11.2一元一次不等式（第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题）课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“用一元一次不等式解决实际问题”，通过“周末购物大挑战”情境导入，先回顾不等式定义与性质，再以“审设列解验答”六字诀构建建模支架，结合购物、上网收费例题实现旧知到新知的衔接。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过六字诀建模流程发展数学思维，例题与练习强化模型意识。采用情境教学与问题驱动，小结含方法总结与易错提醒，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学路径与实例支撑。

11.3实践与探索 核心应用 用一元一次不等式解决实际问题 生活中的数学智慧 人教版（新教材）·七年级数学下册 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。大家有没有想过，我们每天都在做各种各样的选择，比如买东西去哪家店更划算，手机选哪个套餐更省钱。这些生活中的小问题，其实都藏着数学的智慧。今天，我们就来学习一种非常强大的数学工具——一元一次不等式，看看它是如何帮助我们做出更明智的决策的。 ‹#› 周末购物大挑战 情境描述 周末小明和妈妈去超市购物，发现A、B两家超市正在搞促销活动。A超市的优惠是所有商品一律打8折；B超市则是购物满100元后，超出100元的部分打7折。 思考挑战 妈妈想知道，到底购买多少金额的商品时，选择去A超市消费会更加划算呢？ 导入新课 1.7.2013 让我们来看一个周末购物的场景。A超市直接打8折，简单明了。B超市呢，满100元才能享受优惠，超出的部分打7折。这看起来好像更便宜，但真的是这样吗？如果妈妈想买的东西总价是90元，去哪家？如果是150元呢？如果是500元呢？这个问题是不是一下子变得复杂了？别担心，学完今天的内容，你就能轻松帮小明的妈妈做出最明智的选择。 ‹#› 知识回顾 我们的老朋友——不等式 一、不等式的定义：用符号 <、>、≤、≥ 连接，表示两个数或式子之间大小关系的数学表达式。 示例：x + 3 > 5，2y - 1 ≤ 7，都是典型的不等式。 二、不等式的三大基本性质： 性质1：两边加（减）同一个数（式），不等号方向不变。如：若 a > b，则 a ± c > b ± c。 性质2：两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。如：若 a > b，c > 0，则 ac > bc。 性质3（关键）：两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变！如：若 a > b，c < 0，则 ac < bc。 核心认知：不等号是表达“不相等”的数学语言 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 思考时刻 为什么不等式两边乘除负数时，不等号方向会发生改变？结合数轴上的数的位置想一想！ 1.7.2013 在解决刚才那个购物难题之前，我们先来回顾一下老朋友——不等式。大家还记得什么是不等式吗？没错，就是用大于、小于这些符号连接的式子。解不等式有三个基本性质，前两个和等式差不多，但第三个是关键，也是最容易出错的地方：当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向一定要改变！大家一定要牢记这一点。 ‹#› 新知探究 核心点01 新知探究：如何构建模型？ 六字诀 解决实际问题的关键步骤：审、设、列、解、验、答 审：认真审题，找出问题中的已知量、未知量和所有不等关系 设：设出适当的未知数（通常用 x 表示），明确变量含义 列：根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式 解：按照不等式的性质，解这个一元一次不等式求其解集 验：检验解是否符合实际问题的意义，舍去不合题意的解 答：写出完整的答案，包括单位和符合实际情境的表述 悟：建模思想是连接数学与实际问题的桥梁，灵活运用是关键 1.7.2013 要解决生活中的问题，我们首先要把它变成一个数学问题。这个过程就叫做“建模”。这里有一个非常好用的六字口诀：“审、设、列、解、验、答”。第一步“审”，就是读懂题目，找到关键信息；第二步“设”，就是把要求的量设成未知数x；第三步“列”，根据题目中的不等关系列出不等式；第四步“解”，解出x的范围；第五步“验”，检查这个答案是否符合实际情况；最后一步“答”，写出清晰的结论。跟着这六步走，再复杂的问题也能迎刃而解。 ‹#› 未知量 新知探究 探究点1 例题解析1：购物决策问题 议一议 A超市所有商品打8折，B超市购物满100元后超出部分打7折。若想在A超市购物更划算，求购买商品的金额至少需要满足什么条件？ 分析：①审题与建模： 已知量 •A超市：全场商品统一打8折 •B超市：购物满100元，超出部分打7折 •目标：A超市花费金额 < B超市花费金额 设购买商品的总金额为未知数 设金额为x（单位：元） 列不等关系与分析 当x>100时，0.8x < 100+0.7(x-100)；x≤100时A超市更优惠。 分段计算 1.7.2013 现在，我们用“审、设、列、解、验、答”的方法来解决刚才的购物问题。第一步“审”和“设”：我们要求的是购买金额，所以设它为x元。不等关系是“A超市花费 < B超市花费”。接下来我们要分析两家超市的花费。A超市很简单，就是0.8x。B超市比较特殊，要分两种情况：没超过100元，就不打折；超过100元，只有超出的部分打折。显然，当x小于等于100时，A超市肯定更便宜。所以我们重点讨论x大于100的情况。 ‹#› 新知探究 列不等式与求解 例题：超市购物决策 分析思路 情境：A超市全场打八折，B超市满100元后，超出部分打七折。设购物金额为x元（x>100），试分析当x取何值时，在A超市购物更划算？ 核心逻辑：根据“实际花费”建立不等关系，即A超市的花费小于B超市的花费，从而列出不等式并求解，结合前提得出最终结论。 步骤一：列不等式 依据“A超市花费 < B超市花费”的关系，结合折扣规则，列出核心不等式： 根据题意列出式子：A超市花费为0.8x，B超市花费为100+0.7(x-100)，故不等式为： 0.8x < 100 + 0.7(x - 100) 关键前提：x > 100 解不等式过程：去括号得0.8x < 30 + 0.7x，移项合并得0.1x < 30，系数化为1得： 0.8x - 0.7x < 100 - 70 x < 300 综合结论：结合前提条件 x > 100，最终得出购物金额的范围是 100 < x < 300。即当购物金额超过100元且不足300元时，选择A超市购物更划算。 0.1x < 30 1.7.2013 好，接下来是第三步“列”和第四步“解”。根据我们刚才的分析，列出不等式：0.8x &lt; 100 + 0.7(x - 100)。现在我们来解这个不等式。第一步去括号，得到0.8x &lt; 100 + 0.7x - 70。第二步移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，得到0.8x - 0.7x &lt; 100 - 70。第三步合并同类项，得到0.1x &lt; 30。最后系数化为1，两边都除以0.1，得到x &lt; 300。别忘了我们的前提是x > 100，所以最终的解是100 &lt; x &lt; 300。 ‹#› 新知探究 探究点1 例题解析1：购物决策问题 议一议 某同学计划购买文具，A超市实行全场八折优惠，B超市实行满100元后超出部分七折优惠。当购买金额超过100元时，问在什么金额范围内选择A超市购物更划算？ 解析： ⑤列不等式求解 设金额为x(x>100)，则： 0.8x < 100 + 0.7(x-100) 解得：x < 300 ⑥检验结果合理性并规范作答 检验：取x=200，A花费160元，B花费170元，A更优；x=300时两家相等，x>300时B更优。 作答：当购买金额超过100元且不足300元时，选择A超市更划算。 1.7.2013 解出来了还不算完，我们还要进行第五步“验”和第六步“答”。我们来检验一下，比如我们取x等于200元，正好在100到300之间。算一下，A超市花费160元，B超市花费170元，确实是A超市更便宜。如果x正好是300元，两家花费一样。如果超过300元，比如500元，那B超市就更划算了。所以，我们的最终答案是：当购买金额超过100元但不足300元时，去A超市更划算。看，数学是不是帮我们把问题分析得清清楚楚？ ‹#› 未知量 新知探究 探究点：审题建模 例题解析2：上网收费方案选择 情境引入 某电信公司提供两种上网收费方式：方式A有月租费20元，再按每分钟0.1元收上网费；方式B无月租费，按每分钟0.2元收上网费。请问如何选择收费方式更划算？ 分析：①梳理方案 收费方案 •方式A：月租20元 + 0.1元/分钟 •方式B：无月租 + 0.2元/分钟 •核心目标：比较两种方式的费用高低 设每月上网时间为 x 分钟，x 为非负实数。 关注点：当上网时长变化时，费用如何变化？ 费用与不等关系 A费用：20+0.1x；B费用：0.2x。若A更划算，则 20 + 0.1x < 0.2x。 建立模型 1.7.2013 我们再来看一个上网套餐的问题。方式A有月租，但每分钟便宜；方式B没月租，但每分钟贵。到底选哪个好呢？我们还是用老方法。第一步“审”和“设”：设上网时间为x分钟。不等关系是“方式A的费用 < 方式B的费用”。然后分析费用，方式A是月租20元加上每分钟0.1元，也就是20 + 0.1x。方式B就是每分钟0.2x，也就是0.2x。 ‹#› 新知探究 探究点2 列不等式与求解 议一议 某地上网有两种收费方式，用户可任选其一：A为计时制：0.2元/分；B为包月制：20元/月，此外每种上网方式都加收通信费0.1元/分。请问用户每月上网多少分钟时，选B方式更合算？ 思路分析： 设每月上网时间为x分钟，分别表示出A、B两种方式的费用，再根据“B更合算”列不等式求解。 ①根据“B方式费用 < A方式费用”，可列出不等式： 20 + 0.1x < 0.2x 核心式子 ②解不等式第一步（移项）与第二步（合并）： 20 < 0.2x - 0.1x → 20 < 0.1x 化简变形 ③系数化为1，得到最终结论：x > 200，即当用户每月上网时间超过200分钟时，选择B包月制更合算。 x > 200 结论 1.7.2013 接下来“列”和“解”。根据不等关系，我们列出不等式：20 + 0.1x < 0.2x。解这个不等式就更简单了。移项，把0.1x移到右边，得到20 < 0.2x - 0.1x。合并同类项，得到20 < 0.1x。最后系数化为1，两边都除以0.1，得到200 < x，也就是x > 200。 ‹#› 新知探究 探究点 例题解析2：上网收费方案选择 议一议 两种上网收费方式：方式A月租20元，每分钟收费0.1元；方式B无月租，每分钟收费0.2元。当每月上网时间满足什么条件时，选择方式A更省钱？ 检验： 分情况验证 当x=300分钟：A费用=20+0.1×300=50元，B费用=0.2×300=60元，50<60。 当x=200分钟：A、B费用均为40元，两者费用相同。 当x<200分钟：方式B更省钱。 答：结合实际验证，明确最终结论 当每月上网时间超过200分钟时，选择方式A更省钱；若等于200分钟，两种均可；若少于200分钟，选方式B。 1.7.2013 ‹#› 01. 审清题意 —— 锁定核心关系 抓住“至少、最多、不超过、不少于”等关键词，精准挖掘题目中的不等关系，这是解题的前提基础。 02. 合理设元与列式 —— 转化数学语言 选定关键未知量设为x，将文字描述的数量关系转化为一元一次不等式，完成实际问题到数学模型的转化。 03. 规范求解 —— 严谨运算过程 依据不等式的基本性质进行变形求解，特别注意不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变，避免运算错误。 04. 检验作答 —— 回归实际意义 检验解集是否符合实际情境（如人数、物品数量为正整数），舍去不合题意的解，最后规范写出完整答案。 课堂小结 方法总结：解决实际问题的“金钥匙” 1.7.2013 通过刚才的两个例子，我们再来总结一下解决这类问题的“金钥匙”。第一步，审题时一定要抓住那些表示不等关系的关键词，比如“至少”、“最多”、“不超过”等等。第二步，合理地设未知数。第三步，把文字描述转化成数学不等式。第四步，规范地解不等式，特别要小心除以负数时要变号。最后一步，也是非常重要的一步，检验你的答案是否符合实际意义，比如人数不能是小数，然后写出完整的答案。 ‹#› （1）不等号方向：解不等式时，两边乘或除以负数，极易忘记改变不等号的方向，这是核心易错点。 （2）实际意义：忽略实际背景隐含条件，如人数、物品个数不能为负数或小数，解出的解集需符合现实逻辑。 （3）关键词混淆：分不清“不大于(≤)”与“小于(<)”、“不小于(≥)”与“大于(>)”，审题时需精准锁定限定词。 （4）计算细节错：去括号符号处理失误、移项未变号、合并同类项粗心，这些基础计算失误会直接导致最终解集错误。 课堂小结 易错提醒：小心这些“陷阱” 1.7.2013 在解题过程中，有几个“陷阱”大家一定要小心。第一，解不等式时，两边同时乘以或除以一个负数，千万别忘了改变不等号的方向！第二，解出来的答案要符合实际情况，你不能说“我买了2.5个苹果”或者“来了-3个客人”。第三，要准确理解题目中的关键词，“不超过”和“小于”是不一样的。最后，就是计算要细心，不要在去括号、移项这些简单步骤上丢分。 ‹#› 课堂练习 实战应用 01.某商店以每件60元的价格购进一批衬衫，以每件90元的价格售出。若该商店希望获利不少于450元，那么至少需要售出多少件衬衫？ 解：设至少需要售出x件衬衫。 每件衬衫的利润为：90 - 60 = 30（元）。 根据总利润不少于450元，列不等式：30x ≥ 450 解不等式，得：x ≥ 15 答：至少需要售出15件衬衫。 小试牛刀 1.7.2013 好了，理论学完了，我们来小试牛刀。这道题说，一件衬衫成本60元，卖90元，想获利不少于450元，至少要卖多少件？大家可以先自己动笔算一算。首先，设售出x件。每件的利润是90减60，等于30元。总利润就是30x。题目说“不少于”450元，也就是大于等于450。所以列出不等式30x ≥ 450。解得x ≥ 15。所以答案是至少要卖15件。 ‹#› 课堂练习2 题目：某工程队计划在10天内修路6公里。施工前2天修完1.2公里后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务。请问以后几天内，平均每天至少要修路多少公里？ 解：设以后几天内，平均每天要修路x公里。 ① 剩余工作量：总路程6公里，已修1.2公里，还剩6 - 1.2 = 4.8公里。 ② 剩余工作时间：原计划10天，已修2天，提前2天，剩余10 - 2 - 2 = 6天。 ③ 列不等式：剩余6天修路总量不少于4.8公里，即6x ≥ 4.8。 ④ 求解不等式：两边同时除以6，得x ≥ 0.8。 工程应用 挑战升级 结论分析： 根据计算结果，每天修路的公里数必须大于或等于0.8公里，才能在提前2天的情况下完成剩余任务。 答：平均每天至少要修路0.8公里。 思路总结：解决此类工程问题，关键是找准“剩余工作量”和“剩余工作时间”的关系，利用“总量=效率×时间”建立不等式模型求解。 1.7.2013 再来挑战一个工程问题。计划10天修6公里，已经修了2天，修了1.2公里，现在要提前2天完成。问剩下的时间里，每天至少要修多少？大家思考一下。首先，设以后每天修x公里。还剩下多少路没修呢？6减1.2，等于4.8公里。还剩下多少时间呢？原计划10天，减去已经用的2天，再减去要提前的2天，还剩6天。这6天修的路要不少于剩下的4.8公里，所以列出不等式6x ≥ 4.8。解得x ≥ 0.8。所以答案是每天至少要修0.8公里。 ‹#› 课堂练习3 某物流公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用。已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨。在每辆车不超载的条件下，把300吨物资一次性运完。问：在已确定调用5辆A型车的前提下，至少还需调用多少辆B型车？ 核心分析：首先明确已知条件，A型车已定5辆，先计算其运力，再结合总物资量建立不等式。关键在于解出未知数后，需根据“车辆数为正整数”的实际意义进行取整处理，确保物资能一次性运完。 车辆型号 A 型 B 型 载重(吨/辆) 20 15 调用情况 5 辆(已定) x 辆(待求) 课堂精讲 学以致用 解：设至少还需调用x辆B型车。 根据题意，5辆A型车可运物资：5 × 20 = 100（吨）； x辆B型车可运物资：15x（吨）； 要一次性运完300吨物资，可得不等式： 100 + 15x ≥ 300 移项化简：15x ≥ 200，解得x ≥ 13.33... 因为车辆数必须是正整数，所以x取最小的整数14。 答：至少还需调用14辆B型车。 1.7.2013 ‹#› 01.构建完整的数学建模解题流程： 实际问题→抽象分析→建立一元一次不等式模型 求解不等式→检验解的合理性→得出实际问题的答案 02.掌握核心数学思想： 深刻理解“数学建模思想”，学会将复杂的实际生活问题，通过抽象、概括转化为纯数学问题进行求解，再回归实际情境验证，让数学成为解决生活问题的有力工具。 课堂小结 本节课核心知识回顾 1.7.2013 好了，同学们，今天的课就快结束了。我们来回顾一下，这节课我们学会了如何用一元一次不等式来解决生活中的实际问题。整个过程就是一个“数学建模”的过程：把一个实际问题，通过抽象和分析，转化成一个数学模型，也就是不等式，然后解这个模型，最后再把数学的解还原成实际问题的答案。希望大家能掌握这种思想，用数学的眼光去观察和解决生活中的问题。 ‹#› 课后作业 分层练习 运用一元一次不等式解决实际应用问题 练真题 一、必做题（基础巩固） 1. 完成教材Pxx页练习题第1、2、3题，熟练掌握不等式的列写与求解步骤。 2. 实际应用：某工厂前年有员工280人，去年减员40人后全厂年利润增加100万元，且人均创利至少增加6000元。请根据题意列出不等式，求前年全厂年利润至少是多少万元？ 二、选做题（能力挑战）—— 商场商品购进与利润最大化 背景：甲商品进价100元/件，售价150元/件；乙商品进价300元/件，售价400元/件。 （1）若用不多于54000元资金购进共200件，求甲商品至少购进多少件？（2）在（1）的条件下，如何进货能使销售完这批商品的获利最大？最大利润是多少？ 作业目标：掌握不等式建模，解决最优化实际问题。 1.7.2013 今天的课后作业分为必做题和选做题。必做题帮助大家巩固今天所学的基本方法。选做题有一定难度，需要综合运用我们今天学的知识，有余力的同学可以挑战一下。希望大家认真完成，真正掌握用不等式解决问题的方法。 ‹#› 谢谢聆听 数学源于生活，也服务于生活，希望大家能带着今天学到的知识，去发现生活中更多有趣的数学问题。 1.7.2013 今天的课就到这里，同学们表现得都非常棒！数学源于生活，也服务于生活，希望大家能带着今天学到的知识，去发现生活中更多有趣的数学问题。谢谢大家！ ‹#› $