第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系式及诱导公式”专题，依据高考评价体系梳理了平方关系、商数关系、诱导公式三大核心考点，通过考向分析明确“知一求二”“齐次式问题”“诱导公式应用”等高频题型分布，构建了从知识清单到解题方法的完整备考体系。 课件亮点在于“例题精析+跟踪训练+素养提升”的设计，如例1通过终边上取点法高效解决“知一求二”问题，培养学生运算能力与推理意识，例3结合sinθ±cosθ与sinθcosθ关系渗透数学思维。课时作业涵盖近5年模拟题，帮助学生掌握弦切互化、符号判断等技巧，教师可据此精准定位学情，助力学生高效冲刺高考。

第二节　同角三角函数的基本关系式 及诱导公式 1 知识清单 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：________________(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝________. sin2α＋cos2α＝1 返回导航 2 2．三角函数的诱导公式 角 函数名 sin α cos α tan α 2kπ＋α(k∈Z) ________ ________ ________ －α ________ ________ ________ π＋α ________ ________ ________ π－α ________ ________ ________ －α ________ ________ — ＋α ________ ________ — sin α cos α tan α －sin α cos α －tan α －sin α －cos α tan α sin α －cos α －tan α cos α sin α cos α －sin α 返回导航 3 【常用结论】 1．弦切互化变形：sin2α＝，cos2α＝，sinαcos α＝，其中α≠＋kπ，k∈Z. 2． 也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐．” 返回导航 4 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　) (2)对任意角α，＝tan 都成立．(　　) (3)若cos (α－22°)＝，则sin (α＋68°)＝－.(　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) √ × × × 返回导航 5 2．(人教A版必修一P184练习T1改编)已知cos α＝－，且α为第三象限角，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：∵cos α＝－，且α为第三象限角， ∴sin α＝－＝－，∴tanα＝＝. 返回导航 6 3．(人教A版必修一P195习题T5改编)已知sin ＝，则cos (2 025π＋α)＝________． 解析：因为sin (＋α)＝－cos α＝， 所以cos (2 025π＋α)＝－cos α＝. 返回导航 7 4．(人教A版必修一P190例2)化简： . 解析：原式＝＝－cos α. 返回导航 8 命题点一　同角三角函数基本关系式 考向1　“知一求二”问题 例1 若θ∈，且满足tan θ＝－3，则sin θ＋cos θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 返回导航 9 解析：∵θ∈(，π)，可得sin θ>0，cos θ<0，由即解得sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝.故选A. 优解：∵θ∈(，π)，且tan θ＝－3，∴在θ终边上取点P(－1，3)，则sin θ＝，cos θ＝，∴sin θ＋cos θ＝＝.故选A. 返回导航 10 学霸笔记：已知sin α，cos α，tan α中的一个值求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝即可，但要注意α的取值范围，即三角函数值的符号． 返回导航 11 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P185T6(3)改编)已知tan α＝－，则sin α＝(　　) A．－ B． C．± D．± 答案：C 返回导航 12 解析：∵tan α＝－，∴＝－，∴sin α＝－cos α，∵sin2α＋cos2α＝1，∴(－)2cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，∴sin2α＝，sinα＝±.故选C. 优解：∵tan α＝－<0，∴α是第二或第四象限角．若α是第二象限角，则在α终边上取点P(－4，3)，得sin α＝；若α是第四象限角，则在α终边上取点P′(4，－3)，得sin α＝－.故选C. 返回导航 13 考向2　sin α，cos α的齐次式问题 例2 已知tan α＝2. (1)求的值； 解析：＝＝＝. 返回导航 14 (2)求sin2α＋sinαcos α的值． 解析：sin2α＋sinαcos α＝＝＝＝. 返回导航 15 学霸笔记：(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解； (2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tan α的值即可求解． 返回导航 16 　跟踪训练　(2026·肇庆模拟)已知tan α＝－2，则的值为(　　) A． B．－ C．3 D．－3 答案：C 解析：因为tanα＝－2，所以＝＝＝3.故选C. 返回导航 17 考向3　“sinθ±cos θ，sin θ·cos θ”之间的关系应用 例3 (多选)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则下列等式正确的是(　　) A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝ C．tan θ＝－ D．sin2θ－cos2θ＝ 答案：ABD 返回导航 18 解析：对于A，由sinθ＋cos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝，化简得sin θ·cos θ＝－，故A正确；对于B，由sin θ·cos θ＝－<0，θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，∴sin θ－cos θ＝，故B正确；对于C，由解得∴tan θ＝－，故C错误；对于D，sin2θ－cos2θ＝(sinθ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝＝，故D正确．故选ABD. 返回导航 19 学霸笔记： (1)对于三角函数式sinθ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化． (2)求sin α＋cos α，sin α－cos α的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断． 返回导航 20 　跟踪训练　(2026·赤峰一模)已知锐角α满足sin α－cos α＝，则tan α的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 21 解析：由题意，sin α－cos α＝　①，则（＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以2sinαcos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋＝，因为α为锐角，所以sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝　②，由①和②联立可解得sin α＝，cos α＝，所以tan α＝＝.故选B. 返回导航 22 命题点二　诱导公式的应用 例4 (1)(2026·大连模拟)若点P(4，－3)在角α的终边上，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A　 返回导航 23 解析：由点P(4，－3)在角α的终边上，可得cos α＝，则＝＝－＝－.故选A. 返回导航 24 (2)已知cos ＝，则sin ＝________． 解析：sin (－α)＝sin ＝cos (α＋)＝. 返回导航 25 学霸笔记： 1．利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍． 2．常见的互余和互补的角 (1)互余的角：－α与＋α；＋α与；＋α与－α等；(2)互补的角：θ与－θ；＋θ与－θ等． 返回导航 26 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修一P193例4改编)化简： ＝________． －tan α 解析：原式＝＝ ＝－＝－tan α. 返回导航 27 (2)已知sin ＝，则cos 的值为________． － 解析：因为sin (α－)＝，所以cos (－α)＝sin (－α)＝sin (－α)＝－sin (α－)＝－. 返回导航 28 命题点三　同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 已知函数 f(α)＝. (1)化简f(α)； 解析：f(α)＝＝＝sin α. 返回导航 29 (2)若α∈，f＝，求＋2cos 的值． 解析：因为f(α)＝sin α，所以f(α＋)＝sin (α＋)＝， cos (＋α)＝cos ＝－sin (α＋)＝－， cos (－α)＝cos ＝－cos (α＋)． 因为α∈(－)，所以α＋∈(0，)，cos (α＋)＝. 故cos (－α)＝－，因此cos (＋α)＋2cos (－α)＝－. 返回导航 30 学霸笔记：利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论之间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响． 返回导航 31 　跟踪训练　 (1)已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan (α＋π)＋＝________． － 解析：tan (α＋π)＋＝tan α＋＝＝.因为sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以原式＝＝＝－. 返回导航 32 (2)若，则tan θ＝________. －3 解析：因为＝＝，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3. 返回导航 33 03.课时作业23 返回导航 34 1．sin 2 100°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：sin 2 100°＝sin (6×360°－60°)＝sin (－60°)＝－sin 60°＝－.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 2．已知α为第四象限角，cos α＝，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：因为α为第四象限角，且cos α＝，所以sin α<0，且sin α＝－.所以tanα＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 3．已知tan α＝3，0<α<，则sin α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 解析：因为0<α<，故α是第一象限角，且tan α＝3，故＝3，又sin2α＋cos2α＝1，sin2α＋2＝1，解得sin α＝，sin α＝－(舍去)．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 解析：由α∈(0，π)，将sin α＋cos α＝两边平方得2sin αcos α＝－1<0，而sin α>0，∴cos α<0，故α为钝角．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 5．若sin ＝，则cos (π＋α)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：因为sin ＝sin ＝sin ＝cos α，sin ＝，所以cos α＝，所以cos (π＋α)＝－cos α＝－.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 6．(2026·昆明模拟)已知sin θ＝－2cos θ，则＝(　　) A．－6 B．－ C．8 D．－8 答案：D 解析：因为sin θ＝－2cos θ，所以tan θ＝－2，所以＝－8.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 7．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 答案：A 解析：将sin α－cos α＝－两边平方可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝，所以tan α＋＝8.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 8．(2026·九龙坡模拟)已知cos ＝，0<α<π，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 解析：sin ＝sin ＝sin ，由于0<α<π，所以<α＋<，结合cos ＝>0，故<α＋<，所以sin ＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 9．已知角A为△ABC的内角，若sin A－3cos A＝－1，则下列说法正确的是(　　) A．sin A＋cos A＝ B．2sin A－cos A＝ C．tan A＝ D．sin A cos A＝ 答案：AD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：因为sinA－3cos A＝－1，所以sin A＝3cos A－1.因为角A为△ABC的内角，所以sin A>0，所以3cos A－1>0，所以cos A>.因为sin2A＋cos2A＝1，所以(3cosA－1)2＋cos2A＝1，所以5cos2A－3cosA＝0，所以cos A＝，或cos A＝0(舍)，所以sin A＝.对于A，sin A＋cos A＝，A正确；对于B，2sin A－cos A＝2×＝1，B错误；对于C，tan A＝，C错误；对于D，sin A cos A＝，D正确．故选AD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 10．已知＜α＜，则(　　) A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝－ C．sin4α－cos4α＝ D． 答案：ACD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：因为＝3，所以tan α＝2＞0，且＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故A正确，B错误；sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝，故C正确；，故D正确．故选ACD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 11．已知α∈，若cos(π＋α)＝－，则sin α＝________． 解析：因为cos (π＋α)＝－cos α＝－，得cos α＝，又α∈，所以sin α＝＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 12．(2026·保定模拟)已知sin ＝－，则cos ＝________． － 解析：设＋α＝x，由题意得sinx＝－，根据诱导公式五，－＝sin x＝cos ＝cos [－]＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 13．(13分)已知cos α＝－，且α为第二象限角，tan β＝，求的值. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：因为cos α＝－，且α为第二象限角， 所以sin α＝，又tan β＝， 所以 ＝＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 14．(15分)(2026·徐州模拟)已知方程sin (α－3π)＝2cos (α－4π)． (1)求的值； 解析：∵sin (α－3π)＝2cos (α－4π)， ∴－sin (3π－α)＝2cos (4π－α)， ∴－sin (π－α)＝2cos (－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0， ∴原式＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 (2)求sin2α＋2sinαcos α－cos2α＋2的值． 解析：∵sin α＝－2cos α且cos α≠0， ∴sin2α＋cos2α＝(－2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝， ∴sin2α＋2sinαcos α－cos2α＋2＝(－2cosα)2＋2(－2cos α)·cos α－cos2α＋2＝2－cos2α＝2－. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 15．(5分)若A是△ABC的内角，且sinA－cos A＝，则的值可以为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 解析：由sinA－cos A＝可得(sin A－cos A)2＝，即sin2A－2sinA cos A＋cos2A＝，即1－sin2A＝，∴sin 2A＝－，(sin A＋cos A)2＝1＋sin 2A＝，∴sin A＋cos A＝±.①∵A∈，∴当sin A＋cos A＝时得sin A＝，cos A＝；∴tan A＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 ②∵A∈，∴当sin A＋cos A＝－时得sin A＝，cos A＝－；∴tan A＝.∴.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 16.(5分)已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________． 解析：∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1，1]，∴sin x＝－cos y∈[－1，1]，∴cos y∈，∵sin x－sin2y－cosy－(1－cos2y)＝cos2y－cosy2－1，又cos y∈，利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，(sin x－sin2y)max＝2－1＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 $