云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2026年春季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1案合=y-分}，N=2-2-3≤0，则MnN A.（3,+0) B.[3,+0) C.[0,3] D.(0,3] 2.复数z满足3z+z=-2+3i,则在复平面内，复数z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图1，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE=入AB+μAD,则-入的值为 C.-2 图1 D.2 高二数学MG·第1页（共6页） 4.函数代x)=sin2x+/3c2x在区间0，引内的取值不可能为 A.2 B.1 C.5 D.1.8 5.不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响.一到周末，李明同学就会在电子游戏、 看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去.若三个项目对下一次考试成 271 绩造成下降的概率分别为了22，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为 A.3 B、7 6.已知函数f(x)=x2+2ax-1与g(x)=e+b的图象在x=0处的切线重合，则a-b= A.e-1 B.e+1 5 3 C.2 D.- 2 7.已知双曲线C:2x2-y2=1,其一条渐近线被圆(x-2)2+y2=8截得的弦长为 8√3 2√6 A. 3 B. 3 C.√3 D.22 8.已知数列a,满足a,=6,a1-2=a.+2n,则+1++L 9 A. B. 10 10 11 19 20 C. D. 20 21 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列各叙述正确的为 A.数据1,3,5,7,9的第40百分位数为4 B.甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 8 C若随机变量X-3,3),则E(2X+1)=3,D(2X+1)=含 D.已知函数f八x)和g(x)的定义域相同，则“函数f(x)与g(x)均为增函数”是“函 数f(x)+g(x)为增函数”的充要条件 高二数学MG·第2页（共6页） 10.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线交C于点A(x1,y1),B(x2,y2),则 A.F的坐标为(2,0)》 B.x1x2+y1y2=-3 C.|AB|的最小值为3 D.TAFBRS I1.若数列{an}满足：存在正整数k,使得n>k时，恒有an+an-k=c(c为常数)，则称数列 an}为“k阶等和数列”，其中c为该数列的“阶和”.已知无穷数列{bn}是“3阶等 和数列”，b1=1,b2=2,b3=3,且“阶和”c=4,记数列{bn}的前n项和为Sn,则 下列说法正确的是 A.6nt6=6 B.任给正整数m,都有bm≠0 C.存在无穷多个正整数p,使得S2=2S。 D.当Bn=|bn-2|,且{Bn}的前m项和为2026时，m=2026 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.在x+2 的展开式中，x2的系数是 ·（用数字作答) 1,2 13.已知随机变量专~N(1,σ2)，且P(≤0)=P(≥a),若x+y=a(x>0,y>0),则二+ x Y 的最小值为 14.在三棱锥P-ABC中，△PAB为正三角形，AB=2√5，∠ACB=90°，平面PAB⊥平面 ABC,则三棱锥P-ABC外接球的体积为 高二数学MG·第3页（共6页） 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2-a2-b2=ab,且bsinC =4/3 sinB. (1)求角C及边c的值； (2)求a+b的最大值 16.(本小题满分15分) 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外 2所为特色专业高校.一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每 所高校被选中的概率相同！ (1)求该考生恰好选到2所985高校的概率； (2)若该考生选到985高校的数量为X,求随机变量X的分布列和数学期望 高二数学MG·第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 如图2，已知PA1平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AD=2AB=1,M,N分别为 AB,PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD; (2)求平面PMC与平面PAD的夹角的余弦值. B 图2 18.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-x-1,g(x)=alnx-x. (1)求f(x)的极值； (2)若h(x)=f(x)-g(x)在[1,5]上单调递增，求实数a的取值范围； (3)当a<0时，若对任意的∈日，，总存在∈日，使得，)≤，)， 求实数a的取值范围. 高二数学MG·第5页（共6页） 19.（本小题满分17分)》 已知销圆c:长=1a>60)的商心率为行，且，-引在C上，0为坐标原点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C右焦点F的直线1与椭圆交于A,B两点 (i)若点M的坐标为(4,0)，证明：∠OMA=∠OMB; ()若花-A馆，当A2,时，求弦长A的取值范闹 高二数学MG·第6页（共6页）马关县第一中学2026年春季学期高二年级第二次月考试卷 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 2 3 X 5 6 7 8 答案 D B A B B C D 【解析】 1.由题意得：M=(0,+∞)，N=[-1,3],所以M∩N=(0,3],故选D. 2.设z=a+bi(a,b∈R),由3z+元=-2+3i,得3(a+bi)+(a-bi)=-2+3i,即4a+2bi= -2+,得a=弓子所以：在复平面内对这的点为方引 13 位于第二象限，故选B. 3.因为E为DC的中点，所以AE=AD+DE=AD+AB,又因为AE=1AB+uAD,所以 =分u=1,即以-月=)救选A 4.可得=2n2x*引当re0时2x[ 所以(x)∈[V3,2],故选B. 5.设事件A=“李明选择的项目为电子游戏”，事件A,=“李明选择的项目为看小说”，事件 A,=“李明选择的项目为追网剧”，事件B=“李明在下一次考试中成绩下降”，则P(B)= RA)RAFA)+AnA)专号号子+片故选B f'(0)=g'(0) 6.由fx)=x2+2ar1与g(x)=e+b,可得f(x)=2x+2a,g'(x)=e.由题意知 (f0)=80,即 1 0+2ax0-1=e+6解得a-方 2×0+2a=e .所以a-b=方(-2)=放选C. b=-2 7.双曲线C:2x2-y2=1的渐近线方程为2x±√2y=0,圆(x-2)+y2=8,圆心(2,0)， 半径2√2，因为双曲线与圆都关于x轴对称，故取其中一条渐近线2x+√2y=0,圆心 高二数学MG参考答案·第1页（共8页） 4 石故所求的弦长为2 4 (2,0)到2x+√2y=0的距离d= 4) 8V5 2+(2 3 故选A. 8.由an+1-2=an+2n,得an-am-1=2n(n≥2)，所以当n≥2时，am=a1+(a2-a1)+(ag-a2)t..+(an-am-） =2+4++21=2+20.n=na+1）,令ml,得ag2=a+2,a=a242,当=1时上式 2 也符合，所以a=+I,则上-1-1， a。nn+,所 +L++1=1-+ aa, a20 223++ 1-1=1-1=20,故选D. 20212121 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABC BD ABC 【解析】 9.对于选项A,5×40%=2知，该组数据的第40百分位数为3+5-4故A正确：对于选项B, 2 共有A·A-=72种站法，故B正确：对于选项C,因为BX)=hD(X)=,所以E2X+D -2E0X)+1-3D2X+1)=2DX)-号放C正确：对于选项D,充分性显然成立，但当取 f(x)=2x,g(x)=-时，f(x)+g(x)为增函数，故必要性不成立，D错误，故选ABC. 10.对于A,抛物线C:y2=4x,F的坐标为(1,0)，故A错误；对于B,过焦点F的直线交 C于点A(1,y1),B(x2,y2),设直线AB:=y+1,联立Cy2=4x,得y2-4my-4=0,方 程y2-4my-4=0的判别式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4, +5=m,+1+m+1=4m2+2,5=至，上--=1，故tn 441616 1-4=-3,故B正确；对于C,因为AB=x+x,+p=x+x2+2=4m2+4,所以当m=0 时，弦AB的长度最小，最短弦AB的长度为4，故C错误；对于D,由AF=x+1,BF=2+1, 高二数学MG参考答案·第2页（共8页） 1,14+BF+1+5+1=++2=+5+2=1,故D正 得A丽十丽AP1B店+++起++方+5+1+ 确，故选BD 11.对于A,由题意知bn+3+bm=4,bm+6+bn+3=4,两式相减，得bn+6=bn,故A正确；对于 B,数列{bn)的前6项依次为1,2,3,3,2,1，均不为0，又b+6=bm,故B正确： 对于C,由B选项分析可得S12m=2S6m,即p=6n均有S2p=2Sp,故C正确；对于D, ,B+3=b43-2=(4-bn)一2=bm一2=Bm,且{Bn}的前3项依次为1,0,1，记{Bn}的前n项和 为Tm,则由周期性可得T3n=21,T3m+1=T3m+2=2n+1,当{Bn}的前m项和为2026=2x1013时， m=3×1013=3039,故D错误，故选ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 32 10 含6 【解析】 2)3 12.因为x+ 的展开式的通项为T+1=C5x,2·x2=2.C5x”,r=0,1…,5,令 5-3r=2,得r=1,所以x2的系数是2×C5=10. 13.专-Na),可得正态分布曲线的对称轴为x=1.又P(50)=P(≥a),号=1，即 a-2,则-+n引34++2-+， 当且仅当 y=5x,即x=22-2y=4-22时，等号成立.故答案为：3+5 14.如图1，取AB的中点E,连接EC,EP,因为△PAB为正三角形，所 以PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,所以PE⊥平面ABC,则 01 PE⊥AE,PE⊥EC.设O为正三角形PAB的中心，则 A∈--- -B OA=OB=OP=2PE.因为∠ACB=90°，所以EC=EA·又 图1 OE⊥AE,OE⊥EC,所以Rt△OAE≌Rt△OCE,所以OA=OC,则OA=OB=OC=OP, 高二数学MG参考答案·第3页（共8页） 即O为三棱锥P-ABC外接球的球心，因为AB=2√5，所以PE=3,所以三棱锥P-ABC 外接球的半径R=OP=PE=2×3=2,所以三棱锥P-ABC外接球的体积为 3 青2- 3 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为c2-a2-b2=ab, 所以由余弦定理得cosC=Q+b-c2 -ab_1 ………(2分) 2ab 2ab 2 因为C∈(0，π，解得C=2 ………………………………（4分） 由bsin C=4W3sinB,结合正弦定理得b 43 …(6分)》 sin B sinC sinC 所以c=45. (7分) (2)由（1)知a2+b2-c2=a2+b2-48=-ab, (9分) 两边都加上2ab,可得(a+b)}-48=ab≤ 即a+b≤8，当且仅当a=b时等号成立， ……(11分） 所以a=b=4时，a+b取得最大值为8. …（13分） 16.(本小题满分15分) 解：(1)从10所高校中，任取4所，共有C=210种取法， 恰有2所985高校的取法为：CC=63, 该考生恰好选到2所985高校的概率为P=63-3 …(6分) 21010 (2)设X为该考生选到985高校的个数，则X的取值为0,1,2,3. P(X=0)= C3351 C。21061 POX=D)-CC=105-1 C021021 P(X=2)= CC-63-3 Ci。21010' 高二数学MG参考答案·第4页（共8页） P(X=3)= CC71 C。=21030, …(12分) 则 X 0 1 2 3 1 P 3 1 6 2 10 30 1 3 EX)=0x2+1x+2 1 +3× 6 305 (15分) 62 10 17.（本小题满分15分) (1)证明：如图2所示：，取PD的中点E,连接NE,AE, 又M、N为AB、PC的中点，底面ABCD为矩形， ∴NE//CD且NE=cD. 2 …(2分） 又AM=AB=CD且AMCD, 图2 .NE∥AM且NE=AM,∴.AMWE为平行四边形， .MN∥AE. …(4分) 又MWt平面PAD,AEc平面PAD, .MN∥平面PAD. …(6分) (2)解：由题意，可构建如3图示的空间直角坐标系， 根据题意可得： P(0,0,1),D(0,1,0),M1,0,0),C2,1,0), …(8分) M R .PD=(0l,-1）,PM=(1,0,-1）,PC=(2,1,-1）. 图3 ………………………………（10分) 设m=(x,y,z)是平面PMC的一个法向量， m.PM=x-3=0 则 mPC=2x+y-2=0'取m=(亿，-). …（12分) 高二数学MG参考答案·第5页（共8页） 又n=(1,0,0)是平面PAD的一个法向量， …（13分) m.n15 ∴.cosm,n)= 阿丽万3， 故平面PMC与平面PAD的夹角的余弦值 …(15分) 3 18.(本小题满分17分) 解：(1)fx)=e-x-1,求导得fx)=e-1,f0)=0, …(2分） 因为x>0时，fx)>0,所以fx)在(0，+o)上单调递增 (3分) 因为x<0时，f(x)<0,所以fx)在(-o,O)上单调递减， ……… (4分) 又0)=0，故x)在x=0处取极小值0，无极大值， …(5分) (2)函数h(x)=f)g(x)=e-xl-alnx+x=e-anxl, 求导得(x)=e-a-e-0 (6分) xx 由h(x)在[1,5]单调递增，得(x)≥0在[1,5]上恒成立， 即e≥a在1,5]上恒成立， 因此a≤(xe)min,x∈[l,5]. (8分) 设Hx)=xe',x∈[l,5],H(x)=e+xe'=(x+1)e>0, 则H(x)在1,5]上单调递增，于是H(x)mim=H(I)=e, 即a≤e, …(10分) 所以a的取值范围为(-o,e. …(11分) (3)若对任意的x∈ 总存在，∈ 使得x)≤g(2), 则当e时. fx)max≤g(x)max …(12分) 当xe[l]时，o-e-10, 高二数学MG参考答案·第6页（共8页） 即x)在 上单调递增，fx)max=1)=e-2, …(14分) 函数gx)=alnr-x,a<0, 求导得g'(x)=9-1=a-x 由a<0,得g0<0.函数804上单调递减， …(16分) 因此e-2≤-a- ,解得a≤2-e-1 e 所以a的取值范围为 m,2-e e ……（17分) 19.(本小题满分17分) 1 (1)解：根据已知条件可得 19 +4山 (2分) a2=b2+c2 [a=2 解得 b=5' (4分) 所以椭圆C为￡+上」 =1 4+3 ……………… (5分) (2)(i)证明：如图4，当直线1与x轴重合时，显然成立： ………………(6分) 当直线1与x轴不重合时，设直线1为x=y+1,B(x2,2),A(x1,y), x=y+1, 联立{￡+ ,那么可得(32+4)y246y9=0, 43 …(7分) 图4 高二数学MG参考答案·第7页（共8页） -6t -9 根据韦达定理可得y+》3+4y3+4 那么根的判别式△=144(+1). 44名到 ……………………（9分） 由于2yy2-3(y+2) 2r×(-9)_3x(-60=0, 3t2+43t2+4 因此KMA+KMB=O, 因此MA,MB的倾斜角互补，因此∠OMA=∠OMB. …(11分) (ii)解：(1)由AF=FB,那么-y1=y2. 可降.2-片 yy -y3 由于[52，因此-(+文2小[0 …(13分) 又由于y+)2 -412 yiy2 3t2+4 因此g引re0引 (14分) A8=1+Fy-l=V1+FVy+y2)-42 12(?+1) 3r2+4 …… (16分) 令那么[ …(17分) 高二数学MG参考答案·第8页（共8页）