北京市2027届高三物理一轮复习小专题拓展训练十八 万有引力定律的应用

**基本信息** 以2024-2026年中国航天事件为情境载体，系统覆盖万有引力定律应用的核心题型，注重物理观念与科学思维的融合训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|14题|结合最新航天任务，考查卫星参数计算、变轨分析、双星系统等|从万有引力提供向心力公式出发，构建"轨道半径-周期-速度"定量关系，延伸至椭圆轨道、拉格朗日点等模型| |解答题|4题|含行星撕裂条件推导、地球内部简谐运动证明等综合题|通过"地面重力-轨道运动-能量分析"逻辑链条，实现从公式应用到模型建构的能力进阶|

· 2027届北京市高三物理一轮复习小专题拓展训练 万有引力定律的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．2026年3月30日，中科宇航力箭二号遥一运载火箭在东风商业航天创新试验区成功发射，将新征程01卫星、新征程02卫星和天视卫星01星送入预定轨道，发射任务取得成功。若某卫星在半径为r的圆轨道上以周期T绕地球运行，已知引力常量为G，地球半径为R，则（     ） A．该卫星的发射速度大于11.2km/s B．该卫星做圆周运动的速度可能大于7.9km/s C．地球的质量为 D．地球的密度为 2．2025年11月1日3时22分，神舟二十一号飞船成功对接空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约3.5小时，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录。为了此次对接，空间站于2025年10月17日实施了变轨操作，使空间站近地点高度提升约4.7公里，远地点高度增加约9.2公里。下列说法正确的是（　　） A．空间站的运行速度比第一宇宙速度大 B．变轨后，空间站的运行周期变大 C．空间站在远地点的速度大于它在近地点的速度 D．从远地点向近地点运行时，地球引力对空间站做负功 3．2026年3月26日，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁火箭，成功将四维高景二号05、06星送入预定轨道，卫星在距地面高度为h的圆轨道上稳定运行，为国土测绘、应急减灾提供服务。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转影响。关于该卫星在轨运行，下列说法正确的是（     ） A．卫星的线速度大于第一宇宙速度 B．卫星的向心加速度等于地球表面的重力加速度 C．卫星运行的周期 D．若某一时刻卫星速度突然增大，则卫星将做近心运动 4．我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测器，实现火星取样返回。“天问三号”探测器进入环火椭圆轨道运行时，运行周期为，近火点、远火点到火星球心距离分别为和。已知引力常量为，火星视为匀质球体，不考虑其他星体的影响，则可求得火星的（　　） A．质量 B．密度 C．第一宇宙速度 D．表面的重力加速度 5．随着中国航天科技的飞跃发展，天问一号之后，中国将向火星发射更多的探测器。某质量为的火星探测器开始绕火星做匀速圆周运动，距离火星表面的距离为，火星的半径为。当探测器登陆火星后检测到一个小球在火星表面附近做自由落体运动，从高为的地方静止释放，经过时间落地，已知万有引力常量，则下列说法正确的是（     ） A．火星的第一宇宙速度为 B．火星质量为 C．探测器圆周运动的向心加速度为 D．探测器在圆轨道上受到的重力为 6．为了给探月四期工程提供公共中继星平台，2024年3月20日长征八号遥三运载火箭将鹊桥二号中继星送入半长轴为、周期为的地月转移轨道，再通过近月制动，使其速度低于月球逃逸速度，进入月球捕获轨道，最终进入半长轴为、周期为的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，地球的第一宇宙速度为，任何星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍。下列说法正确的是（　　） A． B．近月制动后鹊桥二号的速度大于 C．为了确保鹊桥二号与月球南极附近区域之间有较长时间的稳定通信，冻结轨道的远月点位于月球南极区域上方 D．鹊桥二号分别在捕获轨道与冻结轨道运行时，在相同时间内与月球的连线扫过的面积相等 7．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a—x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的2倍，则（　　） A．星球M与N重力加速度之比为 B．星球M与N的第一宇宙速度之比 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大弹性势能是P的6倍 8．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 9．如题图所示，有L、M、N三颗地球卫星，L还未发射，在赤道上随地球转动；M是近地卫星，轨道半径可认为等于地球半径；N是地球同步卫星。将它们的运动均视为匀速圆周运动，地球表面重力加速度为，忽略地球自转对重力加速度的影响，下列说法正确的是（　　） A．M的向心加速度等于 B．L的向心加速度大于 C．相同时间内，N转过的弧长最短 D．M在12h内转过的角度小于 10．2024年5月10日以来，受太阳大级别耀斑连续爆发的影响，我国空间站和国际空间站的轨道都出现了明显的降低，其中在5月11日，我国空间站的轨道在短短一天内就下降了约。这一现象虽然罕见，但对空间站的正常运行影响并不是很大，费点燃料提升一下高度就可以了。空间站高度不变时，其运动可看作匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．空间站下降后受到地球的万有引力变小 B．空间站下降后动能减小 C．提升空间站的高度时发动机喷气方向与速度方向相同 D．空间站的高度提升后动能减小 11．2026年4月2日，决心“重返月球”的美国发射了“猎户座”绕月载人飞船，飞船被月球捕获后绕月球沿椭圆轨道运动，周期为T，A、C，B、D分别位于椭圆轨道的长轴和短轴上，A和C到月球中心的距离分别为和，已知月球半径为R，近月卫星的运动周期为，则下列说法正确的是（　　） A．“猎户座”飞船从A经过B飞到C的时间小于 B．如果，则 C．“猎户座”飞船在A点和C点的加速度大小之比为 D．“猎户座”飞船在A点和C点的线速度大小之比为 12．2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，这是中国载人航天工程第一次应急发射任务。已知空间站的轨道高度为（小于地球同步卫星的轨道高度），空间站环绕地球做匀速圆周运动的周期为，地球半径为，万有引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．空间站运行的线速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．空间站运行的周期大于地球的自转周期 C．地球的质量为 D．空间站做圆周运动的加速度大小为 13．我国研究人员在双星系统G3425中发现一颗小质量恒星级黑洞，该黑洞的可见伴星为一颗红巨星，它们绕连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。设黑洞的质量为，红巨星的质量为，则可知（     ） A．黑洞与红巨星做圆周运动的角速度之比为 B．黑洞与红巨星做圆周运动的轨道半径之比为 C．黑洞与红巨星做圆周运动的动能之比为 D．在相等时间内，黑洞、红巨星与O点的连线扫过的面积之比为 14．拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使航天器稳定的点，由法国数学家拉格朗日1772年推导证明其存在，每个两天体系统存在5个拉格朗日点。如图所示，拉格朗日点上的航天器在两天体引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。其中、、位于两天体连线上，地心、月心、（）构成的三角形为等边三角形，地球质量为月球质量的81倍，地月间距为，地球、月球、航天器均可视为质点，不考虑航天器及其他星体对双星系统的影响，关于地月系统的拉格朗日点，下列说法正确的是（     ） A．处于点的航天器的加速度大于处在点航天器的加速度 B．处于点的航天器，其线速度小于月球做圆周运动的线速度 C．处于点的航天器，做圆周运动的圆心恰好处在地心 D．处于拉格朗日点上的航天器做圆周运动的周期为 二、解答题 15．某行星绕恒星做匀速圆周运动，该恒星和行星均可视为质量分布均匀的球体，恒星球心到行星球心的距离为。已知恒星质量为，行星的质量为，行星的半径为，引力常量为，忽略行星的自转。 (1)求行星绕恒星做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)假设在行星表面距恒星最近处有一质量为的物体，求恒星和行星对该物体万有引力的差值； (3)由于某种因素的影响，行星缓慢向恒星靠近，行星绕恒星的运动仍可近似看成匀速圆周运动。当行星与恒星球心之间的距离小于某个值时，行星表面物体就会被恒星吸走，进而导致行星可能被撕裂”（行星表面物体脱离行星表面，不再随行星同步运动），推导的表达式。【提示：当时， 16．万有引力定律揭示了天体运动与地球上物体的运动遵循相同的物理规律。设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球可视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转的影响。已知：质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零；物体做简谐运动的周期，其中为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。 (1)近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R，求其做匀速圆周运动的周期T。 (2)如图所示，设想在地球内部距地心h（）处挖一条光滑直线通道AB，其中点为通道中心。从A点由静止释放一质量为m的物体（可视为质点），在不计空气阻力的条件下： a．证明该物体在通道中做简谐运动； b．求该物体从A点第一次运动到通道中心点所经历的时间t。 17．2025年5月29日，我国成功发射“天问二号”探测器，前往小行星2016H03进行探测，以期实现中国首次小行星采样并返回地球。假设探测器抵达小行星地表后，将一探测采样球以速度竖直向上射出，经过时间落到行星地表，进行采样。成功采样后，探测器升空进入小行星同步轨道绕小行星做匀速圆周运动，与小行星同步伴飞一段时间后返回地球。只考虑探测器与小行星之间的万有引力，小行星半径为，自转周期为，引力常量为，小行星上没有空气，忽略小行星自转对表面重力加速度的影响。求： (1)小行星表面重力加速度的大小； (2)小行星同步轨道距离行星表面的高度。 18．天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 (1)某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 (2)航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 试卷第18页，共18页 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2027届北京市高三物理一轮复习小专题拓展训练 万有引力定律的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．2026年3月30日，中科宇航力箭二号遥一运载火箭在东风商业航天创新试验区成功发射，将新征程01卫星、新征程02卫星和天视卫星01星送入预定轨道，发射任务取得成功。若某卫星在半径为r的圆轨道上以周期T绕地球运行，已知引力常量为G，地球半径为R，则（     ） A．该卫星的发射速度大于11.2km/s B．该卫星做圆周运动的速度可能大于7.9km/s C．地球的质量为 D．地球的密度为 【答案】C 【详解】A．11.2km/s是第二宇宙速度，是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，该卫星仍绕地球运行，发射速度应小于11.2km/s，故A错误； B．7.9km/s是第一宇宙速度，是地球卫星做圆轨道运动的最大环绕速度，由万有引力提供向心力有 可解得 所以轨道半径越大，线速度越小，该卫星轨道半径，运行速度不大于7.9km/s，故B错误； C．卫星做圆周运动万有引力提供向心力，有 整理得地球质量，故C正确； D．地球体积为 地球密度 仅当（近地卫星）时密度才为，本题，故D错误。 故选C。 2．2025年11月1日3时22分，神舟二十一号飞船成功对接空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约3.5小时，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录。为了此次对接，空间站于2025年10月17日实施了变轨操作，使空间站近地点高度提升约4.7公里，远地点高度增加约9.2公里。下列说法正确的是（　　） A．空间站的运行速度比第一宇宙速度大 B．变轨后，空间站的运行周期变大 C．空间站在远地点的速度大于它在近地点的速度 D．从远地点向近地点运行时，地球引力对空间站做负功 【答案】B 【详解】A．第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，由万有引力提供向心力公式 得，空间站轨道半径大于地球半径，因此运行速度小于第一宇宙速度，故A错误； B．变轨后空间站近地点、远地点高度均升高，轨道半长轴增大，根据开普勒第三定律，可知运行周期变大，故B正确； C．根据开普勒第二定律，同一轨道上天体与地心连线单位时间扫过的面积相等，远地点到地心距离更大，因此空间站在远地点的速度小于近地点的速度，故C错误； D．从远地点向近地点运行时，空间站所受引力指向地心，与速度方向夹角为锐角，地球引力对空间站做正功，故D错误。 故选B。 3．2026年3月26日，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁火箭，成功将四维高景二号05、06星送入预定轨道，卫星在距地面高度为h的圆轨道上稳定运行，为国土测绘、应急减灾提供服务。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转影响。关于该卫星在轨运行，下列说法正确的是（     ） A．卫星的线速度大于第一宇宙速度 B．卫星的向心加速度等于地球表面的重力加速度 C．卫星运行的周期 D．若某一时刻卫星速度突然增大，则卫星将做近心运动 【答案】C 【详解】A．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是绕地球做圆周运动的最大环绕速度。由万有引力提供向心力，有 解得线速度 轨道半径越大，线速度越小。卫星轨道半径大于地球半径R，因此线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误； B．由万有引力提供向心力，有 解得卫星向心加速度 地球表面，万有引力等于重力，有 解得地表重力加速度 因此，故B错误； C．由万有引力提供向心力有 解得，故C正确； D．若某一时刻卫星速度突然增大，地球提供的向心力小于卫星需要的向心力，则卫星将做离心运动，故D错误。 故选C。 4．我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测器，实现火星取样返回。“天问三号”探测器进入环火椭圆轨道运行时，运行周期为，近火点、远火点到火星球心距离分别为和。已知引力常量为，火星视为匀质球体，不考虑其他星体的影响，则可求得火星的（　　） A．质量 B．密度 C．第一宇宙速度 D．表面的重力加速度 【答案】A 【详解】A．设“天问三号”探测器在半径为的轨道上围绕火星做匀速圆周运动，周期为，根据万有引力提供向心力，则有 解得火星的质量为 根据开普勒第三定律有 联立可得火星的质量，故A正确； B．根据 由于火星的半径未知，无法求火星的密度，故B错误； C．当某卫星做匀速圆周运动的轨道半径等于火星半径时，其运行的速度为火星的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，则有 解得 由于火星的半径未知，无法求火星的第一宇宙速度，故C错误； D．“天问三号”探测器在火星表面上，根据万有引力等于重力，则有 解得 由于火星的半径未知，无法求火星表面的重力加速度，故D错误。 故选A。 5．随着中国航天科技的飞跃发展，天问一号之后，中国将向火星发射更多的探测器。某质量为的火星探测器开始绕火星做匀速圆周运动，距离火星表面的距离为，火星的半径为。当探测器登陆火星后检测到一个小球在火星表面附近做自由落体运动，从高为的地方静止释放，经过时间落地，已知万有引力常量，则下列说法正确的是（     ） A．火星的第一宇宙速度为 B．火星质量为 C．探测器圆周运动的向心加速度为 D．探测器在圆轨道上受到的重力为 【答案】A 【详解】A．由小球自由落体运动规律 解得火星表面重力加速度 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，满足 可得，故A正确； B．火星表面万有引力等于重力，即 解得，故B错误； C．探测器轨道半径 万有引力提供向心加速度 联立，解得，故C错误； D．探测器在圆轨道上的重力等于万有引力，故D错误。 故选A。 6．为了给探月四期工程提供公共中继星平台，2024年3月20日长征八号遥三运载火箭将鹊桥二号中继星送入半长轴为、周期为的地月转移轨道，再通过近月制动，使其速度低于月球逃逸速度，进入月球捕获轨道，最终进入半长轴为、周期为的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，地球的第一宇宙速度为，任何星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍。下列说法正确的是（　　） A． B．近月制动后鹊桥二号的速度大于 C．为了确保鹊桥二号与月球南极附近区域之间有较长时间的稳定通信，冻结轨道的远月点位于月球南极区域上方 D．鹊桥二号分别在捕获轨道与冻结轨道运行时，在相同时间内与月球的连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．由开普勒第三定律中取决于中心天体的质量。地月转移轨道（阶段1）的中心天体是地球，环月冻结轨道（阶段2）的中心天体是月球。地球质量远大于月球质量，两者的值不同，故该等式不成立，故A错误； B．近月制动后卫星进入月球捕获轨道，其速度应小于月球的逃逸速度。 第一宇宙速度公式，已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，月球的第一宇宙速度可由地球的第一宇宙速度按比例求出。 则， 两式相比 故 逃逸速度为，故B错误； C．椭圆轨道上，卫星在远月点附近运行速度最慢，停留时间最长。将远月点设在月球南极上空，可以显著延长卫星与南极区域的通信窗口，符合中继星的通信需求。故C正确； D．开普勒第二定律指出，同一颗行星（或卫星）在同一椭圆轨道上运动时，与中心天体的连线在相等时间内扫过相等的面积。捕获轨道和冻结轨道是两个完全不同的轨道，面积速率（掠面速度）不同，该结论不适用，故D错误。 故选C。 7．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a—x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的2倍，则（　　） A．星球M与N重力加速度之比为 B．星球M与N的第一宇宙速度之比 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大弹性势能是P的6倍 【答案】C 【详解】A．由牛顿第二定律可知物体下落的加速度 可知两星球表面的重力加速度之比为，故A错误； B．星球M的半径是星球N的2倍，由第一宇宙速度可知星球M与星球N的第一宇宙速度之比为，故B错误； C．由物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系图，结合公式可知图像面积代表，P下落过程中的最大动能 Q下落过程中的最大动能 又由可知两图线斜率绝对值之比为质量反比，即 可得，即Q下落过程中的最大动能是P的4倍，故C正确； D．由运动的对称性，对P物体，下落速度最大，下落2速度变为0，弹簧压缩量达到最大；对Q物体，下落2速度最大，下落4速度变为0，弹簧压缩量达到最大，故Q的弹簧最大压缩量是P的2倍，由可知Q下落过程中弹簧的最大弹性势能是P的4倍，故D错误。 故选C。 8．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 【答案】A 【详解】A．在地球表面附近，忽略地球自转影响，物体受到的万有引力近似等于重力，有，解得地球质量，故A正确； B．为地球静止卫星，其周期等于地球自转周期，设其轨道半径为，距地面高度为，则 根据万有引力提供向心力有 结合，解得 则高度，故B错误； C．、均为卫星，根据 由图可知，则；、角速度相同，根据 由于，则，综上可知，故C错误； D．为地球静止卫星，为赤道上随地球一起转动的物体，两者周期相同，即；、均为卫星，根据开普勒第三定律 由于，则，综上可知，故D错误。 故选A。 9．如题图所示，有L、M、N三颗地球卫星，L还未发射，在赤道上随地球转动；M是近地卫星，轨道半径可认为等于地球半径；N是地球同步卫星。将它们的运动均视为匀速圆周运动，地球表面重力加速度为，忽略地球自转对重力加速度的影响，下列说法正确的是（　　） A．M的向心加速度等于 B．L的向心加速度大于 C．相同时间内，N转过的弧长最短 D．M在12h内转过的角度小于 【答案】A 【详解】A．对于近地卫星M，有 可得M的向心加速度为，故A正确； BCD．对于卫星M、N，由万有引力提供向心力得 可得，， 则有，， 由于卫星N、L的角速度相同，根据， 则有， 综上分析可知L的向心加速度小于；L的线速度最小，所以相同时间内，L转过的弧长最短；已知同步卫星N的周期为24h，由于M的角速度大于N的角速度，所以M的周期小于24h，则M在12h内转过的角度大于，故BCD错误。 故选A。 10．2024年5月10日以来，受太阳大级别耀斑连续爆发的影响，我国空间站和国际空间站的轨道都出现了明显的降低，其中在5月11日，我国空间站的轨道在短短一天内就下降了约。这一现象虽然罕见，但对空间站的正常运行影响并不是很大，费点燃料提升一下高度就可以了。空间站高度不变时，其运动可看作匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．空间站下降后受到地球的万有引力变小 B．空间站下降后动能减小 C．提升空间站的高度时发动机喷气方向与速度方向相同 D．空间站的高度提升后动能减小 【答案】D 【详解】A．根据万有引力公式可知，空间站下降后，离地球的距离更近了，减小，受到地球的万有引力变大，故A错误； B．根据万有引力公式 可知 空间站下降，减小，增大，所以动能增大，故B错误； C．如果发动机喷气方向与速度方向相同，空间站将减速做近心运动，高度更低，故C错误； D．空间站的高度提升后，离地球越远，增大，减小，所以动能减小，故D正确。 故选D。 11．2026年4月2日，决心“重返月球”的美国发射了“猎户座”绕月载人飞船，飞船被月球捕获后绕月球沿椭圆轨道运动，周期为T，A、C，B、D分别位于椭圆轨道的长轴和短轴上，A和C到月球中心的距离分别为和，已知月球半径为R，近月卫星的运动周期为，则下列说法正确的是（　　） A．“猎户座”飞船从A经过B飞到C的时间小于 B．如果，则 C．“猎户座”飞船在A点和C点的加速度大小之比为 D．“猎户座”飞船在A点和C点的线速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．由对称性可知，“猎户座”飞船从A经过B飞到C的时间为。根据开普勒第三定律得 由于，则 可知“猎户座”飞船从A经过B飞到C的时间大于。故A错误； B．如果，联立 得。故B错误； C．由牛顿第二定律得 化简得 则“猎户座”飞船在A点和C点的加速度大小之比为。故C错误； D．根据开普勒第二定律得 解得“猎户座”飞船在A点和C点的线速度大小之比为。故D正确。 故选D。 12．2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射并成功与天宫空间站对接，这是中国载人航天工程第一次应急发射任务。已知空间站的轨道高度为（小于地球同步卫星的轨道高度），空间站环绕地球做匀速圆周运动的周期为，地球半径为，万有引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．空间站运行的线速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．空间站运行的周期大于地球的自转周期 C．地球的质量为 D．空间站做圆周运动的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，所以空间站运行的线速度大小小于第一宇宙速度，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 可知空间站的周期小于地球同步卫星的周期（地球的自转周期），故B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得地球的质量为，故C错误； D．空间站做圆周运动的加速度大小为，故D正确。 故选D。 13．我国研究人员在双星系统G3425中发现一颗小质量恒星级黑洞，该黑洞的可见伴星为一颗红巨星，它们绕连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。设黑洞的质量为，红巨星的质量为，则可知（     ） A．黑洞与红巨星做圆周运动的角速度之比为 B．黑洞与红巨星做圆周运动的轨道半径之比为 C．黑洞与红巨星做圆周运动的动能之比为 D．在相等时间内，黑洞、红巨星与O点的连线扫过的面积之比为 【答案】B 【详解】A．双星系统，角速度和周期相同，故A错误； B．设黑洞与红巨星运动的轨道半径分别为，二者之间的距离为L，两星体间的万有引力提供彼此做圆周运动的向心力，有 解得两星体运动半径之比为，故B正确； C．它们的动能之比为，故C错误； D．在相等时间内，黑洞、红巨星与点的连线扫过的面积之比为，故D错误。 故选B。 14．拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使航天器稳定的点，由法国数学家拉格朗日1772年推导证明其存在，每个两天体系统存在5个拉格朗日点。如图所示，拉格朗日点上的航天器在两天体引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。其中、、位于两天体连线上，地心、月心、（）构成的三角形为等边三角形，地球质量为月球质量的81倍，地月间距为，地球、月球、航天器均可视为质点，不考虑航天器及其他星体对双星系统的影响，关于地月系统的拉格朗日点，下列说法正确的是（     ） A．处于点的航天器的加速度大于处在点航天器的加速度 B．处于点的航天器，其线速度小于月球做圆周运动的线速度 C．处于点的航天器，做圆周运动的圆心恰好处在地心 D．处于拉格朗日点上的航天器做圆周运动的周期为 【答案】D 【详解】AB．拉格朗日点上的航天器在两天体引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心做周期相同的圆周运动，则有 根据可知，处于点的航天器的加速度小于处在点航天器的加速度； 根据可知，处于点的航天器，其线速度大于月球做圆周运动的线速度，故AB错误； C．处于点的航天器，受到地球的万有引力，方向指向地心，以及月球的万有引力，两个力的合力不指向地心。航天器做匀速圆周运动，合力充当向心力，指向圆心，所以圆心不处在地心，故C错误； D．对于地月双星系统得， 解得， 代入，解得，故D正确。 故选D。 二、解答题 15．某行星绕恒星做匀速圆周运动，该恒星和行星均可视为质量分布均匀的球体，恒星球心到行星球心的距离为。已知恒星质量为，行星的质量为，行星的半径为，引力常量为，忽略行星的自转。 (1)求行星绕恒星做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)假设在行星表面距恒星最近处有一质量为的物体，求恒星和行星对该物体万有引力的差值； (3)由于某种因素的影响，行星缓慢向恒星靠近，行星绕恒星的运动仍可近似看成匀速圆周运动。当行星与恒星球心之间的距离小于某个值时，行星表面物体就会被恒星吸走，进而导致行星可能被撕裂”（行星表面物体脱离行星表面，不再随行星同步运动），推导的表达式。【提示：当时， 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）行星绕恒星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，即 解得 （2）恒星对该物体的万有引力为 行星对该物体的万有引力为 所以恒星和行星对该物体万有引力的差值 （3）设行星表面的物体m恰好被吸走，此时物体与行星间的支持力为零。对物体m，其受到恒星的引力与行星的引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 脱离时刻，行星表面物体和行星有相同的角速度由得 物体的向心加速度 可得 整理得 由于，所以 代入可得 整理可得 16．万有引力定律揭示了天体运动与地球上物体的运动遵循相同的物理规律。设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球可视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转的影响。已知：质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零；物体做简谐运动的周期，其中为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。 (1)近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R，求其做匀速圆周运动的周期T。 (2)如图所示，设想在地球内部距地心h（）处挖一条光滑直线通道AB，其中点为通道中心。从A点由静止释放一质量为m的物体（可视为质点），在不计空气阻力的条件下： a．证明该物体在通道中做简谐运动； b．求该物体从A点第一次运动到通道中心点所经历的时间t。 【答案】(1) (2)a．见解析；b． 【详解】（1）设地球的质量为M，对卫星有 又因为近地卫星 解得 （2）a．物体在运动的某一瞬间，如图所示 设半径为r的球体质量为 因为质量分布均匀的球壳对空腔内的物体的万有引力为零，所以质量为m的物体在距离地心r处受到的万有引力大小为 故万有引力在AB通道方向的分力大小为 该力与x成正比，所以物体做简谐运动。 b．由之前的分析可知，物体做简谐运动，令 当时有 根据万有引力与重力的关系有 解得 则物体从A点运动到B点的时间为 17．2025年5月29日，我国成功发射“天问二号”探测器，前往小行星2016H03进行探测，以期实现中国首次小行星采样并返回地球。假设探测器抵达小行星地表后，将一探测采样球以速度竖直向上射出，经过时间落到行星地表，进行采样。成功采样后，探测器升空进入小行星同步轨道绕小行星做匀速圆周运动，与小行星同步伴飞一段时间后返回地球。只考虑探测器与小行星之间的万有引力，小行星半径为，自转周期为，引力常量为，小行星上没有空气，忽略小行星自转对表面重力加速度的影响。求： (1)小行星表面重力加速度的大小； (2)小行星同步轨道距离行星表面的高度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）采样球以做竖直上抛运动，经时间落地，则 解得 （2）设小行星质量为，探测器质量为，则探测器在小行星地表上有 探测器在同步轨道上有 联立解得 18．天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 (1)某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 (2)航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 【答案】(1)a.；b. (2)见解析 【详解】（1）a.彗星运动至近日点时，根据牛顿第二定律有 解得 b.设彗星在点处的速度大小为，则有 结合题中信息，得彗星在点处的机械能为 其中，联立解得 （2）设地球质量为卫星质量为，卫星经过圆轨道某点时的速度大小为。卫星在圆轨道上圆周运动时，万有引力提供向心力有 启动发动机后，卫星的合速度为 根据已知条件，则卫星沿椭圆轨道运行的机械能为 设卫星在椭圆轨道的机械能为，根据（1）b的结论，有 所以 试卷第18页，共18页 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $