1.2.1 有理数的概念 教案 2025-2026学年人教版 数学七年级上册

1.2.1 有理数的概念 教学目标与教学重难点 内容要求 一、四维核心素养 数学抽象：通过对整数、分数的分类与归纳，抽象出有理数的本质特征，形成有理数的概念，提升从具体实例到数学模型的抽象能力。逻辑推理：通过对有理数的分类讨论，经历 “观察 — 分类 — 归纳 — 概括” 的推理过程，培养有条理的思考与表达能力，发展合情推理与演绎推理素养。数学运算：在有理数的识别、分类及简单表示中，巩固数的运算基础，为后续有理数的加减乘除运算奠定概念前提，提升运算的准确性与规范性。数学建模：结合生活中的温度、海拔、收支等实例，将实际问题转化为有理数的数学问题，体会数学与生活的联系，建立用数学解决实际问题的模型意识。 二、重难点 重点：理解有理数的概念，掌握有理数的两种分类方法（按定义分类、按性质符号分类），能准确识别并对给定的数进行有理数分类。难点：理解 0 的特殊性（0 既不是正数也不是负数，是整数也是有理数），区分正有理数、负有理数与非正有理数、非负有理数的概念，避免在分类时出现重复或遗漏；同时理解分数与有限小数、无限循环小数的关系，明确无限不循环小数不属于有理数，突破概念的内涵与外延边界。 教学过程 （一）情境导入，激发兴趣 上课伊始，教师通过多媒体展示三组生活实例，引导学生观察并思考数的类型变化： 温度实例：某天北京的气温是零上 5℃，哈尔滨的气温是零下 10℃，如何用数表示这两个温度？ 海拔实例：珠穆朗玛峰的海拔高度为 8848.86 米，吐鲁番盆地的海拔高度为 - 155 米，这里的 “-155” 表示什么意义？ 收支实例：小明妈妈本月工资收入 5000 元，记作 + 5000 元，支出水电费 200 元，记作 - 200 元，收入和支出的数有什么不同？ 学生自由发言后，教师总结：我们在小学学过的整数、分数，以及刚接触的负数，共同构成了一类新的数 —— 有理数，从而引出本节课课题《有理数的概念》。 （二）回顾旧知，铺垫新知 回顾小学数的分类：教师提问：“小学阶段我们学过哪些数？请举例说明。”学生回答：整数（如 0、1、2、3…）小数（如 0.5、1.25、3.14…）。教师补充：小学的小数中，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，例如 0.333…，而无限不循环小数（如 π）不能化为分数，不属于我们本节课研究的范围。 引入负数，完善数系：教师引导：“在生活中，我们遇到了具有相反意义的量，比如零上与零下、收入与支出、上升与下降，为了表示这些量，我们引入了负数，如 - 5、-10、-155、-200 等。那么，负数属于哪一类数呢？” （三）探究新知，形成概念 1. 有理数的定义 教师结合学生的回答，给出有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 强调：“统称为” 表示有理数包含整数和分数两类，缺一不可。 举例辨析：判断下列数是否为有理数，并说明理由： 5（是，整数）； -3（是，整数）； 0.5（是，分数）； π（不是，无限不循环小数，不能化为分数）； 0.101001000…（不是，无限不循环小数）。 2. 有理数的分类（按定义分类） 教师引导学生根据定义，对有理数进行分类 重点强调 0 的特殊性：0 是整数，也是有理数，但 0 既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。 小组讨论：“为什么有限小数和无限循环小数属于分数？” 学生代表发言后，教师总结：因为有限小数和无限循环小数都可以表示为两个整数的比（分母不为 0），符合分数的定义，因此属于分数，进而属于有理数。 3. 有理数的分类（按性质符号分类） 教师提问：“除了按定义分类，我们还可以根据数的性质符号（正、负、0）对有理数进行分类，大家尝试一下。”学生自主探究后，教师板书分类框架： 概念辨析：区分 “非负有理数” 和 “正有理数”、“非正有理数” 和 “负有理数”： 非负有理数：正有理数和 0（即 0、正整数、正分数）； 非正有理数：负有理数和 0（即 0、负整数、负分数）。 易错点提醒：分类时要做到 “不重复、不遗漏”，例如不能把 0 归到正有理数或负有理数中，也不能遗漏 0 的分类。 （四）例题解析，巩固应用 例 1： -5，3.14，0， +12，-0.6，π，2025，-100， 解析过程： 先判断每个数的类型：正整数是大于 0 的整数，负整数是小于 0 的整数，0 是单独的整数；正分数是大于 0 的分数（含有限小数、无限循环小数），负分数是小于 0 的分数；π 是无限不循环小数，不属于有理数，因此排除。 注意 0 的归属（整数、有理数，非正非负），避免遗漏或重复。 例 2：下列说法正确的是（ ） A. 整数就是正整数和负整数B. 分数包括正分数、负分数和 0C. 有理数不是正数就是负数D. 非负有理数是正有理数和 0 解析： A 选项错误，整数包括正整数、0 和负整数，遗漏了 0； B 选项错误，0 是整数，不是分数，分数只有正分数和负分数； C 选项错误，有理数包括正有理数、0 和负有理数，遗漏了 0； D 选项正确，非负有理数即不是负数的有理数，包括正有理数和 0。 总结：解决有理数分类的选择题，关键是牢记有理数的两种分类方法，明确 0 的特殊性，逐一分析选项，排除错误答案。 （五）课堂小结，梳理知识 学生自主小结：“本节课我们学习了哪些知识？你有哪些收获？”学生发言后，教师补充完善： 有理数的定义：整数和分数统称为有理数； 有理数的两种分类方法：按定义分类（整数、分数），按性质符号分类（正有理数、0、负有理数）； 0 的特殊性：0 是整数、有理数，非正非负，是正数与负数的分界； 分数的范围：有限小数和无限循环小数属于分数，无限不循环小数不属于有理数。 思想方法总结：本节课运用了 “分类讨论” 的数学思想，在对有理数进行分类时，要明确分类标准，做到不重复、不遗漏；同时运用 “抽象概括” 的思想，从具体实例中抽象出有理数的概念。 第 2 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $