第四章 第30课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数的基本关系与诱导公式”核心考点，依据高考评价体系明确理解平方关系、商数关系及掌握诱导公式的考查要求，通过梳理教材改编真题，归纳齐次化切、诱导公式化简求值等常考题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+思维建模+通性通法”的复习策略，如典例2中利用“奇变偶不变，符号看象限”化简诱导公式，培养学生运算能力与推理意识，通过“和差积知一求二”模型帮助学生掌握得分技巧，教师可借助随堂检测精准把握学情，提升复习效率。

第四章　三角函数与解三角形 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 [考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．掌握诱导公式，并会简单应用． 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 理法先行·题练固本 知识点1　同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝ __ ． (2)商数关系：＝tan α． 1 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 3 知识点2　三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α ________ ________ ______ ______ ______ 余弦 cos α ________ ______ ________ ______ ________ 正切 tan α ______ ________ ________     口诀 奇变偶不变，符号看象限 －sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α　 －cos α sin α －sin α tan α －tan α －tan α 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 [常用结论] 1．同角三角函数关系式的常用变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． (2)sin α＝tan αcos α． (3)sin2α＝； cos2α＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．(湘教版必修第一册P168例5改编)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． √ A　[由题意得cos α＝， 故tan α＝＝－．故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 2．(人教A版必修第一册P186习题5.2 T15改编)已知tan α＝3，则＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 √ B　[＝2． 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 3．(北师大版必修第二册P24例8(3))求值：sin·cos＋sincos＝______________．  　[sincos＋sincos ＝sincos＋sincos ＝sincos＝2×．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin，且0<x<，则sin＝______________，cos＝______________．  　－　[因为0<x<，所以－－x<，又sin >0，所以0<－x<，所以cos ． sin＝sin ＝cos；cos＝cos＝－cos＝－．] 　 －　 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 5．(北师大版必修第二册P151习题4－1 B组T2改编)若sin xcos x＝，则cos x－sin x的值是(　　) A．± B． C．－ D．± √ A　[(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝1－2×，所以cos x－sin x＝±．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 考点深研·题型突破 考点一　同角三角函数的基本关系 [典例1]　(1)(多选)下列各运算正确的是(　　) A．已知cos α＝－，则tan α＝－ B．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝3或－ C．已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α＝ D．已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝或－ √ √ 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 12 (2)(多选)(2026·张家口模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 (1)BC　(2)ABC　[(1)对于A，因为cos α＝－<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角， 则sin α＝ ， 所以tan α＝＝－． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 ②若α是第三象限角， 则sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝，A错误； 对于B，由sin α＋2cos α＝， 两边平方可得sin2α＋4cos2α＋4sin αcos α＝， 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 因此，，分子、分母同除以cos2α可得，整理可得3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，B正确； 对于C，因为tan α＝＝2，且sin2α＋cos2α＝1，π<α<，所以sin α ＝－，cos α＝－， 所以cos α－sin α＝－，C正确； 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 对于D，由＝5，得＝5， 可得tan α＝2， 则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α ＝，D错误． 故选BC． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 (2)因为sin θ＋cos θ＝， 则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以2sin θcos θ＝－<0， 又因为θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，A正确； 又sin θ－cos θ>0， (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 所以sin θ－cos θ＝，D错误； 联立可得sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－，故B，C正确．故选ABC．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 思维建模：1．齐次化切模型(如：本例(1)选项D) 第1步　化齐次：非齐次化分式，确保正、余弦的幂值相等，一般用sin2α＋cos2α＝1化齐次． 第2步　除同次余弦：分式的分子、分母同时除以同次幂的余弦． 第3步　化切求值：化成正切式，代入求值． 2．sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ和差积知一求二(如：本例(2)) 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 第1步　判断是否常见：判断是否为常见的平方和为1的数，若常见，则猜根求结果；若不常见，则执行第2～4步． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 第2步　和差平方(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ． 第3步　解对应方程． 第4步　代入，定符号：根据已知角的范围或隐含条件，确定角最终符号并求值． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 考点二　诱导公式的应用 [典例2]　(1)(多选)(2025·沈阳期末)下列诱导公式正确的是(　　) A．sin(3π＋α)＝sin α B．sin＝－cos C．cos＝sin 2α D．cos(9π－3α)＝cos 3α √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 (2)(2026·临清市模拟)已知sin，那么tan＝ (　　) A．－ B．±2 C． D．2 (3)化简＝______________．  √ －1 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 (1)BC　(2)B　(3)－1　[(1)对于A，sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α，故A错误； 对于B，sin＝sin＝－sin＝－cos ，故B正确； 对于C，cos＝cos＝sin 2α，故C正确； 对于D，cos(9π－3α)＝cos(π－3α)＝－cos 3α，故D错误． 故选BC． (2)因为sin， 所以cos＝cos＝sin， 则sin＝±＝±， 所以tan＝±2． 故选B． (3)∵cos 10°>sin 10°， ∴原式＝ ＝ ＝＝－1．] 通性通法：诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 考点三　基本关系式和诱导公式的综合应用 [典例3]　已知函数f (α)＝． (1)求证：f (α)＝sin α； (2)若f (α)＝，且α为第二象限角，求tan α·－1的值． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 [解]　(1)证明：f (α)＝＝＝sin α，得证． (2)因为f (α)＝sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝ －＝－，所以tan α＝＝－，所以tan α·－1＝－1＝－． 通性通法：(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响． 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．(链接考点二)(多选)(2026·上饶模拟)下列计算正确的是(　　) A．sin＝－ B．cos＝－ C．cos π＝1 D．tan＝－1 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 AD　[sin＝－sin＝－，所以A选项正确； cos＝cos＝－cos＝－，所以B选项错误； cos π＝－cos 0＝－1，所以C选项错误； tan＝tan＝－tan＝－1，D选项正确． 故选AD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 2．(链接考点一)(2026·庆阳模拟)已知α是第三象限角，且sin α＝ －，则3cos α＋4tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 A　[∵α是第三象限角，且sin α＝－， ∴cos α＝－＝－，∴tan α＝， 则3cos α＋4tan α＝－2＝－． 故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 3．(链接考点一)已知sin α＋cos α＝sin αcos α，则sin α＋cos α＝ (　　) A． B． C．－ D．－ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 D　[因为sin αcos α＝， 所以sin α＋cos α＝， 化简得3(sin α＋cos α)2－8(sin α＋cos α)－3＝0， 解得sin α＋cos α＝－或sin α＋cos α＝3(舍去)． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 4．(链接考点三)(2026·杭州模拟)已知cos＋3cos(α－π)＝0，则＝______________．  －　[由题意可得cos＋3cos(α－π)＝－sin α－3cos α＝0， 所以－sin α＝3cos α，可得tan α＝－3， 所以＝tan α(1－sin2α) ＝tan α·＝tan α·＝－3×＝－．] －　 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ 一、单项选择题 1．sin 2 025°＋tan 2 025°＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 课时作业(三十)　同角三角函数的基本关系与诱导公式 C　[sin 2 025°＋tan 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＋tan(5×360°＋225°)＝＋1＝－1＋1＝0．故选C．] 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 39 √ 2．(2025·渭南期末)已知tan θ＝2，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 C　[由于tan θ＝2， 则＝－．故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 40 √ 3．(2025·鞍山模拟)已知sin＝－，则cos＝(　　) A．－ B． C． D．－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 41 A　[因为sin＝－＝cos＝cos＝cos， 所以cos ＝－． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 42 √ 4．(2025·抚州模拟)化简的结果为 (　　) A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．cos 2－sin 2 D．－(sin 2＋cos 2) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 43 B　[ ＝sin 2＋cos 2． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 44 √ 5．若α是第三象限角，且sin α－2cos α＝1，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 45 B　[因为sin α－2cos α＝1，所以sin α＝2cos α＋1，又sin2α＋cos2α＝1， 所以5cos2α＋4cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0， 又因为α是第三象限角， 所以cos α＝－，sin α＝2×＋1＝－， 可得tan α＝．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 46 √ 6．(2025·广州模拟)已知θ∈，sin θ－cos θ＝，则sin3θ＋cos3θ＝(　　) A． B． C．－ D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 47 C　[将已知等式两边平方， 可得sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝－，可得(sin θ＋cos θ)2＝， 而sin θ＋cos θ＝sin， 又θ＋， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 48 ∴sin<0， ∴sin θ＋cos θ＝－， ∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝－＝－． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 49 √ 二、多项选择题 7．(2025·西安模拟)在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝－sin C B．sin＝cos C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos(A＋B)＝cos C 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 50 BC　[由题意可得A＋B＋C＝π， 对于A，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故A错误； 对于B，sin＝sin＝cos，故B正确； 对于C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，故C正确； 对于D，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 51 √ 8．(2025·泸州模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　) A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝ C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 52 ACD　[对于A，因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 即sin θcos θ＝－，A正确； 对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0， 所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ＝，B错误，C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 53 对于D，联立 解得sin θ＝，cos θ＝－， 所以tan θ＝－，D正确． 故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 54 三、填空题 9．(人教B版必修第三册P26练习B T2改编)如果tan α＝2，那么＝______________，sin2α－cos2α＝______________，sin4α－cos4α＝______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 1　 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 55 1　　　[由tan α＝2，得＝1， sin2α－cos2α＝，sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 56 10．已知角α终边上一点P(－4，3)，则＝______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 　[∵角α终边上一点P(－4，3)，∴tan α＝－， 则原式＝＝．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 57 四、解答题 11．已知f (α)＝． (1)若α∈(0，2π)，且f (α)＝－，求α的值； (2)若f (α)－f，且α∈，求tan α的值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 58 [解]　(1) f (α)＝＝ ＝＝sin α． 所以f (α)＝sin α＝－， 因为α∈(0，2π)，所以α＝或α＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 59 (2)由(1)知f (α)＝sin α， 所以f (α)－f ＝sin α－sin＝sin α＋cos α＝， 所以sin α＝－cos α，所以cos2α＋＝1， 即(5cos α－4)(5cos α＋3)＝0， 所以cos α＝或cos α＝－． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 60 又因为α∈， 所以cos α＝－， 所以sin α＝－cos α＝． 所以tan α＝＝－． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 61 谢谢！ $