第一章有理数同步讲义 -2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数核心知识，从正数负数概念切入，通过相反意义的量建立实际联系，进而学习有理数分类，借助数轴理解相反数与绝对值，最终掌握大小比较，构建从概念到工具再到应用的完整学习支架。 资料特色在于分层例题与生活情境结合，如机器人空翻、微信账单等实例培养抽象能力，数轴应用强化几何直观，不同难度题目提升运算能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，有效落实核心素养。

第一章 有理数 学习目标 1.理解负数的意义；会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，初步体会数形结合的思想方法，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 1.1 正数和负数 知识精讲 知识点1 正数和负数的相关概念 1.正数的定义：大于0的数叫做正数 注意：正数前的“+”可以省略不写，当为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 2.负数的定义：在正数前加上符号“−”的数叫作负数 注意：负数前的“”不能省略 3.0既不是正数，也不是负数 0的意义：（1）0是正负数的分界；（2）0可以表示“没有”；（3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示 例题训练 1．在﹣50%，0，﹣2，，﹣9，+100，﹣0.5中，负数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（　　） A．2 B．16.1 C．0 D．﹣0.8 知识点2 具有相反意义的量 1.定义：一对具有相反意义的数量 注意：两个量、意义相反、属于同一属性，可带不同单位 2.表示：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以用正数和负数来表示，把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示 【联系实际】用正负数表示合理偏差 例题训练 1．马年春晚，机器人表演的节目《武BOT》刷屏海内外．若人形机器人向前进行15次空翻记作+15，则人形机器人向后进行10次空翻记作（　　） A．+5 B．﹣5 C．+10 D．﹣10 2．在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．收入13元与支出35元 B．12个大学生和7个小学生 C．走了120米和跑了120米 D．向西行75米和向北行75米 同步检测 1．【A】下列各数中，是负数的是（　　） A．5 B． C．0 D．﹣5 2．【A】在﹣2、3、、0、﹣1.7五个数中，负数的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．【A】下列各数中，是负数的是（　　） A．1 B． C．0 D．﹣2 4．【A】马年春晚，机器人表演的节目《武BOT》刷屏海内外．若人形机器人向前进行15次空翻记作+15，则人形机器人向后进行10次空翻记作（　　） A．+5 B．﹣5 C．+10 D．﹣10 5．【A】在﹣1、2.5、0、﹣3.14、、120、﹣1.732中，正数有（　　）个 A．3 B．0 C．2 D．4 6．【A】在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．收入13元与支出35元 B．12个大学生和7个小学生 C．走了120米和跑了120米 D．向西行75米和向北行75米 7．【A】在﹣7，2.5，中，负数有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．【A】如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（　　） A．2 B．16.1 C．0 D．﹣0.8 9．【A】在﹣50%，0，﹣2，，﹣9，+100，﹣0.5中，负数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．【B】手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　） 转账——来自天青色+18.00 微信红包——发给高原红﹣12.00 A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 11．【B】一袋大米的包装上标有“净重（5±0.1kg）”的字样，表示它最轻是（　　）kg． A．4.9 B．5 C．5.1 D．6 12．【B】如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（40±0.05）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（　　） A．39.96mm B．39.92mm C．40.00mm D．40.02mm 13．【B】地理学中将地形图上海拔相等的相邻各点所连成的闭合曲线叫作等高线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若某山峰高于海平面1000m，在等高线上标注为+1000m，则某盆地低于海平面400m，在等高线上标注为（　　） A．﹣400m B．+400m C．﹣600m D．+600m 14．【B】在古代的“算筹”计数系统里，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若将用红色算筹排列表示的数字60记为“+60”，那么用黑色算筹排列表示的数字40应记为（　　） A．+40 B．﹣40 C．+20 D．﹣20 15．【C】某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，﹣8，+7，﹣15，+6，﹣16，+4，﹣2 （1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？ （2）若摩托车每行驶1千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？ 16.【C】“十一”期间，某风景区在7天假期中，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天增加的人数，负数表示比前一天减少的人数）所示（单位：万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.3 ﹣1.3 若9月30日的游客人数为10万人． （1）这7天内 　 　 号游客的人数最多，　 　 号游客的人数最少． （2）这7天内该风景区平均每天有游客多少万人？ 1.2 有理数及其大小比较 知识精讲 知识点1 有理数 1.有理数定义：可以写成分数形式的数称为有理数（rational number） 【Tips】ratio 名词 比率、比例 2.有理数的分类： 按有理数的整分分类 按有理数的性质符号分类 0 整数 正整数 有理数 有理数 正分数 负整数 分数 负分数 正整数 负分数 负整数 正分数 正有理数 负有理数 0 注意：分类原则不重合、不遗漏、标准统一 例题训练 1．在0、﹣1.5、﹣2、这四个数中，属于负分数的是（　　） A．0 B． C．﹣1.5 D．﹣2 2．下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．0既是正整数，又是负整数 知识点2 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 2.数轴的三要素：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，⋯；从原点向左，用类似的方法依次表示−1，−2，−3，⋯ 3.数轴上的点与有理数之间的关系：（1）有理数可以用数轴上的点来表示（2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数−a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度 例题训练 1．如图，数轴上点M表示的数可能是（　　） A．﹣π B．﹣3.3 C．﹣3.6 D．﹣4.4 2．如图，点A到原点的距离是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 知识点3 相反数 1.相反数的定义（代数意义）：只有符号不同的两个数，互为相反数 2.相反数的表示方法：一般地，a和−a互为相反数．特别地，0的相反数是0 注意：这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 3.相反数的性质：任何一个数都只有一个相反数。正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0 4.相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数 5.求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“−”号，新的数就表示原数的相反数 6.多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“−”号，结果为负，有偶数个“−”号，结果为正 注意：依据为相反数的定义 例题训练 1．﹣3的相反数是（　　） A．﹣3 B． C． D．3 2．﹣[+（﹣2）]＝　 　 ． 3．若﹣（﹣2）表示一个数的相反数，则这个数是　 　 ． 知识点4 绝对值 1. 绝对值定义（几何意义）：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a| 2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 3. 绝对值的非负性：任何数的绝对值总是正数或0 【典型例题】多个非负数的和为0，则每一个非负数必为0 例题训练 1．如果|x|＝2，那么x等于（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．2或 2．若|m+3|与|n﹣7|互为相反数，求m+n的值为　 　 ． 知识点5 有理数的比较大小 1.利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数 2.利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 3.作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 例题训练 1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“＜”连接． ﹣3，|﹣4|，2.5，． 同步检测 1．【A】把下列各数填在相应的集合中：15，，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，． 正数集合{ 　 　 }；负数集合{ 　 }； 整数集合{ 　 　 }；有理数集合{ 　 　 }． 2．【A】在﹣16，0.04，，﹣0.5，﹣6.90，0，中，正有理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．【A】点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动3个单位长度可到点B，则比点B所表示的数小1的数为（　　） A．0 B．1或﹣5 C．0或﹣4 D．0或﹣6 4．【A】在数轴上，点A对应的数为﹣5，点B对应的数为3，若点M是AB的中点，则点M所对应的数为 　 　 ． 5．【A】|﹣2026|的相反数是（　　） A．2026 B． C．﹣2026 D． 6．【A】下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最大的是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣6 7．【A】有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a、﹣a、﹣1的大小关系是（　　） A.﹣a＜﹣1＜a B．﹣a＜a＜﹣1 C．a＜﹣1＜﹣a D．﹣1＜a＜﹣a 8．【A】如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A，B，C． （1）若点A表示的数是﹣2，直接写出点B，C表示的数． （2）若点A，C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数． （3）若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数． 9．【A】检测某款零件的质量，将超出标准长度的毫米数记为正数，现抽查4个零件的长度记录如表所示，则其中最接近标准长度的零件编号是（　　） 零件编号 1号 2号 3号 4号 长度（mm） ﹣0.16 +0.19 +0.28 ﹣0.5 A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 10．【A】已知a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+|a﹣2|＝　 　 ． 11．【A】比较大小： 　 　 （填“＜”或“＞”）． 12．【A】如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是3.5，点D表示的数是2． （1）点A表示的数为　 　 ，点B表示的数为　 　 ； （2）在数轴上表示出点C，点D； （3）将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 13．【A】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＜”连接：0，a、b、c． （2）化简：|c﹣a|+2|b﹣c|﹣|a+b| 14．【A】如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是m． （1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是　 　 ；若以B为原点，则m＝　 　 ； （2）若点B到原点的距离为4，求m的值． 15．【B】下列说法中，不正确的是（　　） A．﹣3.14既是负数，也是分数，还是有理数 B．0是正数和负数的分界 C．0既不是正数，也不是负数，但是整数 D．﹣（﹣2025）既是负数，也是整数，还是有理数 16．【B】在3.14，，0，，65%，﹣2.4040040004…（每两个4之间依次多1个0），﹣2025中，有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．【B】若a为有理数，则|a+2|+5的最小值为 　 　 ． 18．【B】下列说法正确的是（　　） A．﹣a一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数、负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 19．【B】数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） A．﹣7 B．7 C．7或﹣1 D．﹣7或1 20．【B】如图，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数依次为﹣7，b，2，且BC＝2AB． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）若D是数轴上的点，且满足AD＝2AB，求点D所对应的数． 21．【B】若点A、B是数轴上的两个点，点A表示的数是﹣3，点B与点A的距离是2，点B表示的数是　 　 ． 22．【B】如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0，2，4，数轴上另有一点C，到A点的距离为1，到点B的距离小于3，则点C位于（　　） A．点O的左边 B．点O与点A之间 C．点A与点B之间 D．点B的右边 23．【B】如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 24．【B】已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4． （1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点； （2）B、D两点之间的距离是　 　 ； （3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D分别表示的数是　 　 ． 25．【B】下列说法正确的是（　　） A．符号不同的两个数互为相反数 B．0没有相反数 C．数轴上原点两侧的两点表示的数互为相反数 D．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 26.【B】足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练设计了折返跑训练．教练在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：+20，﹣10，+30，﹣15，+10，﹣15，+15，﹣8，+16，﹣8． （1）球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）球员在一组练习过程中，跑了多少米？ 27．【B】已知a＞0，b＜0，|b|＞|a|，把a，﹣a，b，﹣b按从大到小的顺序排列 　 　 ． 28．【B】已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣a|的结果为（　　） A．﹣3a﹣c B．﹣a﹣c C．a﹣2b﹣c D．a+2b﹣c 29．【B】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下面关系中，错误的个数为（　　） ①a﹣b＞0；②a+b＞0；③﹣|b|＞﹣|a|；④b﹣a＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．【C】已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示． （1）用“＜”号把a，b，c连接起来； （2）化简：|c|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+2|a﹣b| 31．【C】阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复． 如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，10﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，10}就是一个黄金集合． 回答问题： （1）集合{1} 　 　 黄金集合，集合{﹣1，10} 　 　 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） （2）请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； （3）写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 32．【C】已知|a|＝4，|b|＝2，且a＞b，a+b的值为　 　 ． 33．【C】已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点． ①请在数轴上表示出数﹣a，﹣b对应的点的位置； ②请按从小到大的顺序排列a，﹣a，﹣b，b，﹣1，0的大小． 34．【C】已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ （3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 35．【C】已知a，b，c，d四个有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）在a，b，c，d四个数中，正数是　 　 ，负数是　 　 ； （2）a，b，c，d从大到小的顺序是　 　 ； （3）按从小到大的顺序用“＜”将﹣a，﹣b，﹣c，﹣d四个数连接起来． 36．【C】点A，B在数轴上的位置如图所示． （1）点B表示的有理数是　 　 ，表示有理数“﹣2.5”的点是　 　 ，A，B两点之间的距离为　 　 个单位长度； （2）写出大于﹣1.5小于2的所有整数． 37．【C】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 学科网（北京）股份有限公司 $