC-4-G-8C+4-4-B-BC, 又CD=xAB+yAA+zBC, 所以y=3 2 A B D B 15.(25-26高二下江苏泰州·期中)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，已知AB=AD=2,AA,=V2, ∠BAD=60°，∠A,AB=∠AAD=45°，则AC,的长度为 【答案】√22 【解析】在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AC=AB+AD+AA, |ACP=(AB+AD+AA)2=AB2+|AD2+|AA户+2AB·AD+2AB.AA+2AD·AA: 因为1AB2=AD2=22=4,|AAP=(N2)2=2, AB.AD=ABAD1c0s60°=2×2×}=2， 2 4Blcos45=2xx2 2 DM-0M1c0s45=2x2× =2 2 所以AC2=4+4+2+2×2+2×2+2×2=22,即1AC=√22 D A 4 B 25/31 16.(25-26高二上·新疆乌鲁木齐阶段检测)已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，若M,A ,B,C四点共面，0不在该平面上，且OM=xO1+0B-0C(x>0,y>0)则4的最小值为 x y 【答案1 【解析】根据共面向量定理的推论，因为M,A,B,C四点共面，O不在该平面上，满足 OM=x0A+y0B-OC, 所以x+y-1=1,即x+y=2(x>0,y>0) 因为y+之2 于=4当且仅当g于，即x=子=号时等号成立， 2 x y x y x y 4+1≥5+4=2 9 代入得二+ x y2 故4+上的最小值为 9 17.(25-26高二下.甘肃金昌阶段检测)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=2, AA,=3∠AAB=∠A,AD=∠BAD=60°，设AB=a,AD=b,AA=c. D C iN B D- C M B (1)若点M,N满足BC=2BM,DN=3ND,试用a,万，c表示MN; (2)求M与AC夹角O的余弦值 【解析】(1)BC=2BM,DN=3ND,, 丽co-5,0丽-00-A-. 又：AN=AD+DN,AM=AB+BM, :MN=AN-AM=AD+DN-AB+BM 2wac-(a++a+6列 26/31 -3a6+3az+368 1 3 3 =-4+二×4-二×2+二×3+二×3= w-(a++对j =时++用-a6-a+ 6c, =4+4+29-2x +3x3=3 2 Γ16 AC=(a+°=+|+2a-万=4+4+2×2=12， 3 cos(M,4C）= MN.AC =31 MN AC ×2 31 V16 18.(25-26高二下.江苏淮安阶段检测)如图，空间四边形OABC中， 01=0B=0C=2,∠A0C=∠B0C=分∠A0B=胥，点M,N分别在OA.BC上，且OM=2M,BN=CN. B (1)以OA,0B,0C}为一组基底表示向量MN: (2)求MN的长度： (3)求AC,M两向量夹角的余弦值. 【解析】(1)因为OM=2MA,BN=CN, 所以w-=oN-o丽-(O8+oc)-号oi=+o5+5oc, 3 (2)因为0A=OB=0C=2,∠A0C=∠B0C=T,∠A0B= 2 3 所以0A.0c=0B.0c=0,0A.0B=o4 B cos=2, 3 所以-（号0i+o+号c】 27/31 =40+0i+0-20.0-20A.0c+0.0c 4 3 9 =4x22+x2+x2- 9 4 4 3×2=22 9, 所以Mw=v22 3 (3)因为AC=OC-0A, 所以4c.M-(oc-0i号oi+oi+号oc i-o丽.0-0coi-30ioc+06.0c+0c 3 -22*+分2-号 3 4d-Voc-0-v0c+0-20c.0i-4+4=2N2, 11 所以Cos<AC,MN>= AC.MN 3 i AC MN 2x224 3 19.(2027高三全国.专题练习)如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，CA=CB=CC,CA=a,CB=b, G=,a,=a0=登，瓜0子N是4B的中点 C M B (1)用ā，6，c表示向量4N; (2)在线段CB,上是否存在点M,使AM⊥A,N?若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由. 【解折11=+孤=0+号丽=G+C西-=0+5-6 (2)假设存在点M,使AM⊥A,N, 设C,M=1C,B=1b(2∈[0,1]) 显然AM=AA+A,C+CM=c-G+1b, 28/31 因为AM⊥AN,所以AM·AN=0, 即e-a+0+56-小-0， 所以-a+5-2+-+6a-a6+号-6-c 2 2 2 a+刘e-+-刘+-0. 设CA=CB=CC,=1, 又a=a,号，6，司 所以a-+与-}++=0， 即w(引-+-台x》x=0. 解得入=3' 2 所以当C,M=2C,B,时，AM⊥A,N. 3 20.（25-26高二上四川绵阳·期中)在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=2,AA,=3, ∠AAB=∠AAD=∠DAB=T, 点RG分别为陵B8、8c的中点，正-号C,DH-3C,设而：8， AD=b,AA=c. (1)用ā，万，c表示EF并求出EF的值： (2)求EF.Gǖ的值. 【解析】1)因为点F为枝B,的中点，所以所=号丽=， 由4E=)Ec得4E=}4C,所以征=+4E=+}4C -+不+丽+风列=+4a+列-+6+号 31 ”3 又AF=AB+BF=a+。c, 所以=--+-传a++号： 由题意a==2,G=3,∠AAB=∠AAD=∠DAB=T, 3 所以a5-2x2×2,ac-2x33,5c=2x8x3, 29/31 所以厨----g+5+6 .d+-b.c 36 96、2 9 9 9 164,182,1V5 V9+g49332 D A B ‘E D B (2)国为点G为棱BC的中点，所以CG=8C-D-5, 因为nF=3C,所以CH=c0-cD+D0)=-8+4)=-a+, 所以G丽=CH-cG=-ā+}c+}i, 1 4 4 2 所以--6-+--4+品6+-5e 12 24 6 449,5,513 Γ6624+6+82=-4 21.(25-26高二上·安微期中)如图，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，∠BAD=∠BAA=∠DAA,=60°， E是棱BB,的中点，记AB=a,AD=b,AA,=c. D A B D B (1)用云、五、C表示向量ED,: (2)若AB=AD=2,AA=3,点M满足AM=3a+c(2∈R),且AM⊥ED,求AM 【解折】由题意可得西=西-正-0+)-西+-西+0+ =-a+b+5c 2西m-(a+d刘(a+5+-+5+修246+分 30/31 Γ2+2 因为仙1D,所以孤画=}=0，解两入号 所以-6a+=+2ac+)e-92+2x2x×25×3=8, 29 故AM=√43 31/31 第02讲 空间向量基本定理 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 3 知识点2：空间向量的正交分解 3 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：空间向量基底的判断方法 4 题型二：空间向量基底的实际运用 4 题型三：空间向量的正交分解运算 6 题型四：借助空间向量基本定理解几何题 6 04 过关测试 10 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型一：空间向量基底的判断方法 【例1】（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·广东清远·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二：空间向量基底的实际运用 【例2】（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 题型三：空间向量的正交分解运算 【例3】（25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 【变式3-1】（22-23高二上·云南临沧·阶段检测）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是__________. 【变式3-2】（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 【变式3-3】（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 题型四：借助空间向量基本定理解几何题 【例4】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【变式4-1】（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【变式4-2】（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【变式4-3】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 【变式4-4】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 1．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江衢州·期中）如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（2026·湖北随州·一模）如图，在四面体中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2027高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高二下·江苏苏州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 12．（多选题）（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 13．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 14．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 15．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 16．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 17．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 18．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 19．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 20．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 21．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $