期末常考题型突破训练2025-2026学年北师大版数学七年级下学册

**基本信息** 聚焦七年级下册期末常考题型，以几何直观、运算能力、推理意识为核心，通过分层题型系统提炼解题方法，构建知识内在逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形|选择1/4/7/8/9/10，填空14/16，解答18/20/24/25|辅助线构造（作平行线/垂线）、折叠性质应用、全等判定|从轴对称概念到三角形性质，再到平行线综合推理，形成空间观念发展链| |代数运算|选择2/3，填空11/13/15，解答17/22|公式法化简、科学记数法转化、杨辉三角规律迁移|从整式运算到完全平方公式，再到多项式展开，体现运算能力层级提升| |统计概率|选择5，填空12，解答19|频率估计概率、必然事件判定|结合实际情境，从数据收集到概率计算，培养数据意识与模型观念| |综合应用|解答21/23|函数关系建立、动态问题分类讨论|整合几何与代数知识，通过运动变化分析，发展推理意识与应用能力|

期末常考题型突破训练2025-2026学年北师大版七年级下学期 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列手机中的图标是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 5．随着暑期的到来，西瓜的价格也趋于稳定，小若去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的自变量是（   ） A．数量 B．金额 C．单价 D．金额和数量 6．在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 7．如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，，，，，，则（  ） A． B． C． D．无法计算 9．如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（   ）．    A．56 B．66 C．74 D．84 10．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知，，则的值为_________． 12．七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是_____个． 13．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为__________. 14．如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．（取3） 15．若是一个完全平方式，则的值为______． 16．动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．按要求完成各题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 18．如图，等边中，，垂足为点． (1)尺规作图：在右侧作，且使． (2)连接、，试说明和的位置关系，并证明． 19．学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题： (1)小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率； (2)兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)在上画出点P，使得的和最小： (3)求的面积． 21．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点，，求的度数． 22．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 23．如图1，在四边形中，，，一点从点出发沿着的方向以每秒2个单位的速度运动，其中长为10．在运动过程中，的面积与时间的关系如图2所示． (1)直接写出_______，______； (2)求出与的值； (3)在点的整个运动过程中，若设的面积为，请求出与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 24．中，，点P为边上一动点． (1)如图1，过点A作于点D，以为边作，使，且，作射线交于点F． ①求证：，； ②求证：； (2)如图2，，，N为内一动点，且，M为中点，连接，当最小时，求的度数． 25．已知直线，直线分别交于点E，F． (1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ； (2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数； (3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C A C D B B B 11．8 12． 13． 14． 15． 16． 或 17．【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当，时 原式 18．【详解】（1）解：如图，先在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点， 则即为所求． （2）解：． 证明：设与相交于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即． ， 为等边三角形， 垂直平分，， ，， ， ， ， ． 19．【详解】（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个． 小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为 答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为． （2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件； 小红用 20 分操行分，可摸 2 个球（每 10 分摸一个球）． 要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2． 的值为1． 20．【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，交直线于点，连接， ∵点和关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当、、共线时，取得最小值， 故如图点即为所求： （3）解：． 21．【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 若平分，， ， ， ， ． 22．【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ 23．【详解】（1）由图象可知，，． 故答案为：6，8； （2）当点运动到点时，的面积达到最大，即为的值， 根据三角形面积公式有，可得， 点从点出发沿运动，，，， ∴总路程， ， 综上所述，； （3）①当时，点在上运动， 以为底边，为高，， 根据三角形面积公式有， ； ②当时，点在上运动， ，， ， ， ， ， ； ③当时，点在上运动， ， ， ； 综上，与的函数关系式为 24．【详解】（1）证明：①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点C作，交的延长线于点H， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：取的中点Q，连接，， ∵，M为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q，N，P三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 25．【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图③，过点T作，则， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：设， . ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，； ①如图④-1，当点Q在线段EF上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴， ∴． ②如图④-2，当点Q在的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，，， ， ∴，， ∴； ③如图④-3，当点Q在EF的延长线上时，过点R作，过点Q作. ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述，和之间存在的数量关系为 或． 学科网（北京）股份有限公司 $