第01讲 空间向量及其运算（8大知识点+8大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第01讲 空间向量及其运算 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：空间向量的有关概念 3 知识点二：空间向量的线性运算 3 知识点三：共线问题 4 知识点四：向量共面问题 5 知识点五：空间向量数量积的运算 5 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 6 知识点七：夹角问题 6 知识点八：空间向量的长度 7 03 题型精讲举一反三 8 题型一：空间向量概念及线性运算 8 题型二：共线向量定理解题应用 10 题型三：共面向量性质与应用 12 题型四：空间向量数量积 14 题型五：数量积法求向量夹角 16 题型六：数量积法求线段长 20 题型七：向量法证明空间垂直 23 题型八：综合应用 27 04 过关测试 31 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 题型一：空间向量概念及线性运算 【例1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【解析】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 【变式1-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【变式1-2】如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 【变式1-3】（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 【变式1-4】（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，， 则. 题型二：共线向量定理解题应用 【例2】（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【解析】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 【变式2-2】（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 题型三：共面向量性质与应用 【例3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 【变式3-1】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 【变式3-2】已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【答案】C 【解析】因为非零向量不共线，， 所以， 由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面． 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【解析】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 【变式3-4】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 题型四：空间向量数量积 【例4】（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【解析】因为，， 所以， ， . 【变式4-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【解析】因为，所以 . 【变式4-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【解析】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 【变式4-3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 【答案】0 【解析】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 题型五：数量积法求向量夹角 【例5】（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【解析】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 【变式5-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 【变式5-2】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2）． （3），， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 【变式5-3】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 【解析】（1） 平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点， ，， ， ． （2）， ， ， ， ． 题型六：数量积法求线段长 【例6】（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 【解析】（1）连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 【变式6-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【解析】（1）在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【解析】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 【变式6-3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【解析】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 题型七：向量法证明空间垂直 【例7】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【解析】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 【变式7-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【解析】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）由题意得，      则 ，故. 【变式7-2】（25-26高二上·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 【解析】（1）由题意得，，，， 可知， 则 . （2）因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. （3）当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD. 【变式7-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【解析】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）， 则 . 故. 题型八：综合应用 【例8】在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【解析】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 【变式8-1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【解析】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 【变式8-2】如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【解析】（1）依题意，． （2）取中点，则． 而，则，所以． 【变式8-3】（25-26高二上·河北·期中）四面体ABCD中，，. (1)证明：； (2)证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 【解析】（1）方法一：因为得， 又，所以 即， 同理由得， 所以 即，得. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点， 因为面，面，∴ 又∵，且，面 则面，又面， ∴，即是一条高线 同理可证也是一条高线. 又，则点是的垂心，∴ 又，，平面，所以面， 又面，得 （2）不妨设分别为棱的中点. 设， 则， ， ， 则，类似的可证明其余对棱中点连线距离相等. 1．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中，； B中，； C中，； D中，. 2．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 3．已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】由于，所以， 即， 所以， 解得. 4．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【解析】 由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 6．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】G是的中点，所以. 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解析】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】依题意，，而， 所以. 9．（多选题）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【解析】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 10．（多选题）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【解析】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 11．（多选题）（2026·广东东莞·三模）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【解析】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误. 对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 12．设是的重心，记，，则________（用，表示）． 【答案】 【解析】如图，． 13．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【解析】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 14．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【解析】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 15．已知向量，，不共线，如果，，，求证：，，，四点共面． 【解析】易得，不共线．令， 则． 和不共线，，解得 ，，，，四点共面． 16．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【解析】（1）因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3）. 17．如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 【解析】（1）解法1：因为为的重心， 所以， 所以 ， 所以； 解法2：因为为的重心 所以， 在中，由勾股定理可得：． （2）证明：证法1：因为 ， 所以， 同理可得, 所以 ， 所以，即， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 证法2：因为为正三角形的重心， 所以， 其中为正三角形边上的中线(高)， 在中，， 所以， 在中， 可得， 同理可得， 所以可得， 所以， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 18．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【解析】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 19．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【解析】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 20．（23-24高二下·江苏连云港·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 【解析】（1），， 故，故； （2）, 故 ； （3）由，，， 故， 又， 故, 又平面，且, 故平面，即是平面的法向量， 令直线与平面所成角为， 则， 又， 故 ， 故 ， 即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其运算 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：空间向量的有关概念 3 知识点二：空间向量的线性运算 3 知识点三：共线问题 4 知识点四：向量共面问题 5 知识点五：空间向量数量积的运算 5 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 6 知识点七：夹角问题 6 知识点八：空间向量的长度 7 03 题型精讲举一反三 8 题型一：空间向量概念及线性运算 8 题型二：共线向量定理解题应用 9 题型三：共面向量性质与应用 10 题型四：空间向量数量积 10 题型五：数量积法求向量夹角 11 题型六：数量积法求线段长 13 题型七：向量法证明空间垂直 15 题型八：综合应用 17 04 过关测试 19 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 题型一：空间向量概念及线性运算 【例1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【变式1-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【变式1-2】如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 题型二：共线向量定理解题应用 【例2】（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【变式2-2】（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 题型三：共面向量性质与应用 【例3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式3-2】已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【变式3-3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【变式3-4】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四：空间向量数量积 【例4】（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 【变式4-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【变式4-3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 题型五：数量积法求向量夹角 【例5】（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【变式5-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【变式5-2】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式5-3】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 题型六：数量积法求线段长 【例6】（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 【变式6-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【变式6-3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 题型七：向量法证明空间垂直 【例7】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【变式7-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【变式7-2】（25-26高二上·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 【变式7-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 题型八：综合应用 【例8】在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【变式8-1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【变式8-2】如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【变式8-3】（25-26高二上·河北·期中）四面体ABCD中，，. (1)证明：； (2)证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 1．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 2．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 4．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 9．（多选题）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 10．（多选题）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 11．（多选题）（2026·广东东莞·三模）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 12．设是的重心，记，，则________（用，表示）． 13．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 14．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 15．已知向量，，不共线，如果，，，求证：，，，四点共面． 16．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 17．如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 18．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 19．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 20．（23-24高二下·江苏连云港·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $